greater_tables_project/greater_tables/data/tex_list.csv

1		expr
2	0	$\mathbf {s_3}$
3	1	$\bar M$
4	2	$(1+r)\lambda \mathsf{E}[X]$
5	3	$m(1)=m_3=0$
6	4	$X_2=2$
7	5	$a=1$
8	6	$e^{-kX}/\mathsf{E}[e^{-kX}]$
9	7	$U < s$
10	8	$n \le pN < (n+1)$
11	9	$\mathsf{TI,\ MON}$
12	10	$\log(g')$
13	11	$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X\mid \mathcal F]=\mathsf{E}[XZ\mid \mathcal F]/\mathsf{E}[Z\mid \mathcal F]$
14	12	$(.*?)\$
15	13	$\rho(X)=\infty$
16	14	$F(x-) = \lim_{t\uparrow x} F(t)$
17	15	$\mathsf{MON,\ TI,\ PH}$
18	16	$Y\succeq Z$
19	17	$|S|$
20	18	$\mathsf{CONVEX}$
21	19	$s^{1/2}$
22	20	$1000e^{\mu}$
23	21	$p^* =0.7501$
24	22	$X=\sum_j X_j$
25	23	$\beta_{2}$
26	24	$\sigma=0.50$
27	25	$Z(s)=\Phi^{-1}(s)$
28	26	$\hat p=1-g^{-1}(1-p)$
29	27	$\kappa_i(X)=\mathsf{E}[X_i\mid X]$
30	28	$\mathsf{E}[X_i\mid X](\omega)$
31	29	$\sigma^2 t$
32	30	$\uparrow\uparrow$
33	31	$F(x)=1-e^{-x/\mu}$
34	32	$g(S(X))$
35	33	$0<\rho\le 1$
36	34	$P = \mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{E}[X]$
37	35	$\bar Q_{0}=a_{0}-\bar P_{0}$
38	36	$s\downarrow 0$
39	37	$X=\frac{1}{n}\sum_i X_i$
40	38	$>(s_0/2^{n+1})2^n\bar q(s_0)=s_0\bar q(s_0)/2$
41	39	$\rho(X)>\max(X) g(0+)=\infty$
42	40	$\mathsf{E}[Z]\le 1$
43	41	$\lambda\to\infty$
44	42	$\mathsf{j}(a)=6$
45	43	$g(s)=w+(1-w)s, s>0$
46	44	$\mathsf{TVaR}_{0.65}$
47	45	$c(S)=g(\mathsf{Pr}(S))$
48	46	$c(S\cup\{i\})=c(S)+c(i)$
49	47	$\mu(\{p_j\})$
50	48	$\mathsf{Pr}(E')+\mathsf{Pr}(E)=\mathsf{Pr}(\Omega)=1$
51	49	$q(Y)$
52	50	$(\Omega, \mathcal F, \mathsf{Pr})$
53	51	$Z_A$
54	52	$\mathcal D(X)\ge 0$
55	53	$p=\text{Pr}[L^* > A]$
56	54	$\beta_H:=\mathsf{cov}(r_H, r_M)/\mathsf{var}(r_M)$
57	55	$X_{t+dt}=X_t + \mu dt + \sigma dW_{dt}$
58	56	$\rho(X)\ge \mathsf{E}[X]$
59	57	$u(x)=-v(-x)$
60	58	$g(x)=1$
61	59	$F_{\mathbf{v}}(x)=s$
62	60	${n}-X_2$
63	61	$U_X > p$
64	62	$b_i$
65	63	$\rho(\nu Z) \le \nu\rho(Z)$
66	64	$\Phi(x):=\int_{-\infty}^x \phi(t)dt$
67	65	$\mathsf{E}[X]=27.5$
68	66	$U = A$
69	67	$X\le l$
70	68	$U_X < p$
71	69	$g'(1-p) \frac{q\wedge \alpha}{q}$
72	70	$rpq$
73	71	$c>0$
74	72	$Y=0$
75	73	$\mathbf \Omega$
76	74	$\rho(X)=\max_k \mathsf{E}_{\mathsf Q_k}[X]$
77	75	$1-p_0$
78	76	$L(X)=k(X-\mathsf{E} X)$
79	77	$P = \mathsf{E}[Xe^{\pi X}]/\mathsf{E}[e^{\pi X}]$
80	78	$(p, 1-g^{-1}(1-p))=(p,\hat p)$
81	79	$\mathit{MV}(a)$
82	80	$Z_4$
83	81	$\kappa_i(\mathbf{v}, x)$
84	82	$x=A,L,S$
85	83	$c(S)=\rho(\sum_{i\in S} X_i)$
86	84	$S_X(a)$
87	85	$a,b=\pm 1/n$
88	86	$\mathbf {X_{2}(a)}$
89	87	$x_{1,i}, x_{2,i}$
90	88	$1_{X>a}$
91	89	$\int_0^\infty -z(x)\,dF(x)=-1$
92	90	$k\mapsto k\rho(X)$
93	91	$\rho_g(X)=\mu+\lambda\sigma$
94	92	$\hat q$
95	93	$F_X^{-1}(V)=q_X(V)$
96	94	$0\le\beta<1$
97	95	$p>S(x^*)$
98	96	$a\le X\le b$
99	97	$P(x)=A(1_{X>x})=g(S(x))$
100	98	$g(S)\Delta X'$
101	99	$1<\lambda=k+f$
102	100	$\rho(X)=\mathsf{E}[X] + c\mathsf{Var}(X)$
103	101	$1./16=0.0625$
104	102	$\alpha>1,0\le\beta\le 1$
105	103	$\mathsf{Pr}(A)=1-p$
106	104	$g''(s)\le 0$
107	105	$S(x_{max})=0$
108	106	$\{X=x\}$
109	107	$\rho_g(X\wedge a)$
110	108	$Z=(1-p)^{-1}1_{\tilde X>q_{\tilde X}(p)}$
111	109	$Z_1$
112	110	$X_{t-1,1}$
113	111	$X_2(10)$
114	112	$X_{t,3}$
115	113	$X\le x$
116	114	$r = (g(s)-s)/(1-g(s))$
117	115	$1_A/\mathsf{Pr}(A)$
118	116	$\mathsf{TVaR}_1(X)$
119	117	$\rho(Y)=\rho(X)g(p)=g(q)g(p).$
120	118	$M(x)=g(S(x))-S(x)$
121	119	$Y_{1}$
122	120	$\mathsf{Pr}(X<x)$
123	121	$g(s)-s$
124	122	$-U$
125	123	$\mathsf{Pr}(A)>0$
126	124	$X_n(\omega)\to X(\omega)$
127	125	$^{***}$
128	126	$\bar S(a)$
129	127	$\mathsf{E}[X_i g'(S(X))]$
130	128	$\sum (X\wedge a)p$
131	129	$\{1,2,\dots, N\}$
132	130	$D\rho_{X_g}(X_c)$
133	131	$(g(s)-s)/(1-g(s))=\iota$
134	132	$P_X(a,b] = F(b)-F(a)$
135	133	$k > 0$
136	134	$X_n\downarrow X$
137	135	$x\to \infty$
138	136	$\Phi(Z(s))=s$
139	137	$q^-(p) = \inf\ \{ x\mid F(x) \ge p\}$
140	138	$Y(\omega_1)\le Y(\omega_2)$
141	139	$v(A)\le v(B)$
142	140	$\mathbf {1_{X>x}}$
143	141	$\alpha_i(a) S(a)$
144	142	$\mathsf{E}[X]=\mathsf{TVaR}_0(X)$
145	143	$\mathbf {Z_2}$
146	144	$\hat{\tilde p}=1-g^{-1}(1-[1-g(1-p)])=p$
147	145	$\pi(X)=\log(m_X(\alpha)) / \alpha$
148	146	$\log(\mathsf{E}[e^{\pi X}])/\pi$
149	147	$E[s|W=t]$
150	148	$S(x)\gg 0$
151	149	$1-\beta_i(x)g(S(x))$
152	150	$S_X(x)=\Phi(-(x-\mu)/\sigma)$
153	151	$\pi(X) = \rho(X\wedge \alpha(X))$
154	152	$a(\mathbf{v}) =\mathsf{VaR}_p(X(\mathbf{v}))= q_{\mathbf{v}}(p)$
155	153	$\mathsf Q \in \mathcal Q$
156	154	$a=D+S$
157	155	$\bar P_{t,0}$
158	156	$0, 8, 10$
159	157	$Q(x)/(1-S(x))$
160	158	$p=1/6$
161	159	$\rho_2(X)=\mathsf{E}[X] + \mathsf{cov}(X,Z)$
162	160	$\mathbf {g(S)}$
163	161	$\rho=\mathsf{TVaR}_{0.95}$
164	162	$f(S_t)=\log(S_t)$
165	163	$\int_0^\infty xdF(x) =\int_0^\infty xf(x)dx$
166	164	$u_j(x)$
167	165	$f_{xx}=-1/S_t^2$
168	166	$\mathbf {M_{2}\Delta X}$
169	167	$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_t]$
170	168	$X$
171	169	$t+2$
172	170	$n\ge m$
173	171	$\mathbf {Z_4}$
174	172	$|f|$
175	173	$b$
176	174	$g'(S(x))$
177	175	$\mathsf{var}(Y_{d})=\sum_{s>d} \sigma_s^2$
178	176	$r_l$
179	177	$\mathbf {Z_8}$
180	178	$\rho(Y_{2,0})$
181	179	$1+\iota^*=(1+\iota)(1+\tau)$
182	180	$r_f/(1+r_f)$
183	181	$L^r$
184	182	$\mathsf{E}[(X_i-\mathsf{E} X_i)(X-\mathsf{E} X)]/\mathsf{SD}(X)=\mathsf{cov}(X_i,X)/\mathsf{SD}(X)$
185	183	$u(0)=0$
186	184	$(ng)$
187	185	$\tilde Z = \mathsf{E}[Z\mid X]$
188	186	$E[X|X>qp]$
189	187	$\rho(X) + c = \rho(X+c)\ge \rho(X) + \mathsf{E}[cZ]$
190	188	$1-g(S)$
191	189	$a_{0}$
192	190	$\bar M_t = \bar P_t - \mathsf{E}[Y_{t}]$
193	191	$\rho_g(X \wedge a)$
194	192	$\rho(0)=\rho(0 \times X)=0\times \rho(X)=0$
195	193	$\rho_g(X)$
196	194	$\mathbf {\mu}$
197	195	$\displaystyle\int_\Omega X(\omega)p(\omega)\mathsf{Pr}(d\omega)$
198	196	$n={{n}}, p=1/{{p}}={{pf}}$
199	197	$\Delta Q_{gc}(a) = a_{gc}-P(X_{0}(a_{gc}))-a$
200	198	$\bar S_i = \sum_{j} X_{i,j}p_j$
201	199	$\mathcal G\subset\mathcal F$
202	200	$\tilde X_2 = X_2 - \mathsf{E}[X_2]$
203	201	$10^{-12}$
204	202	$\rho(X)=\mathsf{E}[XZ]$
205	203	$x\in[0,\infty)$
206	204	$\mathsf{Pr}(S_t > a)=\mathsf{Pr}(X_t > a/S_0)=1-\Phi\left([\log(a/S_0)-(r-\sigma^2/2)t]/\sigma\sqrt{t} \right)=\Phi(d^*-\sigma\sqrt{t})$
207	205	$F_0 = \bar P_{act}-\bar P = R-\bar M$
208	206	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X+c]=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]+c$
209	207	$X_{-3}$
210	208	$\bar\delta$
211	209	$t>0$
212	210	$(\Omega, \mathcal F, \mathsf{P})$
213	211	$\mathit{LGD}$
214	212	$\mathsf{E}[L\wedge A]$
215	213	$\mu_c$
216	214	$p<0.5$
217	215	$a_h=2-a_l<2-b_l=b_h$
218	216	$F(p)=\mu([0,p])$
219	217	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}$
220	218	$\lambda dt\to 0$
221	219	$0 < p_0 < p_1 < 1$
222	220	$\mathsf{E}[X] + d(\max(X)-\mathsf{E}[X])$
223	221	$p\mapsto g'(1-p)$
224	222	$\omega=0.\omega_1\omega_2\dots$
225	223	$\mathbf {X\,\Delta S}$
226	224	$BCD$
227	225	$\beta_i(x)<\alpha_i(x)$
228	226	$\nu=\nu(p)$
229	227	$a_1 = a(Y_{1})$
230	228	$\mathit{NPV}_{\infty}=2\times 2.5=5$
231	229	$dG/dF$
232	230	$\mathbf {X(a)}$
233	231	$M = P - \mu_U= 0.505$
234	232	$H_k(X)=H_k(Y)$
235	233	$l(p)$
236	234	$\bar Q$
237	235	$\mathsf{E}[N]=2.0$
238	236	$L_0^{l_1} + L_{l_1}^{l_1+l_2} = L_0^{l_1+l_2}$
239	237	$\mathsf{E}[X_d]$
240	238	$X''$
241	239	$\mathsf{VaR}_{0.7}(X)=2.439 > 2 \times 1.204=2.408$
242	240	$\mathsf{CTE}^+$
243	241	$0 < p < 1$
244	242	$\displaystyle\int_0^\infty xg'(S_X(x))dF_X(x)$
245	243	$\pi=0$
246	244	$h(p)=1-g(1-p)=1-(1-p)^{1/3}$
247	245	$\alpha(\mathsf Q)=\infty$
248	246	$\gamma$
249	247	$x\in A$
250	248	$p_j=\mathsf{P}(X=x_j)$
251	249	$F_n,F$
252	250	$\mathsf{Pr}(\cup_i E_i)=\sum_i \mathsf{Pr}(E_i)$
253	251	$\rho(\lambda X)=\lambda\rho(X)$
254	252	$\nu^{-1}\mathsf{E}[\nu(X)]$
255	253	$A(1_{X>x})$
256	254	$g(s)=(\iota+s)/(\iota+1)$
257	255	$\max(x, 0)$
258	256	$x\mapsto x^{n}$
259	257	$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i\mid X\le a](1-g(S(a))) + a\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i/X\mid X >a]g(S(a))$
260	258	$E[G]=1$
261	259	$\Lambda = \dfrac{E( r_{U} ) - r_{f}}{\sigma_{r_{U}}}$
262	260	$\{90,\dots,99\}$
263	261	$P = 3.103$
264	262	$g(s) \ge s$
265	263	$\mathsf{MONETARY}$
266	264	$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)=\mathsf{E}[XZ]$
267	265	$p(\omega)=0$
268	266	$a(X_i;X) = \lim_{t\to 0} (\rho(X+tX_i)-\rho(X))/t$
269	267	$\sigma_{U} = \sqrt{1 - 2p - p^{2}} = 0.973$
270	268	$\sigma_A$
271	269	$\mathsf{E}[X_1Z]$
272	270	$\beta$
273	271	$\mathbf {x}$
274	272	$\mathit{NPV}_1 = \bar Q - \bar Q = 0$
275	273	$X_4, X_5$
276	274	$g:[0,1]\to[0,1]$
277	275	$X+Y$
278	276	$\sup_\mathsf{Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
279	277	$Y=1-X$
280	278	$A\subset\Omega$
281	279	$g'(s)\ge 1$
282	280	$K_h(t):=k(h+t)-k(t)$
283	281	$\mathscr{E}_i$
284	282	$\rho_2$
285	283	$y_c$
286	284	$\mathsf{E}[X\mid t]$
287	285	$1-F(q(p));\alpha)$
288	286	$w(X)=1_{X>X_p}$
289	287	$\delta=0$
290	288	$q(0)$
291	289	$|x|$
292	290	$Y_n$
293	291	$X_1+({n}-X_2)$
294	292	$w=0.06405$
295	293	$\sum_j Y_j = 0$
296	294	$P_X(a,b]=\mathsf P(X\in (a,b])=F(b)-F(a)$
297	295	$e^{kx}S(x)\to\infty$
298	296	$f(\cdot, \omega)$
299	297	$N_i$
300	298	$\lambda S(x)$
301	299	$\mathbf {M=g(S)-S}$
302	300	$t=2$
303	301	$\mathsf{E}[X_2(a)\mid X_1(a)=x] \le a-x$
304	302	$0\le s\le 1$
305	303	$\rho(X) \le 0$
306	304	$x_{i-1}$
307	305	$Y_{0}$
308	306	$\infty-\infty$
309	307	$\mathsf{j}(a) = \max\{j:X_j < a \}$
310	308	$s \ne s^\ast$
311	309	$\mathbf {d=1}$
312	310	$\sigma_d^2$
313	311	$P=L + \iota Q = \nu L + \delta a=L(1+\rho)$
314	312	$\rho(X)=x_p$
315	313	$\mu=7.4, \sigma=1.9$
316	314	$\mathsf{E}[X]+kR(X)$
317	315	$\bar q(s/2)\le 2\bar q(s)$
318	316	$Q_1=0.125$
319	317	$\mathsf{E}[Z_j\mid X]$
320	318	$D_n, D_n^*$
321	319	$\rho(X)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[\sum_i X_i]=\sum_i \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i]$
322	320	$a>b_h$
323	321	$\sum_t Q_t$
324	322	$0\le \lambda < 1$
325	323	$\mathbf {t+2}$
326	324	$-u''(w)/u'(w)$
327	325	$q(p)=-\log(1-p)\mu$
328	326	$\mathsf{E}_Q[X_i\mid X]=\mathsf{E}[X_i\mid X]$
329	327	$1=v+d$
330	328	$n=2$
331	329	$\mathsf{P}(1_{U < s}=1)=\mathsf{P}(U < s)=s$
332	330	$X=U$
333	331	$X(\omega') = \sum_\omega X(\omega)1_\omega(\omega')$
334	332	$a'$
335	333	$U_i$
336	334	$\bar P_{0,1}$
337	335	$g_i=u_i^{1/b} < u_i$
338	336	$\rho(X\wedge a)=\bar P(a)$
339	337	$E(X\wedge a)=\bar S(a)$
340	338	$1-g(0^+)$
341	339	$\alpha\not\equiv 0$
342	340	$[0,1]\times [0,1]$
343	341	$X_{i,j}\Delta g(S_j)$
344	342	$c_i=\displaystyle\sum_{i\not\in S\subset\Omega}\dfrac{|S|!(N-|S|-1)!}{N!}\times$
345	343	$\mathbf {\sigma}$
346	344	$\mathit{MV}(X, a) = a - \rho(X\wedge a)$
347	345	$u'(0)=1$
348	346	$S(x)=0.1$
349	347	$s=0.01$
350	348	$\int_a^{a+y} g(S(x))dx$
351	349	$\sum X_i(a)p$
352	350	$\beta(x)\le \alpha(x)$
353	351	$X_1=18$
354	352	$g(s)$
355	353	$Z'(s)=1/(\Phi'(Z(s)))=\sqrt{2\pi}\exp(Z(s)^2/2)$
356	354	$D/L$
357	355	$S\,\Delta X$
358	356	$a=11$
359	357	$\rho(X+tY)\ge \mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X+tY]$
360	358	$\mathsf{E}[X_1]=4.75$
361	359	$\log(1-1/n)<-1/n$
362	360	$, which he describes as the standard way to obtain the $
363	361	$\phi(p) = g'(1-p)$
364	362	$\mathsf{VaR}_p(X_1+X_2)\le \mathsf{VaR}_p(X_1)+\mathsf{VaR}_p(X_2)$
365	363	$P(X_i(a_{gc}))$
366	364	$n$
367	365	$t > 1/3$
368	366	$\mathsf{E}[u(P-X)]=0$
369	367	$\mathsf{Var}(\pi)$
370	368	$g'(S(x))f(x)$
371	369	$(lee.west |- lee.north)+(0,-2.5)$
372	370	$D^n\rho_X(X_{i,\cdot})$
373	371	$-x^2$
374	372	$X_n\to X$
375	373	$r_f/(1+ r_f) = 0.0196$
376	374	$\mathbf {g_4(s)=s^{0.9}}$
377	375	$D\rho_{X_n}(X_c)$
378	376	$f_{opt} =(pb - q)/b$
379	377	$\{n\mid X(n)\not =0\}$
380	378	$\mathsf{TVaR}_0(\cdot)=\mathsf{E}[\cdot]$
381	379	$\mathbf {\iota}$
382	380	$\rho(X_0+Y) \ge \rho(X_0) + \mathsf{E}[YZ]$
383	381	$\ge 1$
384	382	$n-3$
385	383	$Q = C + lg$
386	384	$(1-p, 1]$
387	385	$\tilde X-X$
388	386	$\Delta Q_{ro}(a)$
389	387	$\mathsf{E}[Z_1]=\mathsf{E}[Y]$
390	388	$\lim_{x\to\infty}F(x)=1$
391	389	$\mathsf{E}[X_i]=14$
392	390	$g^{-1}$
393	391	$p=0.9973$
394	392	$M=P-s$
395	393	$f(x_i)$
396	394	$\mathcal F'_0\subset\mathcal F_0$
397	395	$M/EL$
398	396	$\mathit{EER}$
399	397	$a(c_1;X) = c_1$
400	398	$\delta = 34/39, \nu=5/39$
401	399	$\mathsf{P}(\{\omega\})$
402	400	$A(X)-B(X)$
403	401	$\rho(X\wedge a) = \sum\rho(X_i(a))$
404	402	$q(0)=0$
405	403	$k=c/(e^c-1)$
406	404	$\Lambda = \dfrac{M - K r_f}{\sigma_U}$
407	405	$\nu < 1$
408	406	$\rho_g(X) = \infty$
409	407	$U''(x)<0$
410	408	$M = P \mu_U = 0.3$
411	409	$\bar S_i(a)$
412	410	$y=$
413	411	$g'(S(x))=v$
414	412	$\mathsf{Pr}(\{\omega_1\})=1/3$
415	413	$\bar Q(a)$
416	414	$\mathsf{j}(a)=4$
417	415	$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)$
418	416	$L/P$
419	417	$\bar P(a+da)-\bar P(a)$
420	418	$t+d$
421	419	$g(0+)M$
422	420	$Z(\omega)\mathsf{P}(\omega)$
423	421	$\mathsf{E}[X_0]=80$
424	422	$\mathbf {X_{1}(a)}$
425	423	$t > 0$
426	424	$g'(S(x))f(x)dx$
427	425	$k\mathsf{E}[(X_i-\mathsf{E} X_i)(X-\mathsf{E} X)]=k\mathsf{cov}(X_i,X)$
428	426	$v_f(\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i] - \dfrac{\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]}{\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]}\mathsf{E}_\mathsf{Q}[(X-a)^+])$
429	427	$(\x*0.65, 3.75*2)$
430	428	$\rho$
431	429	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]$
432	430	$\hat p = F(x) = 1-g^{-1}(1-p)$
433	431	$\min(x_1,x_2)$
434	432	${\mathsf{Q}}$
435	433	$0=\rho(0)=\rho(X-X)\le \rho(X) + \rho(-X)$
436	434	$c(\mathsf{var}nothing)=0$
437	435	$f'_-(x)\le f'_-(y)\le f'_+(y)$
438	436	$v_f\mathsf{E}_Q[X_i]$
439	437	$(x_{1,1}, x_{1,2})$
440	438	$\sum_n 1/n$
441	439	$\displaystyle\int_0^a \alpha_i(x)S(x)\,dx$
442	440	$\beta(X,M)=\mathsf{cov}(X,M)\sigma_M^2$
443	441	$X_{-1}$
444	442	$\mathcal Q=\{\mathsf Q\mid \alpha(\mathsf Q)=0 \}$
445	443	$A_i$
446	444	$a(X,p)$
447	445	$r\lambda\mathsf{E}[X]$
448	446	$(s,\iota)$
449	447	$a-L_0^a(X)$
450	448	$\tilde Z=\mathsf{E}[Z\mid X]$
451	449	$S(a+x)=d/dx(\mathsf{E}[X \wedge (a+x)-X \wedge a)$
452	450	$[p_{-},p_{+}]$
453	451	$y=x$
454	452	$\inf_x \{ x + \alpha\mathsf{E}[(X-x)^+] + \beta\mathsf{E}[(X-x)^-] \}$
455	453	$af$
456	454	$M$
457	455	$\mathsf{Pr}(\mathsf{var}nothing) =0$
458	456	$\mathsf{TVaR}_{p^\ast}$
459	457	$\mu=0.107$
460	458	$E(X_{-1}(a))$
461	459	$g'(S_X)$
462	460	$j > 0$
463	461	$a=\sum_i a\alpha_i(a) = \sum_i\kappa_i(a)$
464	462	$\mu=0$
465	463	$x>1$
466	464	$F(p)=p$
467	465	$X_i$
468	466	$q_{\tilde X}$
469	467	$a\le \dfrac{P-S}{\iota} + P\approx \dfrac{P-\mathsf{E}[X]}{\iota} + P$
470	468	$\omega\in \Omega$
471	469	$Y_c=(Y\mid Y > y_c)$
472	470	$(m_1-m_0)/s_1$
473	471	$q_B(p)=\sup B$
474	472	$\mathsf{E}[X]+k\mathsf{var}(X)$
475	473	$M_1\Delta X$
476	474	$(a,b]$
477	475	$\rho(m)=\rho(0)-m$
478	476	$\mathbf v$
479	477	$\omega=(1,0,0,1,0,0,\dots)$
480	478	$g(S(x))=1$
481	479	$0 < s < 1/4$
482	480	$r_h$
483	481	$X\ge a$
484	482	$Q$
485	483	$p\delta_p$
486	484	$y^{\ast}$
487	485	$\nu=1/(1+\iota)$
488	486	$\mu=0.1$
489	487	$s_1=0$
490	488	$p=0.4$
491	489	$g(S_{X}(x))$
492	490	$\mathsf{Q}(B_k)=\mathsf{P}(B_k)/\mathsf{P}(B_k)=1$
493	491	$m(t^\star)=3m/4$
494	492	$n_s(1-g(s))$
495	493	$g,h:[0,1]\to [0,1]$
496	494	$x_{(j)}-x_{(j-1)}$
497	495	$\mathsf{SRM}$
498	496	$v\in V_X$
499	497	$a(X_i)$
500	498	$\mathsf{var}(W)=\sum_{d\ge 0} \mathsf{var}(Y_{-d,d})$
501	499	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]$
502	500	$A/L$
503	501	$a_{2}$
504	502	$\rho_g(X)=\bar P$
505	503	$\arg \min_{q \in \mathbb{Q}} E_q[U(a)]$
506	504	$X=X_1+X_2$
507	505	$n=(0.702, 1.163)$
508	506	$\sum_i$
509	507	$\phi'(p)$
510	508	$(X_{1,j},\dots,X_{m,j})$
511	509	$E(X\wedge a)$
512	510	$1/6$
513	511	$\mathsf{Pr}(\{\omega_2\})=2/3$
514	512	$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$
515	513	$a(X_i;X)\ge \mathsf{E}[X_i]$
516	514	$\nu = 1/\lambda$
517	515	$\alpha \le 1$
518	516	$n\times m$
519	517	$\mathsf{Q}$
520	518	${6 \choose 2}=15$
521	519	$\mathsf{E}[X \mid U]$
522	520	$\sup(\lambda X)=\lambda \sup(X)$
523	521	$P+Q=a$
524	522	$k=2$
525	523	$f(x) \to 0$
526	524	$X=1$
527	525	$v_1X_1(1)$
528	526	$\pi=\Pi/p\nu(p)$
529	527	$\mathcal{N}_X(X_i(a))$
530	528	$\mathcal B_p$
531	529	$S(x)\le s^*$
532	530	$q_A \le q_B$
533	531	$A_2=[\epsilon, \epsilon]$
534	532	$X=\sum_i X_i$
535	533	$K = A - P$
536	534	$(1-g(s), 1-s)$
537	535	$r=1,2,3,4$
538	536	$0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$
539	537	$\mathsf{Pr}(E\mid A) = \mathsf{Pr}(E\cap A) / \mathsf{Pr}(A)$
540	538	$P=a - v(a-L)$
541	539	$S(M-)$
542	540	$X_{t+1,2}$
543	541	$7$
544	542	$\nu F(a)$
545	543	$\mu_d$
546	544	$[0,1]\to[0,\infty)$
547	545	$\mathsf{SA}$
548	546	$Y\le X+\Vert X-Y\Vert$
549	547	$Y_1$
550	548	$\sup \{ \mathsf{E}[X\mid A] \mid \mathsf{Pr}(A) > 1-p) \}$
551	549	$X=g(Z)$
552	550	$P = \mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{Var}^+(X)$
553	551	$Y\mid Y > y_c$
554	552	$a_1' = a_0-X_1$
555	553	$X_{t-1,3}$
556	554	$\mathbf{B}(t)$
557	555	$\mathsf Q\in\mathcal Q(X)$
558	556	$g''<0$
559	557	$g(w s_1 + (1-w)s_2) \le w g(s_1) + (1-w) g(s_2)$
560	558	$k=1,\dots,m$
561	559	$S_t=S_0 X_t$
562	560	$G=\mathrm{cl}\{\, (\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i], \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]) \mid \mathsf Q\in\mathcal Q \, \}$
563	561	$\rho(-X)$
564	562	$\mathsf{E}[X]\le \mathsf{E}[Y]$
565	563	$[s_1,1]$
566	564	$[0, 1-p]$
567	565	$X(\omega)=1-\omega$
568	566	$1-g(S(x))$
569	567	$T = \min\{ t:U(t)\le 0 \}$
570	568	$x_0=q^-(p_0)$
571	569	$\beta_i(t\mathbf{v}, x)$
572	570	$\lambda=g(\lambda_{obj})$
573	571	$[-2\pi, 2\pi]$
574	572	$\mathsf{E}[X_i\,\mathsf{E}[Z\mid X]]$
575	573	$X(\lambda\mathbf{v})$
576	574	$\bar P_{t,0} = D\rho_{W_t}(Y_{t,0})$
577	575	$a>1$
578	576	$a=R+Q$
579	577	$k-L_0^k$
580	578	$p\ge 0$
581	579	$\mathsf{E}[\iota Q] = \mathsf{E}[\iota]\mathsf{E}[Q]$
582	580	$\int g(S)$
583	581	$\mathcal E(X)=\mathsf{E}[(p X^+ + (1-p)X^-)/(1-p)]$
584	582	$0\le f<1$
585	583	$I(q,p)=0$
586	584	$1_{X < q(1-s)}$
587	585	$g - s$
588	586	$x_i=1$
589	587	$x\ge q(1-s^*)=:x^*$
590	588	$\mathsf{TVaR}_0(X)=\mathsf{E}[X]$
591	589	$X\succeq Z$
592	590	$0\le w\le 1$
593	591	$\mathsf{CTE}$
594	592	$\iota = \dfrac{\delta}{1-\delta}$
595	593	$X=x$
596	594	$g^{-1}(s)$
597	595	$U(0)=2$
598	596	$\alpha = 0.642.$
599	597	$s>1-p$
600	598	$M_i := \beta_ig-\alpha_iS$
601	599	${}^2$
602	600	$C_c$
603	601	$ROL = a + b\ \mathit{EL} + c \ C(t)$
604	602	$X_2=0$
605	603	$M=\delta a'$
606	604	$\alpha(x) S(x)>\beta(x) g(S(x))$
607	605	$P(X_{-1}(a_{gc}))$
608	606	$L = \text{E}[L^*\wedge A]$
609	607	$c(S)$
610	608	$A\cap B\subset B$
611	609	$g(s) = 1 - (1 - s)/(1 + r_f + Ck(s))$
612	610	$X-b\le 0$
613	611	$a=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
614	612	$f(x)=(\sqrt{2\pi}x)^{-1}\exp(-(\log(x)-\mu)^2/2\sigma^2)$
615	613	$r_f=0$
616	614	$\mathsf{VaR}_p(X)-f(\mathsf{VaR}_p(X))$
617	615	$MX$
618	616	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[\lambda X] = \lambda \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
619	617	$\displaystyle\int_0^{1-g(S(a))} \kappa_i(q(1-g^{-1}(1-p)))\,dp + a\beta_i(a)g(S(a))$
620	618	$X(\omega)=\exp(10 + 2\Phi^{-1}(\omega))$
621	619	$g(s)=\nu s + \delta$
622	620	$\mathsf{E}[W\tilde X] \le \rho(\tilde X)$
623	621	$W$
624	622	$\mathsf{var}nothing$
625	623	$f=f_x=f_{xx}$
626	624	$1_A$
627	625	$\wedge$
628	626	$g'(s)$
629	627	$a$
630	628	$\mathsf{E}[Y]$
631	629	$\rho(X)=\rho(\mathsf{E}[X]+X-\mathsf{E}[X])=\mathsf{E}[X] + \rho(X-\mathsf{E}[X])$
632	630	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
633	631	$X\wedge l$
634	632	$X_{t-d,d}$
635	633	$\alpha(\mathsf Q)=0$
636	634	$\bar q_{X_1+X_2}(s) \approx \bar q(s/2)$
637	635	$X_2$
638	636	$(s,g(s))=(0.2,0.36)$
639	637	$\mathsf{E}[kX]=k\mathsf{E}[X]$
640	638	$ \& $
641	639	$\inf_x\{ x + c{(X-x)^+} \}$
642	640	$P(X\wedge a)$
643	641	$x_2(S(x_1)-S(x_2))=x_2\mathsf{P}(X=x_2)$
644	642	$1-g(S(a))$
645	643	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i \mid X]=\mathsf{E}[X_i \mid X]$
646	644	$\| Z \|^*= \sup\ \{ \mathsf{E}[YZ] \mid \| Y \| \le 1 \}$
647	645	$Y_{1,0}$
648	646	$\nu^{\ast}$
649	647	$A(\lambda X)=A(\lambda X)$
650	648	$dF$
651	649	$\downarrow\downarrow$
652	650	$\rho_2(X_1)=1$
653	651	$-X$
654	652	$[x_1, x_2]$
655	653	$v_f(\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i] - \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i/X(X-a)^+])$
656	654	$\kappa_i(x)$
657	655	$\mathbf {g_2(s)=s^{0.5}}$
658	656	$r-r_L$
659	657	$\mathbf {S\Delta X}$
660	658	$\alpha_i(x) S(x)$
661	659	$(g(s_0)-g_0)/s_0 = g'(s_0)$
662	660	$\mathbb{Q} = \left \{ q:I(q,p) \le I^* \right \}$
663	661	$\rho=0$
664	662	$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[\cdot]$
665	663	$\mathbf {Q}$
666	664	$s=f'(x_0)$
667	665	$\rho(X)=\sup(X)$
668	666	$g(0+)>0$
669	667	$S(x)=e^{-\beta x}$
670	668	$s_g, s_b$
671	669	$1000$
672	670	$da>0$
673	671	$\mathbf {\beta_{2}g(S)\Delta X}$
674	672	$\mathsf{P}(X=0)=0.4$
675	673	$u'''\ge 0$
676	674	$0\le \lambda_1 \le 1$
677	675	$\rho(X+tY)\ge \mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X+tY]=\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X]+\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[tY]=\rho(X)+t\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[Y]$
678	676	$P_X$
679	677	$x_1+x_2=x$
680	678	$=\mathrm{MV}(X\wedge a)$
681	679	$M_i(x)+Q_i(x)=\alpha_i(x)F(x)$
682	680	$\delta = \iota/(1+\iota)$
683	681	$a_1'=a_0-X_1$
684	682	$X=\sum X_i$
685	683	$\mathbf {S\Delta X'}$
686	684	$X\le b$
687	685	$\delta=\iota/(1+\iota)$
688	686	$(\delta_p - il_p)/(\nu_p-l_p)$
689	687	$x=\mathsf{VaR}_p(X)$
690	688	$\mathbf {\alpha_2}$
691	689	$1200/1800=0.667$
692	690	$\sigma_0=\sigma_1$
693	691	$a(f + (1-f)/q) -1$
694	692	$g \cdot dX$
695	693	$\beta_i(a)/\alpha_i(a) < 1$
696	694	$\xtext$
697	695	$Q_{1}\Delta X$
698	696	$X_g$
699	697	$X=X(x_1,\dots,x_n)=x_1X_1 + \cdots + x_nX_n$
700	698	$s\leftrightarrow 1-s$
701	699	$\mathcal Q_i(X)$
702	700	$\mathsf{E}[X] +\lambda\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)^+]$
703	701	$V_j$
704	702	$X'=X\wedge a$
705	703	$20+8t$
706	704	$\mathsf{Pr}(X < x)\le \mathsf{Pr}(X\le x)$
707	705	$\Delta_{2}$
708	706	$\alpha_{2}$
709	707	$(1,1)$
710	708	$4$
711	709	$Q_{i,j} = M_{i,j}/\iota_j$
712	710	$L^\infty$
713	711	$f(1)=1$
714	712	$0,10,40$
715	713	$\rho(X+c)=\rho(X)+c$
716	714	$H[Y_j]$
717	715	$Z=(1-p)^{-1}1_A$
718	716	$\beta_i(x)g(S(x))$
719	717	$A_3=[0, \epsilon-k]$
720	718	$\mathsf{TVaR}_{0.95}$
721	719	$dx,dt,ds$
722	720	$f(\omega)\ge 0$
723	721	$\beta=0.57$
724	722	$(X\wedge a)$
725	723	$X < a$
726	724	$\lambda<1$
727	725	$X_{0,1}$
728	726	$\omega'\not=\omega$
729	727	$X_0< X_1 < \dots < X_m$
730	728	$\tilde X_1 + \tilde X_2 = X_1 + X_2$
731	729	$\mathbf {X_1(a)}$
732	730	$\mathsf{VaR}\_p(X\_0)$
733	731	$-(1-s)g''(1-s) + g(0+)\delta_1 + \sum_s s(g'(s-)-g'(s+))\delta_{1-s} + g'(1)\delta_0$
734	732	$a>a_{ro}$
735	733	$g'(0)=\infty$
736	734	$(X\wedge a)/X$
737	735	$P_g\ll P_X$
738	736	$Z\le (1-p)^{-1}$
739	737	$F_g$
740	738	$\bar P(x)$
741	739	$d^*=(\log(A/L) + (r_h-\mu_L + \sigma^2/2))/\sigma\sqrt{t}$
742	740	$g(s)= \displaystyle\int_0^s g'(t)\,dt = (s/(1-p)) \wedge 1$
743	741	$(s_j=0,g_j>0)$
744	742	$P'<\rho(W_1\wedge a_1)$
745	743	$\mathsf{COHERENT}$
746	744	$\Delta g(S_0)=1-g(S_0)$
747	745	$\rho_g(V)$
748	746	$X_t$
749	747	$X_1+X_2=X=x$
750	748	$m=1$
751	749	$X_n\uparrow X$
752	750	$v_1$
753	751	$a\ge 10$
754	752	$\mathbf {X_{1}}$
755	753	$\gamma=0.633$
756	754	$r=0.038$
757	755	$1000(1+t)$
758	756	$\mathbf {x_2}$
759	757	$f(0)=0$
760	758	$\mathcal M(\mathsf{P})$
761	759	$p(\nu(p)-l(p))$
762	760	$B(X)$
763	761	$h(0.9)/0.9 = 0.76$
764	762	$\int_{[0,p]} \dfrac{\mu(dt)}{1-t}$
765	763	$\mathsf{TVaR}_{0.5}(X_1)=9$
766	764	${}^nS(t)$
767	765	$Q(a)=\nu F(a)$
768	766	$\rho(X_i)$
769	767	$S(x_5)$
770	768	$h_x$
771	769	$\mathbf {Z_1}$
772	770	$Y\le 0$
773	771	$\mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[(X-\mathsf{E}[X])^+]$
774	772	$(I/a + U/R)$
775	773	$v=1/1.1<1$
776	774	$0 < r \le 1$
777	775	$\{ p \mid q^-(p) \le x \}=\{ p \mid p \le F(x) \}$
778	776	$(s,g(s))$
779	777	$R_f=0$
780	778	$\alpha_i'(x)>0$
781	779	$\lim_{s\downarrow 0} g_\tau(s) = \tau / (1+\tau)$
782	780	$\mathit{NPV}_1=0$
783	781	$X\wedge a\Delta S$
784	782	$\mathsf{TVaR}_{0.75}(X_2)=90$
785	783	$K = A-P$
786	784	$A\in\mathcal F'$
787	785	$\le 0$
788	786	$Z'(g(s))g'(s)=Z'(s)$
789	787	$\sum_i a(X_i, p^*)=a(X)$
790	788	$a_{gc}:=\mathit{VaR}_{p}(X)=18000.0$
791	789	$v=1/(1+i)$
792	790	$\alpha, \beta, \kappa$
793	791	$S_{X\wedge a}(x) = S_X(x)$
794	792	$W_0=Y_{0} + W_1$
795	793	$s_0, s_1, s_2$
796	794	$AR$
797	795	$S_j:=S(X_j)$
798	796	$f'_-$
799	797	$ is average invested assets, equal to $
800	798	$\mathsf{VaR}_{0.99}(X_2)=100$
801	799	$X_t:=\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_t]$
802	800	$q(F(x))$
803	801	$a_i$
804	802	$X_1=t$
805	803	$q=ps_g$
806	804	$X>Y$
807	805	$M=g(S)-S$
808	806	$X=1800$
809	807	$g_2(s)=s^{0.5}$
810	808	$xS(x)|_0^\infty$
811	809	$x_h(1-p)$
812	810	$\nu+\delta=1$
813	811	$\rho_i$
814	812	$\mathbf {Q_{2}\Delta X}$
815	813	$\mathsf{SSD}$
816	814	$X_i\dfrac{X\wedge a}{X}$
817	815	$r(X)=g'(S(X))$
818	816	$X\wedge d$
819	817	$1_{X>x_1}$
820	818	$\int g(S(x))\,dx$
821	819	$c(1,3)-c(3)$
822	820	$0.5$
823	821	$A(\lambda X)=\lambda A(X)$
824	822	$\mathsf{Pr}(X=y_j)$
825	823	$\mathsf{E}[u(R - X)]=0$
826	824	$\rho(X\wedge a)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X\wedge a]$
827	825	$\mathbf {Z_5}$
828	826	$c=(1-\alpha)^{-1}$
829	827	$\mathsf{TVaR}_p(X)=1=\mathsf{E}_\mathsf Q[X]$
830	828	$M_2dX$
831	829	$\mathit{EGL}_{ro}(a)=P(X_{-1}\wedge a) - P(X_{-1}\wedge a_{ro}) \ge 0$
832	830	$2\le x\le 8$
833	831	$\mathsf{CTE}_p$
834	832	$f(\mathsf{VaR}_p(X))$
835	833	$\mathsf{E}_{\mathsf Q_k}[X'']=\mathsf{E}_\mathsf{P}[X'']$
836	834	$X_n=X$
837	835	$Y_{t',d}$
838	836	$\mathsf{E}[F_2]=\mathsf{E}[F_0]$
839	837	$\mathsf{E}[e^{hX}] = \exp(h\mu+\sigma^2h^2/2)$
840	838	$D\rho_X(X_i)=D\rho_i = x_i\dfrac{\partial\rho}{\partial x_i}$
841	839	$a(X)\le a(Y)$
842	840	$g'(s)<1$
843	841	$\beta > \alpha$
844	842	$\bar\iota=\iota$
845	843	$\int_a^{a+y} S(x)dx$
846	844	$0.125 \cdot 8 = 1$
847	845	$h\left(\displaystyle\int_\Omega g(X(\omega))\mathsf{Pr}(d\omega)\right)$
848	846	$\bar\delta(x)$
849	847	$P_{act}-P$
850	848	$\rho(X, p^\star)=a(X)$
851	849	$q(0.75)$
852	850	$s=S_X(y)$
853	851	$\rho l = \iota C$
854	852	$\alpha(1-\alpha)(1-s)^{\alpha-1} + \alpha\delta_0$
855	853	$Y_s$
856	854	$\eta\nu$
857	855	$(g_j-s_j)/(1-g_j)$
858	856	$Z=g'(S_X(x))$
859	857	$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[Y]=\mathsf{E}[Yg'(S(X))]$
860	858	$\Delta S_5$
861	859	$F(x)$
862	860	$D=(X-a)^+$
863	861	$\sigma^2/2$
864	862	$i=1$
865	863	$h(p)\le p$
866	864	$b = g/(1-g)$
867	865	$d=d(X_1,\dots,X_n)$
868	866	$X=\max(X)$
869	867	$v$
870	868	$F(q(p))=p$
871	869	$\mathsf{E}[Z]=1$
872	870	$g(0+)=\mu(\{1\})$
873	871	$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_{\tau}]$
874	872	$X_i(a)$
875	873	$p=0.999$
876	874	$m\ge 1$
877	875	$X_1(a)$
878	876	$\Delta_s=g'(s-)-g'(s+)$
879	877	$\mathsf Q \ll \mathsf P$
880	878	$k/n$
881	879	$L(X)=w(X)/\mathsf{E}[w(X)]$
882	880	$X_{t-1,2}$
883	881	$\mathsf{Pr}(X\ge x)\ge 1-p\ge \mathsf{Pr}(X> x)$
884	882	$d=1-v$
885	883	$f(t)=a(tx_1,\dots, tx_n)=ta(x_1,\dots, x_n)$
886	884	$\partial a/ \partial v_i$
887	885	$-g''$
888	886	$g'(1)=0$
889	887	$\mathsf{E}[X_ih(X)]=\mathsf{E}[\kappa_i(X)h(X)]$
890	888	$\mathsf{E}[XZ(X)]$
891	889	$P(a)=g(S(a))\ge S(a)$
892	890	$x\mapsto x$
893	891	$x^{\ast}=\mathsf{VaR}_p(X)$
894	892	$\mathsf{E}[X] \le \bar P \le \sup X$
895	893	$(1,\dots,1)$
896	894	$\mathsf{Pr}(X=x_i)=\lambda_i/\lambda$
897	895	$Y=-X$
898	896	$\lim_{y\downarrow x} f(y)$
899	897	$\iota=0.1$
900	898	$A_Y = 2.155$
901	899	$g(S)=1$
902	900	$X:=Y$
903	901	$0.05$
904	902	$\mathbf {j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)}$
905	903	$\mathsf{Pr}(M=m)=\frac{r}{1+r}\frac{1}{(1+r)^m}$
906	904	$xS(x)\vert_0^\infty =\lim_{x\to\infty} xS(x)=0$
907	905	$k!$
908	906	$\kappa_i(x)=\mathsf{E}[X_i\mid X=x]$
909	907	$602.6 billion and converted to net premium based on $
910	908	$q(p)\phi(p)\times dp$
911	909	$B_t$
912	910	$ABC$
913	911	$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$
914	912	$\mathsf{E}[X_2\mid X=20]=6$
915	913	$\mathbf {M_2\Delta X}$
916	914	$a = 0.6565$
917	915	$\mu(ds)$
918	916	$p<\infty$
919	917	$X_n(2/3)$
920	918	$X_s$
921	919	$x=q(p)$
922	920	$q_X(p)=\mu+\sigma z_p$
923	921	$Y_{0,t}:=\sum_{d>t} X_{0,d}$
924	922	$\mathsf{E}[X1_A] / \mathsf{E}[1_A]$
925	923	$Z_{a}(a)$
926	924	$\le p$
927	925	$dx$
928	926	$A = 8.14864$
929	927	$L(X)=1_{X=x_p}(X)/f(x_p)$
930	928	$\{0, 8, 10\}$
931	929	$\mathcal D(X)=c\mathsf{TVaR}_p(X-\mathsf{E}[X])$
932	930	$P = \mathsf{TVaR}_\pi(X)$
933	931	$w=w f(1)=w f(1)+(1-w)f(0) \le f(w 1 + (1-w)0)= f(w)$
934	932	$Z_\mathit{lin}$
935	933	$X_t=\mu t + \sigma W_t$
936	934	$\alpha S$
937	935	$f(x)=\sin(x)$
938	936	$\mathbf {X_{2c}}$
939	937	$\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}=\{\text{Ada}, \text{Bernhard}, \dots, \text{Zeno} \}$
940	938	$\alpha(1+fg/(1-g))$
941	939	$s > s_1$
942	940	$t=2/3$
943	941	$\int_0^s \phi(1-t)dt$
944	942	$\rho(U)=\mathsf{E}_\mathsf Q[U]$
945	943	$H_k(X) \le H_k(Y)$
946	944	$X\preceq Y$
947	945	$1-1/c$
948	946	$0 < s < 1$
949	947	$-\rho(-X)\le \mathsf{E}[X]$
950	948	$\infty$
951	949	$q(\hat p)$
952	950	$Z=g'(S(X))$
953	951	$n+1=N$
954	952	$P=L/(1+R_L)$
955	953	$\rho(X_n)\not\to \rho(X)$
956	954	$X'\Delta g(S)$
957	955	$\mathbf {x_1}$
958	956	$\beta_i(X_4)$
959	957	$s>0.2$
960	958	$q_{X+c}(p)=c+q_X(p)$
961	959	$X=q(F(X))$
962	960	$0.2 < s < 1$
963	961	$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F'](\omega)$
964	962	$t>0.5$
965	963	$0 \le t \le 1$
966	964	$\mathsf{TVaR}_p(X(x_1,x_2))=(x_1 + x_2)\mathsf{TVaR}_p(Y)$
967	965	$X_1\le X_2\implies a(X_1;X)\le a(X_2;X)$
968	966	$\rho(X_j)=\max_k \mathsf{E}_\mathsf{Q_k}[X_j]$
969	967	$\rho_c(X)=\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)=8.5$
970	968	$\mathbf {\Delta S}$
971	969	$V_X$
972	970	$\mathsf{E}[g'(S(X))]=\int_0^\infty g'(S(x))f(x)dx=\int_0^\infty -\frac{d}{dx}g(S(x))dx=g(S(0))-g(S(\infty))=g(1)-g(0)=1$
973	971	$\rho(1)=1$
974	972	$(3,2)$
975	973	$a_2'$
976	974	$x_{i-1}\le x'_i\le x_i$
977	975	$\mathsf{E}[ X_i \mid X(x) = q_{x}(p)]$
978	976	$\mathsf{TVaR}_p(X)=(12(0.9-p) + 2.5)/(1-p)$
979	977	$V$
980	978	$D^f\rho_{W_t\wedge a, W_t}(Y_{0})$
981	979	$\mu$
982	980	$\beta_i(x) =\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i/X\mid X>x]$
983	981	$y=(\log(x)-\mu)/\sigma$
984	982	$\sup(X)<\infty$
985	983	$+\infty$
986	984	$F^{-1}(p)=q(p)$
987	985	$Z(y_j)$
988	986	$\bar Q_{d}=a_{d}-\bar P_{d}$
989	987	$\rho(X_n) \uparrow \rho(X)$
990	988	$\bar P_0>\mathsf{E}[Y_{0}]$
991	989	$S(a)$
992	990	$(1-g(s))(1-q)$
993	991	$\Delta \mathit{MV}_{gc}(a)$
994	992	$X_1,\dots,X_m$
995	993	$da1_{X>x}$
996	994	$g_1F$
997	995	$\mathsf{E}[X_i(a)\,g'(S_{X\wedge a}(X\wedge a))]$
998	996	$\bar P_{0,t}:=\rho(Y_{0,t})$
999	997	$x_0+x_1+x_2$
1000	998	$\bar S(a)=\displaystyle\int_0^a S(x)dx$
1001	999	$S(X_j)>0$
1002	1000	$f(s)=\alpha(1-\alpha)(1-s)^{\alpha-1}$
1003	1001	$1_A:\Omega\to \{0,1\}$
1004	1002	$g(S(\infty))=0$
1005	1003	$\alpha_i(a) = \dfrac{\sum_{j:X_j>a} (X_{i,j}/X_j)p_j}{\sum_{j:X_j>a} p_j}$
1006	1004	$P_i,M_i, Q_i$
1007	1005	$C'_i$
1008	1006	$l_i$
1009	1007	$A(c)=c$
1010	1008	$I$
1011	1009	$X\preceq_m Y$
1012	1010	$(-\x, 2)$
1013	1011	$\rho(X),\rho(Y)\le 0$
1014	1012	$a_{d} = \mathsf{E}[Y_{d}]+4\sigma(Y_{d})$
1015	1013	$X_{0,t}$
1016	1014	$a-X\le 0$
1017	1015	$m_3=0$
1018	1016	$\mathsf{E}[Z]\ge 1$
1019	1017	$\mathsf{E}[X_iZ_j]$
1020	1018	$\rho(W_1\wedge a_1 \wedge a_1')$
1021	1019	$\mathsf{E}[XZ]$
1022	1020	$\mathsf{CONVEX,LI}$
1023	1021	$1_{X>x}$
1024	1022	$\tau a$
1025	1023	$E\in\mathcal F$
1026	1024	$a/Q = 1 + R/Q$
1027	1025	$F_Y$
1028	1026	$\mathbf {\Delta g(S)}$
1029	1027	$X(T(U))$
1030	1028	$\esssup(X)=\sup\{x\mid \mathsf{Pr}(X>x)>0 \}$
1031	1029	$\le 1/(1-p)$
1032	1030	$0\le \lambda\le 1$
1033	1031	$r\times 1$
1034	1032	$(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)$
1035	1033	$(3,1)$
1036	1034	$M=\mathsf{var}nothing$
1037	1035	$\mathcal F_0\subset\mathcal F_1\subset \cdots\subset \mathcal F_N$
1038	1036	$v_f\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]$
1039	1037	$\mathsf{Pr}(X=2)=0.5$
1040	1038	$\dots$
1041	1039	$R_C$
1042	1040	$k = 3.3 s^{0.82}$
1043	1041	$X_n=1_{\{0,1,\dots,n-1\}}$
1044	1042	$X(\omega)=x$
1045	1043	$R_L$
1046	1044	$X=10$
1047	1045	$Q_i$
1048	1046	$P(a)$
1049	1047	$\mathsf{E} X + c{(X-\mathsf{E} X)^+}_p$
1050	1048	$\rho(X)\ $
1051	1049	$U(1)=1$
1052	1050	$g(S_{X\wedge a'}(x))$
1053	1051	$ occurs, i.e., those with the value 1 in the $
1054	1052	$\Delta X_m$
1055	1053	$(0,0,0,0,0,0,0,5,0,5)$
1056	1054	$D=1$
1057	1055	$\rho(X)=\max_i \rho_i(X)$
1058	1056	$a_h=2-a_l$
1059	1057	$0 < \alpha \le 1$
1060	1058	$i=1,\dots,N$
1061	1059	$-norm equal to 1. (Note that $
1062	1060	$g(0.1)=\sqrt{0.1}=0.316$
1063	1061	$\rho_g(X)=\mu+\lambda$
1064	1062	$0.5 + U/2$
1065	1063	$-g'(S(x))f(x)$
1066	1064	$\mathsf{E}[Y \mid U]$
1067	1065	$1-(p_R+p_Y)$
1068	1066	$(1+\epsilon)v_1$
1069	1067	$\Vert X-Y\Vert := \sup_{\omega\in\Omega} |X(\omega) - Y(\omega)|$
1070	1068	$(\partial a/\partial x_1)(tx_1,tx_2)= 3tx_1 /a(tx_1, tx_2) = 3x_1 /a(x_1, x_2)=\partial a/\partial x_1$
1071	1069	$\mathsf{TVaR}_p$
1072	1070	$U\le u$
1073	1071	$-dS=f(x)dx$
1074	1072	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge a)\right] + \tau a \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i/X\mid X > a]$
1075	1073	$\mathsf{COM}$
1076	1074	$1_\omega$
1077	1075	$\alpha=0.5$
1078	1076	$\mathsf{biTVaR}_{p_0,p_1}^w(X)=\mathsf{TVaR}_{p^\ast}(X)$
1079	1077	$\mathbf{x}=\mathbf{1}$
1080	1078	$\beta_i(x)/\alpha_i(x)$
1081	1079	$d^*$
1082	1080	$\mathbf {\omega_1},\dots,\mathbf {\omega_n}$
1083	1081	$X_2-X_1$
1084	1082	$q_{X_i}(p)=\Phi^{-1}(p)$
1085	1083	$\mathsf{Q}\in\mathscr{P}$
1086	1084	$Z_a$
1087	1085	$\mu(\{p_0\}) = 1-w$
1088	1086	$Z(\omega)> 0$
1089	1087	$r=0.045$
1090	1088	$h(s)=s^m$
1091	1089	$X\_{1}$
1092	1090	$cv=0.557$
1093	1091	$du = -g'(S(x))dF(x)$
1094	1092	$g(0)=r_0$
1095	1093	$\sup_\mathsf{Q} (\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X] - l(Q))$
1096	1094	$M_i=\beta_ig(S)-\alpha_iS$
1097	1095	$j$
1098	1096	$g-s$
1099	1097	$\mathsf{E}[X_i \mid X=q(1-g^{-1}(1-p))]$
1100	1098	$w_u=1+c(1-\gamma)$
1101	1099	$a:=\rho(X)$
1102	1100	$g\Delta X \wedge a$
1103	1101	$\beta_i(a)g(S(a))=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) 1_{X>a}]$
1104	1102	$M=rQ$
1105	1103	$X,X_i$
1106	1104	$Y_c$
1107	1105	$($
1108	1106	$S_{X\wedge a}$
1109	1107	$\rho(1_A)$
1110	1108	$g_4(s)=s^{0.9}$
1111	1109	$(4,1)$
1112	1110	$f(L)=0$
1113	1111	$\mathsf{Q}'(\Omega_a) =\mathsf{Q}(\Omega_a)$
1114	1112	$E[(X-qp)^+]$
1115	1113	$I/a + U/R > 0$
1116	1114	$g'(S(x))=(1-p)^{-1}$
1117	1115	$a\le 1$
1118	1116	$a-b_h<0$
1119	1117	$\mathcal V(X)=\frac{1}{1-p}\mathsf{E}[X^+]$
1120	1118	$\mathsf{TVaR}_p(X) := (1-p)^{-1}(T_1+T_2)/N$
1121	1119	$0.417 < p < 0.791$
1122	1120	$1-\nu p$
1123	1121	$\sqrt{0.9}=0.95$
1124	1122	$c(1,2)-c(2)$
1125	1123	$\lambda X$
1126	1124	$r_A$
1127	1125	$\dfrac{\iota}{1+\iota} p$
1128	1126	$a = a(W) = \mathsf{E}[W]+4\sigma(W)$
1129	1127	$\rho_g(X)=452.98$
1130	1128	$a < \infty$
1131	1129	$\alpha(\mathsf Q) = 0$
1132	1130	$\mathsf{VaR}_p$
1133	1131	$X_1=X_2=Y$
1134	1132	$P = 1.5$
1135	1133	$\mathsf{E}_\mathsf{P}[X']$
1136	1134	$S(x)dx$
1137	1135	$L_a^{a+y}$
1138	1136	$\mathsf P,\mathsf Q_2,\dots,\mathsf Q_r$
1139	1137	$F(t)$
1140	1138	$P((1+\epsilon)v_1, v_2, a+da)=P^a((1+\epsilon)v_1, v_2)$
1141	1139	$\mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{var}(X)$
1142	1140	$\tau=0+d$
1143	1141	$Y=f(X)$
1144	1142	$a_1 = 5.991$
1145	1143	$\mathbf {\iota=M/Q}$
1146	1144	$X=X\wedge a + (X-a)^+$
1147	1145	$s\wedge p=\min(s,p)$
1148	1146	$a=30$
1149	1147	$1_{U_X\ge p}$
1150	1148	$g(s)\ge s$
1151	1149	$\mathsf Q(A)>0$
1152	1150	$\mathsf{COH}$
1153	1151	$D f(x_0)$
1154	1152	$r_H$
1155	1153	$d=iv$
1156	1154	$U>p$
1157	1155	$p<0.1$
1158	1156	$\mathsf{biTVaR}_{0,0.9}^{0.3138}$
1159	1157	$(g(s)-s)/(1-s)$
1160	1158	$P/L$
1161	1159	$\mathsf{E}_Q[X]$
1162	1160	$j=7$
1163	1161	$\mathbf{v}'$
1164	1162	$0< p <1$
1165	1163	$\psi(u)=\mathsf{Pr}(Y > u)$
1166	1164	$\mathsf P(A)=0$
1167	1165	$X_{-1}=x$
1168	1166	$x=q^-(p)$
1169	1167	$(\lambda S(x))$
1170	1168	$Q=1-g(S)$
1171	1169	$\mathsf{E}[X_i/X|X>a]$
1172	1170	$1^+$
1173	1171	$X \wedge a$
1174	1172	$\mathsf{E}[Y_i\mid X_n]$
1175	1173	$\delta(s)$
1176	1174	$[x, y]$
1177	1175	$\omega>0$
1178	1176	$t \in (0,1)$
1179	1177	$1=1_{X\le a}+1_{X>a}$
1180	1178	$\rho(X_n)$
1181	1179	$Y\equiv 1$
1182	1180	$(dt)^{3/2}$
1183	1181	$m_0=0$
1184	1182	$\iota=\dfrac{M}{Q}$
1185	1183	$X\circ f$
1186	1184	$\rho_c(X)=\mathsf{E}[X]+c\sigma(X)$
1187	1185	$g(s)=s^\lambda$
1188	1186	$\mathsf{MON,\ NORM}$
1189	1187	$\sum_i \kappa_i'(x)=1$
1190	1188	$a<E[X_{-1}]$
1191	1189	$Y_m>x$
1192	1190	$p'\ge p$
1193	1191	$H_k(X):=\mathsf{E}[\max(X_1\dots, X_k)]$
1194	1192	$\bar P_i(a)$
1195	1193	$\sum_\omega \mathsf Q(\omega) =\mathsf{E}[Z] / \mathsf{E}[Z]=1$
1196	1194	$\mathsf{P}(X=0)$
1197	1195	$B$
1198	1196	$Np=67.45$
1199	1197	$X_n,X$
1200	1198	$(1-p)\gamma(dp)$
1201	1199	$X'=X$
1202	1200	$(1-p)/(p(\nu_p-l_p)^2)$
1203	1201	$0.33$
1204	1202	$\mathsf{E}[X] = \mathsf{E}[\mathsf{E}[X\mid Y]]$
1205	1203	$\mu_U = 1-p = 0.995$
1206	1204	$j+1$
1207	1205	$q_{X+Y}=q_X+q_Y$
1208	1206	$\mathsf Q_{X}$
1209	1207	$u_{X,r}(p)=\psi_{X,r}^{-1}(p)$
1210	1208	$L_a^{a+da}=L_0^{a+da}-L_0^a$
1211	1209	$c(X(\mathbf{v}))=c(\mathbf{v})$
1212	1210	$\mathsf{MRM}$
1213	1211	$^{*}$
1214	1212	$s=0,1$
1215	1213	$X(x,-x)\equiv 0$
1216	1214	$F(x):=\mathsf{P}(X\le x)$
1217	1215	$\mathbf {X_{g}}$
1218	1216	$\max X$
1219	1217	$\{\mathsf{E}[X_i\,Z] \mid \rho(X)=\mathsf{E}[XZ] \}$
1220	1218	$\rho(X)=\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X]$
1221	1219	$q=q(p)$
1222	1220	$\rho(\mathsf{E}[X_2\mid X_1])\le \rho(X_2)$
1223	1221	$1/m>0$
1224	1222	$B\subset [0,1]$
1225	1223	$g(S(x))=1-p$
1226	1224	$f:(0,1)\to (0,1)$
1227	1225	$\mathbf {S}$
1228	1226	$p_0,\dots, p_{n'}$
1229	1227	$X_1-X_0$
1230	1228	$\bar P = \bar S + \bar M$
1231	1229	$\mathbf {X_1}$
1232	1230	$\rho(\tilde X)=\rho(X) + \rho(\tilde X-X)$
1233	1231	$\mathsf{E}[(X-a)^+]$
1234	1232	$u\in D_n=\{ u \mid u^{(k)} \ge 0, k=1,\dots,n-1, u^{(n-1)}\text{ nondecreasing} \}$
1235	1233	$l(\mathbf X)=(\sum_i X_i^2)^{0.5}$
1236	1234	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[\tilde X-X] \le \rho(\tilde X-X)$
1237	1235	$s=S(x)$
1238	1236	$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[Y]=\mathsf{E}[YZ]$
1239	1237	$s_j < 1$
1240	1238	$\bar S(a+da)-\bar S(a)\approx \bar S'(a)da = S(a)da$
1241	1239	$t-1$
1242	1240	$\mathcal D(X+c)=\mathcal D(X)$
1243	1241	$s\in[0,1]$
1244	1242	$\mathsf{E}[Yg'(S(X))]$
1245	1243	$p=1-1/n$
1246	1244	$X(\omega)=X_1(\omega)+X_2(\omega)$
1247	1245	$S(x) + d\,F(x) + (\delta^{\star}-d)\sqrt{S(x)F(x)}>1$
1248	1246	$\bar S_i(a) := \mathsf{E}[X_i(a)]$
1249	1247	$S(x_#4)$
1250	1248	$1-e^{-\lambda S(x)}$
1251	1249	$\mathcal V$
1252	1250	$\beta>1$
1253	1251	$X_n=n1_A$
1254	1252	$d-1$
1255	1253	$g(S(x))\approx S(x)\approx 1$
1256	1254	$t_0$
1257	1255	$D_1$
1258	1256	$\mathcal E$
1259	1257	$s\uparrow 1$
1260	1258	$Mg(0+)$
1261	1259	$S/L\ge A/L-1$
1262	1260	$\succeq$
1263	1261	$2\mathsf{VaR}_p(X_1) - \mathsf{VaR}_p(X)$
1264	1262	$Y = X + Z$
1265	1263	$)$
1266	1264	$\rho(X)=\mathsf{VaR}_{0.995}(X)-\mathsf{E}[X]$
1267	1265	$\tilde X_2 = X_2 -\mathsf{E}[X_2\mid X_1]$
1268	1266	$p\to 1$
1269	1267	$1-(1-s)^m$
1270	1268	$\mathsf P(T^{-1}(A))=\mathsf P(A)$
1271	1269	$-zf(x)=(d/dx)g(S(x))$
1272	1270	$\rho_X(X_i)$
1273	1271	$P=\rho(X \wedge a)$
1274	1272	$s=0.02$
1275	1273	$F(q^-(p_0))=p_+>p_0$
1276	1274	$\Delta g(S)$
1277	1275	$\Delta$
1278	1276	$\mu=10, \sigma=2$
1279	1277	$t=3$
1280	1278	$0\le q\le 1$
1281	1279	$L_a^y$
1282	1280	$l=\sum_i l_i$
1283	1281	$X=30$
1284	1282	$f:I\to\Omega$
1285	1283	$\mathsf{E}[X_2\mid X=x]$
1286	1284	$f(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$
1287	1285	$g(0+)=\delta$
1288	1286	$S_i(x)$
1289	1287	$h=2$
1290	1288	$g'_\tau(s) = g'(s)/(1+\tau)\ge 0$
1291	1289	$1-\mathsf{P}(X=0)$
1292	1290	$t \ne 0$
1293	1291	$\mathbf {D^f\rho_{X\wedge 30,X}(X_1)}$
1294	1292	$\rho=\mathsf{TVaR}_p$
1295	1293	$\kappa_j(x)\approx \mathsf{E}[X_j]$
1296	1294	$\tilde M_i(a) = \bar M_i(a)-\tau_i a_i$
1297	1295	$a>10$
1298	1296	$x^+$
1299	1297	$\pi^{-1}\log\mathsf{E}[e^{\pi x}]$
1300	1298	$A(-X)=-A(X)$
1301	1299	$g(s)=s^{1/3}$
1302	1300	$\{X = x\}$
1303	1301	$p_1,p_1$
1304	1302	$0\le x \le 1000$
1305	1303	$U_s$
1306	1304	$\mathsf{Pr}(X< x)\le 0.75 \le \mathsf{Pr}(X\le x)$
1307	1305	$\{1,2,3\}$
1308	1306	$i=0,1$
1309	1307	$\mathsf{Var}(\Pi)$
1310	1308	$\mathsf{TVaR}_{0.75}(X_1)=10$
1311	1309	$g_k(s)=1-(1-s)^k$
1312	1310	$g'(S_{X}(X))$
1313	1311	$(8t+10t)/2$
1314	1312	$g(S(x_i-))=g(S(x_{i}))$
1315	1313	$\nu + \delta = 1$
1316	1314	$1-1/n$
1317	1315	$\Omega_1$
1318	1316	$\mathsf{Pr}(A\cup B)=\mathsf{Pr}(A)+\mathsf{Pr}(B)$
1319	1317	$\Delta g(S_j)$
1320	1318	$x\leftrightarrow u(x)$
1321	1319	$\eta=0.49$
1322	1320	$X=q(p)$
1323	1321	$\log(\mathit{EER}) = \gamma + \eta \log(\mathit{PFL}) + \beta \log(\mathit{LGD})$
1324	1322	$Y=-X_0$
1325	1323	$g'\circ S_{X\wedge a}$
1326	1324	$s_2 - s_1$
1327	1325	$y < q_A(p)$
1328	1326	$\Delta\mathit{MV}$
1329	1327	$g'(s+)$
1330	1328	$\mathsf{Q}(A)=\mathsf{E}[1_AZ]=0$
1331	1329	$w=E[w|s=0.1]=0.06405$
1332	1330	$f'_+$
1333	1331	$f_x=1/S_t$
1334	1332	$S(X(\omega))$
1335	1333	$\rho_2(X)$
1336	1334	$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_t](\omega)=\sum_{i \le t} \omega_i/2^i+2^{-(t+1)}$
1337	1335	$L$
1338	1336	$\partial a/\partial x_1=3x_1/a$
1339	1337	$g(s)\ge 0g(0) + sg(1)=s$
1340	1338	$T:\Omega\to\Omega$
1341	1339	$t>x$
1342	1340	$L^1$
1343	1341	$(a-X_{\mathsf{j}(a)})$
1344	1342	$\alpha=d_i$
1345	1343	$A=\mathbb Q\cap [0,1]$
1346	1344	$\mathsf{E}[F_1] > \mathsf{E}[F_0]$
1347	1345	$Q_1\Delta X$
1348	1346	$f(L) \ge 0$
1349	1347	$\rho(X_1)=\rho(X_2)$
1350	1348	$\rho(\tilde X)$
1351	1349	$\mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{Var}(X)$
1352	1350	$F_3$
1353	1351	$\mathsf{CTE}_p(X)$
1354	1352	$1_{U < s}$
1355	1353	$Q_2dX$
1356	1354	$p\to S\to gS \to \Delta gS$
1357	1355	$P\ge (\mathsf{E}[X] + \iota a)/(1 + \iota)$
1358	1356	$\Delta Q_{gc}(a)$
1359	1357	$g(s) = s^a$
1360	1358	$\mathsf{P}(X=1)=0.6$
1361	1359	$d^\ast = 1-(1-g^\ast)/(1-s^\ast)$
1362	1360	$g(s)=g(1-p)$
1363	1361	$\alpha_{Cat}$
1364	1362	$D^f\rho_{X\wedge a,X}(X_i(a))$
1365	1363	$\mathsf{E}[e^{kX}]$
1366	1364	$\tilde{\mathsf{Q}}$
1367	1365	$r_f$
1368	1366	$X = \sum_i X_i$
1369	1367	$x_3(S(x_2)-S(x_3))=x_3f(x_3)$
1370	1368	$\preceq_2$
1371	1369	$\Delta \bar Q$
1372	1370	$m_0$
1373	1371	$(\alpha_i S)'(x)=-\mathsf{E}[X_i\mid X=x]f(x)/x=-\kappa_i(x)f(x) / x$
1374	1372	$Q(a)=1-g(S(a))$
1375	1373	$\bar P_i(x)$
1376	1374	$S\subset T$
1377	1375	$f(L)$
1378	1376	$D_n$
1379	1377	$\{1+\lambda(f-\mathsf{E} f) \mid f\ge 0, \|f\|_q\le 1 \}$
1380	1378	$R_M$
1381	1379	$Z_5$
1382	1380	$\mathbf {s_1}$
1383	1381	$q^-=q^+$
1384	1382	$\mathsf{E}[X_i \mid X = x]$
1385	1383	$-\int xd(g\circ S)=\int g(S(x))dx$
1386	1384	$y\not=z$
1387	1385	$1-g_\tau(s)$
1388	1386	$a=\mathsf{E}[X \mid X > q(p)]$
1389	1387	$\rho(aX+bY) = a\rho(X) + b\rho(Y)$
1390	1388	$\rho L = \iota Q$
1391	1389	$W \equiv T_{(1)}=min_k{T_k}$
1392	1390	$\lambda \rho(X)$
1393	1391	$Y=h(Z)$
1394	1392	$y^{\ast}-x^{\ast} < \epsilon$
1395	1393	$\mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[((X-\mathsf{E}[X])^+)^p]^{1/p}$
1396	1394	$U/4$
1397	1395	$D\rho(X_0)=\{Z \}$
1398	1396	$X > A$
1399	1397	$\pi-\lambda\mathsf{E}[X]$
1400	1398	$\mathsf{Pr}(A)\in [0,1]$
1401	1399	$1=\mathsf Q(\Omega)\not=\sum_n \mathsf Q(\{n\})=0$
1402	1400	$\sigma=0.25$
1403	1401	$\Delta \mathit{MV}_{gc}(a)$
1404	1402	$G(x)=\mathsf{Q}(\{X\le x\}) = 1-g(1-F(x))$
1405	1403	$\Phi'(Z(s))Z'(s)=1$
1406	1404	$\bar q_{X_1+X_2}(s) \ge \bar q(s/2)$
1407	1405	$K = 5.029$
1408	1406	$1_{X>x_2}$
1409	1407	$S\Delta X$
1410	1408	$\mathsf{Pr}(X > x)$
1411	1409	$G(X_1,\dots, X_n)'=(Y_1,\dots, Y_r)'$
1412	1410	$\mu_L=r_L +\pi$
1413	1411	$X=20$
1414	1412	$\mathsf P(X=\max(X))=0$
1415	1413	$r_a+r_l$
1416	1414	$S_1$
1417	1415	$\mathbf X / l(\mathbf X)$
1418	1416	$w, 1-w$
1419	1417	$\mathcal D$
1420	1418	$ (range.south)+(0, -1) $
1421	1419	$\mathsf{P}$
1422	1420	$X=\sum_{i=1}^n X_i$
1423	1421	$X_j=x$
1424	1422	$\Omega_a$
1425	1423	$S_j$
1426	1424	$\beta>\alpha$
1427	1425	$f(W_t,t)$
1428	1426	$Z=d\mathsf{Q}/d\mathsf{P}$
1429	1427	$\mathbf {Q_{1}\Delta X}$
1430	1428	$p\le S(x^*)$
1431	1429	$\phi(t)$
1432	1430	$S(x)=p$
1433	1431	$U/2$
1434	1432	$\int Zd\mathsf P=1$
1435	1433	$1+t$
1436	1434	$a_{1}'$
1437	1435	$r_h=-0.025$
1438	1436	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[\cdot]$
1439	1437	$(x_A,g(S(x_A)))$
1440	1438	$p(1-\nu(p))=p\delta(p)$
1441	1439	$\beta_i$
1442	1440	$1-S$
1443	1441	$p_{\mathit{pr}}$
1444	1442	$g(0+)=\lim_{t\downarrow 0} g(t)\ge 0$
1445	1443	$0\le \pi\le 1$
1446	1444	$\mathsf{E}[cZ]=c\mathsf{E}[Z]=c$
1447	1445	$Z=Z(X)$
1448	1446	$r_a$
1449	1447	$\int_a^\infty g(S(x))\,dx$
1450	1448	$\prec X$
1451	1449	$\{2, 3\}$
1452	1450	$(0,1,2,3,4,8,8,8,8,9)$
1453	1451	$n\ge 3$
1454	1452	$=\mathrm{MV}(a-X)^+$
1455	1453	$g(s)/(1-g(s))$
1456	1454	$\bar P_i(a)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i(a)]=\mathsf{E}[X_i(a)g'(S(X))]$
1457	1455	$E[Y\,dG/dF]$
1458	1456	$g(S_X(x))=1$
1459	1457	$q(p)=\inf\{x \mid F_X(x)\ge p \}$
1460	1458	$\mathit{NPV}_{\infty}$
1461	1459	$E[X_1 | X]$
1462	1460	$\beta_D$
1463	1461	$\mathbf {X_{2}}$
1464	1462	$\alpha_i(x)S(x)=\mathsf{E}[(X_i/X)1_{X>t}]$
1465	1463	$\sigma=0.1246$
1466	1464	$F(x;\alpha)$
1467	1465	$D_\infty$
1468	1466	$(1,3)$
1469	1467	$X, Y$
1470	1468	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}$
1471	1469	$q^-(p)=\mathsf{VaR}_p(X)$
1472	1470	$i=1,\ldots,n$
1473	1471	$P/l-1 =\rho= \iota Q / l = \iota(C/l + g)$
1474	1472	$c(x)=\rho(\sum_i x_iX_i)$
1475	1473	$\omega_1=0$
1476	1474	$E_{\mathsf{Q_X}}$
1477	1475	$M_{2}\Delta X$
1478	1476	$S(x_#5)$
1479	1477	$(\nu,\nu,\dots,\nu,\nu+10\delta)$
1480	1478	$\mathsf{E}[X\wedge a(X)]$
1481	1479	$\mathcal F'\subset \mathcal F$
1482	1480	$\Delta S_0$
1483	1481	$a_{d}$
1484	1482	$\tilde X(x) = x$
1485	1483	$A/L<1$
1486	1484	$X_n(\omega)$
1487	1485	$\mathsf{E}[X_{d}]$
1488	1486	$\bar P^a(\mathbf{v})$
1489	1487	$\int_0^1 f(s)ds = 1 - \alpha < 1$
1490	1488	$\mathcal{N}_{X}(X_i(a))$
1491	1489	$a-P$
1492	1490	$\rho(X)=\sup_{\mathsf Q\in\mathcal Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
1493	1491	$\mathsf{Q}(A)\le g(\mathsf{P})(A))$
1494	1492	$d=0$
1495	1493	$x\mapsto g(s)+g'(s)(x-s)$
1496	1494	$\mathsf{VaR}_{1-s}$
1497	1495	$\rho_g(X\wedge a)=(\bar L + ra)/(1+r)$
1498	1496	$(a-X)$
1499	1497	$\omega'=1$
1500	1498	$1/6 + 2 /6 + 4/2 + 9/6$
1501	1499	$\rho_a(kX) = \rho(kX \wedge a(kX)) = \rho(kX \wedge ka(X)) = \rho(k(X\wedge a(X))) = k\rho(X\wedge a(X)) = k\rho_a(X)$
1502	1500	$500mm, enough to materially impair their franchise, is judged to be 0.4%. This has a corresponding risk-neutral value of 2.5%. However, they believe that a loss over $
1503	1501	$(a_1'-a_1)^+$
1504	1502	$X\wedge a=\sum_i X_i(a)$
1505	1503	$\mathbf {a}$
1506	1504	$\int_0^a g(S(x))dx$
1507	1505	$Q,\iota,M$
1508	1506	$\mathsf{E}[p]=1$
1509	1507	$p>p^*$
1510	1508	$\{X\ge q(p)\}=\{X \ge 12\}$
1511	1509	$g(1)-g(0)=1$
1512	1510	$g(s)(1-q)$
1513	1511	$(g(S(x^-)-g(S(x)))/(S(x^-)-S(x))$
1514	1512	$\sum_j X_{i,j}(a)\Delta g(S_j)$
1515	1513	$\mathsf{P}(a,b]=b-a$
1516	1514	$j=1,\dots,d$
1517	1515	$Z(\omega)=0$
1518	1516	$l(p)= \nu(p)-\sqrt{(1-p)/p}$
1519	1517	$\int_0^1 g(s)ds - 0.5$
1520	1518	$\rho_{g}$
1521	1519	$\prec_1$
1522	1520	$S\ge (1-\epsilon)\mathsf{E}[X]$
1523	1521	$\alpha(\mathsf{Q})$
1524	1522	$\mathsf{E}[\mathsf{E}[Z\mid X]]=\mathsf{E}[Z]$
1525	1523	$\epsilon v_1$
1526	1524	$\phi(p) = (1-\alpha)^{-1}1_{[1-\alpha, 1)}(p)$
1527	1525	$S(M)=0$
1528	1526	$c\ge 0$
1529	1527	$p_1=1$
1530	1528	$x_{1,i}+x_{2,k(i)}$
1531	1529	$(x_1, x_2)$
1532	1530	$\alpha_i'(x) \to 0$
1533	1531	$\displaystyle\int_0^{F(a)} \kappa_i(q(p))\,dp + a\alpha_i(a)S(a)$
1534	1532	$\bar P(a)$
1535	1533	$q(U)$
1536	1534	$\iff\rho$
1537	1535	$F_g(x)$
1538	1536	$Q(a) = 1-P(a)= \nu F(a)$
1539	1537	$\mathsf P(\{x\})=0$
1540	1538	$\mathsf{E}[X_2]=22.75$
1541	1539	$ = \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i\mid X= x]$
1542	1540	$1_V$
1543	1541	$R_Q$
1544	1542	$\mathcal D:=\{X\mid X\preceq_2 Y \}$
1545	1543	$X_{j,i}$
1546	1544	$g(1-F(x))=1-\tilde p$
1547	1545	$p'$
1548	1546	$\beta_i(a)g(S(a))$
1549	1547	$A\subset[0,\infty)$
1550	1548	$X_1/X$
1551	1549	$x$
1552	1550	$q_{\mathbf{v}}(p)$
1553	1551	$\rho(X) = \rho(X\wedge a) + \rho((X-a)^+)$
1554	1552	$q^-(p)=\sup\ \{ x\mid \mathsf{Pr}(X < x) < p \}$
1555	1553	$1\not\in S$
1556	1554	$\mathsf{VaR}_{0.99}(X)=1100$
1557	1555	$X_n=1/n$
1558	1556	$\rho_g(X)=\mu/b>\mu$
1559	1557	$<1$
1560	1558	$S(X)$
1561	1559	$a=kP+Q$
1562	1560	$X\wedge a = \sum X_i(a)$
1563	1561	$\mathsf{TVaR}_{p_0}(X)=\mathsf{E}[X \mid A]$
1564	1562	$A\subset \{ Z=0 \}$
1565	1563	$Z\circ T_i$
1566	1564	$a(X_i; X)\le \sup(X_i)$
1567	1565	$Y_{1,2}$
1568	1566	$M_{2}$
1569	1567	$x \le 300$
1570	1568	$\implies c_i\ge 0$
1571	1569	$F(x)=1-s$
1572	1570	$h(0.9) = 1-\sqrt{0.1} = 0.684$
1573	1571	$\alpha = 1, \kappa = 0.2$
1574	1572	$(8)(0.25)+(10)(0.25)=4.5$
1575	1573	$W_0=0$
1576	1574	$Q=S$
1577	1575	$X^{(d)}_i(a):=(X_i-d)^+$
1578	1576	${\mathcal{M}}$
1579	1577	$X = X_1 + X_2$
1580	1578	$V_t$
1581	1579	$\mathsf P(\{ \omega\mid X(\omega)=X(\omega_0), \omega \le \omega_0 \})$
1582	1580	$m_3 := m_2$
1583	1581	$g(s)=(s+\iota)/(1+\iota)$
1584	1582	$\iota = \delta/\nu$
1585	1583	$r_X= r_f + \beta_X(r_m-r_f)$
1586	1584	$Z\circ T\in \mathcal Q$
1587	1585	$\mathbf {s}$
1588	1586	$Z\succeq_2 \mathsf{E}[Z\mid X]$
1589	1587	$\rho(X_1) \ge P_1$
1590	1588	$a-X$
1591	1589	$P(A)=1-p$
1592	1590	$10+0$
1593	1591	$\phi'(p)=-g''(1-p)>0$
1594	1592	$\mathsf{TI,\ MON,\ SA,\ PH}$
1595	1593	$\Delta_1=a_1'-a_1$
1596	1594	$\mathit{RDS}_k$
1597	1595	$t=-ln(1-p)$
1598	1596	$C_i=c_i$
1599	1597	$\lim_{s\to 1} (g(s)-s)/(1-s) = \lim_{s\to 1} 1-g'(s)$
1600	1598	$\rho_i(X)$
1601	1599	$v(A\cap B) + v(A\cup B)\le v(A)+v(B)$
1602	1600	$\mathsf{TVaR}_{0.5}$
1603	1601	$X_1, X_2$
1604	1602	$\rho=\sup$
1605	1603	$\mathsf{E} X + c\mathsf{E}[((X-\tau)^+)^p]^{1/p}$
1606	1604	$m_i$
1607	1605	$\mathsf{E}[g(X_n)]\to \mathsf{E}[g(x)]$
1608	1606	$k\in\mathbb{R}$
1609	1607	$g'(s) = as^{a-1}$
1610	1608	$q(p)=F^{-1}(p)$
1611	1609	$E_4$
1612	1610	$\psi_{X, m}(u)$
1613	1611	$f=(1-p)^{-1}1_A$
1614	1612	$<0$
1615	1613	$X=X_1 + X_2$
1616	1614	$G=g$
1617	1615	$-q_{-Y}^-(1-p)$
1618	1616	$\rho(\lambda P,\lambda R,\lambda a)=\lambda\rho(P,R,a)$
1619	1617	$1+bf$
1620	1618	$Y_j$
1621	1619	$dP_g/dP_X$
1622	1620	$\mathsf{E}[X|X>x]=x+\mathsf{E}[X]$
1623	1621	$M=g-S$
1624	1622	$FL$
1625	1623	$\int gS(x)dx=\int xg'(S(x))P_X(dx)$
1626	1624	$\mathit{MV}_{ro}(a) = a-\rho(X_{-1}\wedge a)$
1627	1625	$\mathcal V(X)=\mathsf{E}[X]+c\mathsf{E}[X^2]$
1628	1626	$n+1$
1629	1627	$g'(s)=\phi(1-s)$
1630	1628	$X_i(a)\not= X_i\wedge a_i$
1631	1629	$\lim_{x\downarrow x_0} F(x)=F(x_0)$
1632	1630	$F(w) = 1-\exp(-w)$
1633	1631	$\mathsf{E}[X(1_{U_X\ge p}-B)]=\mathsf{E}[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)]$
1634	1632	$B_i^c$
1635	1633	$\Omega_a := \{\omega\in \Omega \mid (X\wedge a)=a \}$
1636	1634	$1/10$
1637	1635	$\mathsf{Q}_k$
1638	1636	$Q_i(a)$
1639	1637	$Q>0$
1640	1638	$r_h-\mu_L$
1641	1639	$s_j$
1642	1640	$\beta g(S)$
1643	1641	$\rho(W)=\mathsf{E}[W]+\lambda\sigma(W)$
1644	1642	$\ge 0$
1645	1643	$E[u_j(W_j - X_j)]$
1646	1644	$\phi((x-\mu)/\sigma)/\sigma$
1647	1645	$X_{2}$
1648	1646	$E[X \wedge x+a]-E[X \wedge a]$
1649	1647	$\mathsf{TVaR}_p(X)=25$
1650	1648	$X-(1+r)T$
1651	1649	$\int_0^1 a'(tx)\,dt=\int_0^1 a(1)\,dt = a(1)=a'(x)$
1652	1650	$ (#1)+(#3) $
1653	1651	$g=F_G^{-1}(p_{\mathit{pr}})-1$
1654	1652	$X_{2}(a)$
1655	1653	$g(s)=s(1-s)$
1656	1654	$\mathsf{VaR}_{0.995}(U)-0.5=0.495$
1657	1655	$\kappa_2(10)$
1658	1656	$\lambda < 0$
1659	1657	$\mathit{ROE}(s) = fs/(1-f-s)$
1660	1658	$p_i$
1661	1659	$X_m$
1662	1660	$g(t) = r_0 + (1-r_0)t$
1663	1661	$Y_{1,1}$
1664	1662	$s > s^*$
1665	1663	$\theta$
1666	1664	$g(s)=s^{1/2}$
1667	1665	$X\wedge a=a$
1668	1666	$\mathsf{Pr}(X < x)=1/6=\mathsf{Pr}(X\le x)$
1669	1667	$P=l + \iota Q$
1670	1668	$X-Y$
1671	1669	$\log(\mathit{ROL}) = a + b \log(\mathit{EL}) + b X$
1672	1670	$q_{X_1+X_2}(p) \le q_{X_1}(p) + q_{X_2}(p)$
1673	1671	$k\ge 0$
1674	1672	$\Phi'(z)=\phi(z)$
1675	1673	$q^-(p)=\inf \{ x \mid F(x) \ge p \}$
1676	1674	$\rho_X(X_i) \ge \mathsf{E}[X_i]$
1677	1675	$g'(s)=(1-p)^{-1}1_{[0,1-p]}$
1678	1676	$X(\mathbf{v})=\sum_i v_iX_i$
1679	1677	$s_0$
1680	1678	$t=0,1$
1681	1679	$d^\ast = 2g^\ast-1$
1682	1680	$(s_1,g(s_1))$
1683	1681	$g(s)=s$
1684	1682	$0\times\infty=0$
1685	1683	$\bar Q_{0,t}:=a_{0,t}-\bar P_{0,t}$
1686	1684	$q_X(p)$
1687	1685	$\rho_c$
1688	1686	$\mathbf {X\wedge a}$
1689	1687	$M(a)=g(S(a))-S(a)$
1690	1688	$\rho(X_n)=\rho(0)=0$
1691	1689	$\mathbf {X}$
1692	1690	$\displaystyle\int_0^a \kappa_i(x) f(x)\,dx + a\alpha_i(a)S(a)$
1693	1691	$\bar\iota = 0.12$
1694	1692	$\mathsf P(X=\sup(X))=0$
1695	1693	$\mathsf{E}[Y\mid\mathcal F']=\mathsf{E}[Y]$
1696	1694	$\alpha_2(98)=0.9$
1697	1695	$p\delta(p)/p\nu(p)=\iota(p)$
1698	1696	$g_\tau(1)=1$
1699	1697	$H(A, L, t)=LH(A/L, 1, t)$
1700	1698	$g_2F$
1701	1699	$X=X_0+X_1$
1702	1700	$697.6 billion in 2016, $
1703	1701	$\bar Q=53.031$
1704	1702	$\mathsf{P}(\{n\})>0$
1705	1703	$c(S\cup\{i\})=c(S\cup\{j\})$
1706	1704	$\mu_L=0.03$
1707	1705	$Q_0=\rho(V_0)=\rho(X_1)$
1708	1706	$g'(s-)=g'(s+)$
1709	1707	$U = X + Y$
1710	1708	$B=B(p)$
1711	1709	$9+1=10+0$
1712	1710	$n=67$
1713	1711	$a(X(\mathbf{v}))$
1714	1712	$v(\Omega)=1$
1715	1713	$p_Y=1-p_R$
1716	1714	$p\,da$
1717	1715	$t\mapsto \rho(X+tY)$
1718	1716	$Y^S$
1719	1717	$g'(S(x)) = (1-p)^{-1}1_{x >\mathsf{VaR}_p(X)}$
1720	1718	$E_{\mathsf{Q_X}}[X_i(a)]$
1721	1719	$\rho(X)\le \rho(Y)$
1722	1720	$1-\tilde p=g(1-p)$
1723	1721	$R_f-R_L>0$
1724	1722	$P = \log(\mathsf{E}[e^{\pi X}])/\pi$
1725	1723	$\rho_c(X)$
1726	1724	$X^\star$
1727	1725	$X\wedge a'$
1728	1726	$\mathsf{E}[\Pi]$
1729	1727	$0.675=(6.258/7.613)^2$
1730	1728	$q<1$
1731	1729	$\alpha_1(90) = (0.0909 \times 0.0625 + 0.1 \times 0.0625)/(0.0625+0.0625)=0.0955$
1732	1730	$g(Q)$
1733	1731	$X_2=0,0,0,0,1,1,1,4,24, 500$
1734	1732	$\bar P_i$
1735	1733	$Z=\mathsf{E} Z$
1736	1734	$a(X)=3.769$
1737	1735	$\rho(P,R,a)=\sqrt{(0.4P)^2+(0.25R)^2+(0.1a)^2}$
1738	1736	$\exp(x)$
1739	1737	$X_j$
1740	1738	$(anch.west |- lee.north)+(-0.125,0.25)$
1741	1739	$\ge\mathsf{E}[X_i]$
1742	1740	$g(s)=20s\wedge 1$
1743	1741	$f(x_p)$
1744	1742	$\{X=q_X(p) \}$
1745	1743	$\mathsf{E}[X_i\mid X=x]$
1746	1744	$EL(a)$
1747	1745	$30-11=19$
1748	1746	$x\in\mathbb{R}$
1749	1747	$p_R<0.5$
1750	1748	$\beta_{1}$
1751	1749	$g(S(a))\ge S(a)$
1752	1750	$r=16$
1753	1751	$\beta_i(a)$
1754	1752	$N=71$
1755	1753	$\rho(X_1+X_2)\le \rho(X_1)+\rho(X_2)\le 0$
1756	1754	$a_{gc}$
1757	1755	$1 between any of the layers, then $
1758	1756	$\mathcal{M}$
1759	1757	$\sum_i \rho(X_i, p^*)=a$
1760	1758	$\int_0^\infty g(S(x))dx$
1761	1759	$t=1-p$
1762	1760	$\rho'(x)=U'(-x)$
1763	1761	$D\rho_X(X_i) \ge \mathsf{E}[X_i]$
1764	1762	$\mathsf{Pr}(B)=\mathsf{Pr}(A)$
1765	1763	$x=\mathsf{VaR}_{0.99}(X)$
1766	1764	$\alpha_i(x)-\kappa_i(x)/x=0$
1767	1765	$x\mapsto |x|$
1768	1766	$\mathsf{Pr}(X_{-1}<a_{ro})=0$
1769	1767	$n\ge 2$
1770	1768	$D$
1771	1769	$S(y_j-)-S(y_j) =\mathsf{Pr}(X=y_j)$
1772	1770	$\sigma(X)>\sigma(Y)=0$
1773	1771	$D\rho_X(X_2)$
1774	1772	$\beta_i(a)g(S(a))=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) \mid X>a]g(S(a))=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) 1_{X>a}]$
1775	1773	$\rho_g(X)=\mathsf{E}[X]$
1776	1774	$L_d^l(x)$
1777	1775	$\beta_1g(S)dX$
1778	1776	$p_j=\Delta S_j$
1779	1777	$x<y$
1780	1778	$Z(\omega)>1$
1781	1779	$E[s|t]$
1782	1780	$\mathsf{Q}(A)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[1_A]$
1783	1781	$C(a)=\int_a^\infty S(x)\,dx + \tau a$
1784	1782	$\beta=d^\ast-d$
1785	1783	$-0.00002$
1786	1784	$y=0$
1787	1785	$L_X$
1788	1786	$\lambda=0.5$
1789	1787	$g(s)=(1-p)^{-1}s\wedge 1$
1790	1788	$\sum M_i\Delta X$
1791	1789	$1\le x \le 2$
1792	1790	$f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$
1793	1791	$1,\dots,m$
1794	1792	$X\in L_p$
1795	1793	$n\mathsf{Pr}(Y\le y_c)$
1796	1794	$x=1.5$
1797	1795	$u^{iv} \le 0$
1798	1796	$1_{X > x}$
1799	1797	$S_{X_i}$
1800	1798	$xS(x)\to 0$
1801	1799	$(a-X)^+=a-(X\wedge a)$
1802	1800	$j=0,1,\dots, n'$
1803	1801	$\mathsf{P}(\omega)$
1804	1802	$\bar Q=a-\bar P$
1805	1803	$\mathbf {X\,p}$
1806	1804	$SdX$
1807	1805	$\sqrt{p}$
1808	1806	$L^p$
1809	1807	$\mu<0$
1810	1808	$\mathsf{E}[Y_{d}]=\sum_{s>d} \mu_s$
1811	1809	$X_{i,i}(a)=X_{i,j}\dfrac{X_j\wedge a}{X_j}$
1812	1810	$\mathscr{M}$
1813	1811	$ so $
1814	1812	$1/4$
1815	1813	$\mathsf{E} X+\lambda\sigma(X)$
1816	1814	$\lambda\ge 0$
1817	1815	$d\bar S(a)/da=S(a)$
1818	1816	$(\alpha S)'(x)=-\kappa_i(x)f(x)/x$
1819	1817	$\sup f=1$
1820	1818	$X_{t-2,3}$
1821	1819	$\beta_i(x)/\alpha_i(x)<S(x)/g(S(x))$
1822	1820	$S(M-) > 0$
1823	1821	$\bar\nu a$
1824	1822	$a(1-f)$
1825	1823	$X\succeq Y$
1826	1824	$p_R$
1827	1825	$\mathsf{E}[p]\not=1$
1828	1826	$s_1 < s_2$
1829	1827	$1$
1830	1828	$\mathbb{Q}$
1831	1829	$a_x=1/\lambda$
1832	1830	$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
1833	1831	$\mathsf{E}[1_{U < s}]=s$
1834	1832	$I=[0,1]$
1835	1833	$\rho(X)\le 0$
1836	1834	$B(0.5)$
1837	1835	$i=1,2,\dots$
1838	1836	$r_D=1-D/L$
1839	1837	$\min(X,a)$
1840	1838	$\mathbf {t-1}$
1841	1839	$\Delta S$
1842	1840	$ is the total return on invested assets and $
1843	1841	$\mathsf{E}[(A-L)^+]/\mathsf{E}[L]$
1844	1842	$X(\psi)=X(\omega)$
1845	1843	$X_j\ge 0$
1846	1844	$\mathcal{S}$
1847	1845	$i=1,\dots, n$
1848	1846	$\rho_{a,\tau}(X)=v\rho(X\wedge a) + da$
1849	1847	$(brR15 |- lee.south)+(-0.125,-0.25)$
1850	1848	$n\ge N$
1851	1849	$x_1 \wedge x_2$
1852	1850	$X_s = X_{s_1} + X_{s_2}$
1853	1851	$<p$
1854	1852	$a<b_h$
1855	1853	$\mathsf{TVaR}_p(X) := X_{N-1}$
1856	1854	$c_i=c_j$
1857	1855	$\mathscr{Q}$
1858	1856	$\sigma^2$
1859	1857	$\Delta_t:=a_{0,t}'-a_{0,t}$
1860	1858	$\Delta X'$
1861	1859	$F(x)=\mathsf{Pr}(X\le x)$
1862	1860	$X_{t-2,2}$
1863	1861	$\rho((X-a)^+)=0.273$
1864	1862	$\alpha-A(n)$
1865	1863	$\mathsf{Pr}(U\le \omega)=\omega$
1866	1864	$\mathsf{E}[XZ]=\mathsf{E}[X\mathsf{E}[Z\mid X]]=0$
1867	1865	$\epsilon\to 0$
1868	1866	$Z(\omega)$
1869	1867	$\mathbf {f}$
1870	1868	$p^-=\mathsf P(X < q_X(p))$
1871	1869	$X(\omega)$
1872	1870	$p < 1/2$
1873	1871	$\phi=v(u^{-1})$
1874	1872	$\Delta X_j$
1875	1873	$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i(a)]=\mathsf{E}[X_i(a)g'(S(X))]$
1876	1874	$\rho(X+tY)$
1877	1875	$p\not=0.5$
1878	1876	$\mathscr{O}(f)=\{f \circ T \mid T\in \text{MPT}\}$
1879	1877	$g(s)=m(s)+s$
1880	1878	$\rho(X\wedge a)=\mathsf{E}[(X\wedge a)Z(X)]$
1881	1879	$\mathbf s$
1882	1880	$\sigma(X)$
1883	1881	$\alpha$
1884	1882	$1/S(x)$
1885	1883	$\mathit{NPV}_1 = 0$
1886	1884	$X_1+X_2\not\in\mathcal A$
1887	1885	$(1-s)\phi'(s)$
1888	1886	$d^\ast$
1889	1887	$\mathbf {\Omega}$
1890	1888	$\mathsf{E}[Y\mid \mathcal F']$
1891	1889	$\mathsf{Pr}(X\le x)$
1892	1890	$\mu+h\sigma, \sigma$
1893	1891	$\mathsf{E}_F(h(X))$
1894	1892	$pl_p$
1895	1893	$r=0$
1896	1894	$h = 1$
1897	1895	$1-\exp(-q(p)/\mu)=p$
1898	1896	$\mathsf{Pr}\{a-X\le 10\}$
1899	1897	$t=0.06405%. The prior has a material influence on the posterior mean. This makes the posterior mean a "conservative" estimate of $
1900	1898	$(2,3)$
1901	1899	$j=1,\dots, d$
1902	1900	$\{X\le x\}$
1903	1901	$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)=8.5$
1904	1902	$L_c$
1905	1903	$f(x,t)$
1906	1904	$\rho(X)=\rho(Y)$
1907	1905	$\bar P_d=\mathsf{E}[Y_{d}]+\lambda\sigma(Y_{d})$
1908	1906	$(x_1,\dots,x_n)$
1909	1907	$46.156+5.5=51.656$
1910	1908	$h>0$
1911	1909	$x_0 \in \{ x \mid F(x) \ge p \}$
1912	1910	$\bar P(\mathbf{v}, a)$
1913	1911	$x\mathsf{E}[X_i/X\mid X>x]$
1914	1912	$x_2(S(x_1)-S(x_2))=x_2f(x_2)$
1915	1913	$r_h=0$
1916	1914	$S=[0,2\pi]$
1917	1915	$gn$
1918	1916	$p=F(x)$
1919	1917	$1/g'(s)$
1920	1918	$z(x)$
1921	1919	$-\sigma^2u''(w)\approx -cu'(w)$
1922	1920	$r=0.1$
1923	1921	$\mathsf{CTE}_p(X) := \mathsf{E}[X \mid X \ge \mathsf{VaR}_p(X)]$
1924	1922	$\beta_1$
1925	1923	$i=1,\dots, M$
1926	1924	$\mathsf{E}_\mathsf{P}[X]$
1927	1925	$S^{-1}(g_i)$
1928	1926	$\mathbf {\Delta X'}$
1929	1927	$d =\iota/(1+\iota)$
1930	1928	$\mathsf{E}[X_{t,d}\mid \mathcal F_{\tau}]$
1931	1929	$Z=g'(S_X(X))$
1932	1930	$E_i\cap E_j = \mathsf{var}nothing$
1933	1931	$i\not\in S$
1934	1932	$s+\delta p$
1935	1933	$X_1=1+cos(X_3), X_2=1-cos(X_3)$
1936	1934	$\mathcal F'=\{\mathsf{var}nothing, \Omega \}$
1937	1935	$(1-p)^{-1}1_A$
1938	1936	$\rho=P/L-1=M/L$
1939	1937	$F(X)$
1940	1938	$\lambda=$
1941	1939	$\rho_g(X)=352$
1942	1940	$x=0.5$
1943	1941	$A = -\log(p) = 5.298$
1944	1942	$\rho(X_{-1}\wedge a)$
1945	1943	$g'(S)dF(x)$
1946	1944	$-norm by integrating against a function with $
1947	1945	$(X-d)^+$
1948	1946	$x=1000,2000,\ldots$
1949	1947	$\mathsf{E} X +\lambda {(X-\mathsf{E} X)^+}_1$
1950	1948	$\int_0^\infty S(x)dx$
1951	1949	$a=100$
1952	1950	$+ \mathit{PV}_{r_f}(\text{Inv Inc tax})$
1953	1951	$S(x_1)(x_2-x_1)$
1954	1952	$\mathsf{E}[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)] = 0$
1955	1953	$m=q(p)$
1956	1954	$wx + (1-w)y\in C$
1957	1955	$m_X$
1958	1956	$A(\text{Bernoulli})$
1959	1957	$X,Y$
1960	1958	$\tilde Q$
1961	1959	$Y_{0,2}$
1962	1960	$\mathbf {X\,\Delta g(S)}$
1963	1961	$E[T]=s$
1964	1962	$\max(X)<\infty$
1965	1963	$\rho(Z_2)$
1966	1964	$\alpha_2SdX$
1967	1965	$\mathbf {x_0}$
1968	1966	$c\ge 1/2$
1969	1967	$g(s)=\dfrac{s+\iota}{1+\iota}$
1970	1968	$X_i(\mathbf{v}, a)$
1971	1969	$X \prec_n^* Y$
1972	1970	$X\wedge a'=\min(X, a')$
1973	1971	$d=2$
1974	1972	$s^\alpha$
1975	1973	$X(x)=\sum_i x_iX_i$
1976	1974	$Z(\omega):=(d\mathsf{Q}/d\mathsf{P})(\omega)$
1977	1975	$\{\, (\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i], \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]) \mid \mathsf Q\in\mathcal Q \, \}$
1978	1976	$1/6\le x < 2/6$
1979	1977	$p\ge r\ge 1$
1980	1978	$\mathbf{B}(0)=\mathbf{P_0}$
1981	1979	$Q=(a-EL)/(1+\iota)$
1982	1980	$\rho(P,R,a)$
1983	1981	$t\mapsto v^t$
1984	1982	$\{ X=x\}$
1985	1983	$\omega \in \Omega$
1986	1984	$j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)$
1987	1985	$0.375/1.5 = 0.25$
1988	1986	$a(v_1(1+\epsilon),v_2)=a(v_1,v_2)+da$
1989	1987	$M_i$
1990	1988	$\alpha_i$
1991	1989	$p=1-\exp(-t)$
1992	1990	$\rho(X - b)=\rho(X)-b\le 0$
1993	1991	$\boldsymbol{j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)}$
1994	1992	$x\ge 0$
1995	1993	$\rho(\lambda X) \le\lambda\rho(X)$
1996	1994	$(1,1,\dots,1,1)$
1997	1995	$\mathbf {\Delta X}$
1998	1996	$1-p, p$
1999	1997	$\mathsf{Pr}(X_n\in A)\to\mathsf{Pr}(X\in A)$
2000	1998	$S(x)=(k/(k+x))^\beta$
2001	1999	$p = 0$
2002	2000	$x_1$
2003	2001	$x=X(1-g^{-1}(1-\tilde p))$
2004	2002	$s < 1$
2005	2003	$\cdot$
2006	2004	$a'=a(1+r)$
2007	2005	$\phi(\cdot)$
2008	2006	$i \in \{1,\dots,4\}$
2009	2007	$\gamma=r_f$
2010	2008	$\Delta A$
2011	2009	$P(X_{-1}(a))$
2012	2010	$0\le\lambda\le 1$
2013	2011	$\max$
2014	2012	$\Omega_0$
2015	2013	$0\le v\le 1$
2016	2014	$Y(\omega)=1$
2017	2015	$Q=A-P$
2018	2016	$0.75$
2019	2017	$a+y$
2020	2018	$\mathsf{Pr}$
2021	2019	$0.25$
2022	2020	$s=\mathit{EL}$
2023	2021	$(1-g(S(x)),x)$
2024	2022	$\nu+10\delta$
2025	2023	$1=ps_g + (1-p)s_b$
2026	2024	$U(1)=2$
2027	2025	$\Phi(-d^*)>0$
2028	2026	$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[|X-\mathsf{E}[X]|^p]^{1/p}$
2029	2027	$x\to\infty$
2030	2028	$g(pq)=g(p)g(q)$
2031	2029	$\frac{d}{dp}(1-p)^{-1}=(1-p)^{-2}=q^{-2}$
2032	2030	$\rho(X)<\infty$
2033	2031	$X_0=\mathsf{E}[X]$
2034	2032	$\mu_L=r_L + \pi$
2035	2033	$\mathsf{E}[X_i(v_i)]=v_i\mathsf{E}[X(1)]$
2036	2034	$k=(0.04, 0.4)$
2037	2035	$A,B$
2038	2036	$\Delta S=p$
2039	2037	$N(1-p)$
2040	2038	$(\omega'=1, \omega'')\in B_k$
2041	2039	$\sum\mathsf{E}[C_i^2]=\sum m_i(1+v_i^2)$
2042	2040	$p_0,\dots, p_m$
2043	2041	$\tilde Z$
2044	2042	$\tilde X+X$
2045	2043	$dF(x) = dp$
2046	2044	$x_0 < \mathsf{TVaR}_{p_0}$
2047	2045	$\lambda\sigma$
2048	2046	$Z_j$
2049	2047	$m'(1) \to -1$
2050	2048	$g(S_j)$
2051	2049	$g(s(t)) = m(t)+s(t)$
2052	2050	$A\subseteq \mathbb{R}^N$
2053	2051	$f(x)\ge f(x_0) + s(x-x_0)$
2054	2052	$p=0.9982$
2055	2053	$a=10$
2056	2054	$\mu + \lambda\sigma$
2057	2055	$\beta<\alpha$
2058	2056	$Z\ge 0$
2059	2057	$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X]=\mathsf{E}[XZ]$
2060	2058	$\bar\nu(x)$
2061	2059	$6.258$
2062	2060	$\rho(X)=-\rho(-X)$
2063	2061	$-\sigma^2/2$
2064	2062	$k>0$
2065	2063	$r = 0.12$
2066	2064	$\mathsf{E}[Z \mid X]\preceq_2 Z$
2067	2065	$(3,4)$
2068	2066	$dG/dF=r(x)$
2069	2067	$F_0=2.5$
2070	2068	$F_g(b)-F_g(a)=g(S(a)) - g(S(b))$
2071	2069	$P_g$
2072	2070	$\bar S$
2073	2071	$p=F(a)=1-s$
2074	2072	$Z(\omega)<1$
2075	2073	$\alpha\equiv 0$
2076	2074	$Var(G)=c^2$
2077	2075	$a = a(X)$
2078	2076	$x\in\Omega=[0,1]^N$
2079	2077	$1_{U_X\ge p}=1$
2080	2078	$r_h<0$
2081	2079	$g(S(x_i)-g(S(x_i-))$
2082	2080	$F(a)$
2083	2081	$\mathbf {q}$
2084	2082	$\mathbf {d}$
2085	2083	$L_d^{d+l}(x)=(x-d)^+ \wedge l$
2086	2084	$\psi(0)=1-\mathsf{Pr}(Y=0)=1-\mathsf{Pr}(M=0)=\frac{1}{1+r}$
2087	2085	$X_3$
2088	2086	$\mathsf{E}[XB]$
2089	2087	$\bar P(a+y) - \bar P(a)$
2090	2088	$\bar P$
2091	2089	$x_{i+1}$
2092	2090	$-X_2$
2093	2091	$M_2\Delta X$
2094	2092	$(1+r)\mu$
2095	2093	$\bar P^a$
2096	2094	$\ge p$
2097	2095	$\displaystyle\int_0^\infty u(x) g'(S_X(x)) dF_X(x)$
2098	2096	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i \mid X]$
2099	2097	$\omega\in [k2^{-m}, (k+1)2^{-m}]$
2100	2098	$p=2$
2101	2099	$X=98$
2102	2100	$0\le U, V\le 1$
2103	2101	$Y'$
2104	2102	$\mathbf {\mathsf{P}(X_1)}$
2105	2103	$\displaystyle\int_0^\infty xf(x)dx$
2106	2104	$(1-g(s))/(1-s)$
2107	2105	$0<p\le 1$
2108	2106	$g(s)=1\wedge s/(1-p)$
2109	2107	$\kappa_1(10) = \mathsf{E}[X_1\mid X=10]$
2110	2108	$\bar q(s)=(k/q)^{1/\alpha}$
2111	2109	$Y_n\to Y$
2112	2110	$\rho(nX)= \rho(X+\cdots + X)=\rho(X)+\cdots +\rho(X)=n\rho(X)$
2113	2111	$I^\star$
2114	2112	$\mathsf{Q}(\Omega_a) >0$
2115	2113	$a/X$
2116	2114	$q_1(t)=t$
2117	2115	$\mathbf{B}'(1) = -3\mathbf{P_2}+3\mathbf{P_3}$
2118	2116	$k\ge 1$
2119	2117	$X_{1}(a)$
2120	2118	$\Delta(X\wedge a)$
2121	2119	$P = S + M$
2122	2120	$(0.304-0.2)/(1-0.304) = 15$
2123	2121	$\omega_2$
2124	2122	$\mathsf{E}[h(X_i)L(X)]$
2125	2123	$P/S-1$
2126	2124	$g(s)/s$
2127	2125	$C(t)$
2128	2126	$h(x)=\sup_{s\in[0,1]} g(s)-sx$
2129	2127	$t=4$
2130	2128	$\rho(X)=\max_\mathsf{Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
2131	2129	$i^*$
2132	2130	$g(1)=1$
2133	2131	$C'_1+\cdots + C'_n$
2134	2132	$s_1$
2135	2133	$BY \succ AR$
2136	2134	$0.8 \times 1.2 = 24/25$
2137	2135	$(g(s)-s)/(1-g(s))$
2138	2136	$a = 8.1484$
2139	2137	$Y\circ T_i$
2140	2138	$p=0.9999$
2141	2139	$Z_X$
2142	2140	$X_{0,1},X_{0,2},\dots, X_{0,N}$
2143	2141	$Z=0$
2144	2142	$-k$
2145	2143	$v(A)=g(\mathsf{P}(A))$
2146	2144	$\bar P_i(\mathbf{v}, a)$
2147	2145	$B_p$
2148	2146	$a_i=x_i(\partial a/\partial x_i)$
2149	2147	$N$
2150	2148	$\sup$
2151	2149	$q_X(p)\le q_Y(p)$
2152	2150	$S(x)=s$
2153	2151	$X\preceq_n Y$
2154	2152	$y,z\in X$
2155	2153	$\Omega_0 \times \Omega_1$
2156	2154	$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[((X-\tau)^+)^p]^{1/p}$
2157	2155	$df/dx=f$
2158	2156	$\mathsf{TVaR}_p(X)$
2159	2157	$X=8$
2160	2158	$\mathbf {\mathsf{P}(X_2)}$
2161	2159	$Q\in\mathcal{Q}$
2162	2160	$0.125$
2163	2161	$s < p$
2164	2162	$P(X_{-1}\wedge a)$
2165	2163	$n=1,2,\dots, m-1$
2166	2164	$S(x)\approx 1$
2167	2165	$X_2=(0,1,2,3,4,8,6,4,0,9)$
2168	2166	$1.5$
2169	2167	$q_X(p) = X(T(p))$
2170	2168	$1-m\le 1$
2171	2169	$v_f(\mathsf{E}_Q[X_i] - \dfrac{\mathsf{E}_Q[X_i]}{\mathsf{E}_Q[X]}\mathsf{E}_Q[(X-A)^+])$
2172	2170	$k=1,\dots, n-1$
2173	2171	$\rho_g(X)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]$
2174	2172	$X_{-1}+X_{0}$
2175	2173	$p<0.05$
2176	2174	$\delta$
2177	2175	$\gamma([0,p])=C(p)$
2178	2176	$10$
2179	2177	$T(U)$
2180	2178	$\rho_a(X+c) = \rho((X+c)\wedge a(X+c)) = \rho((X+c)\wedge (a(X)+c)) = \rho((X\wedge a(X))+c) = \rho((X\wedge a(X))) + c=\rho_a(X)+c$
2181	2179	$\bar M_t$
2182	2180	$x~\text{Unif}[0,1]$
2183	2181	$g'(S(X))$
2184	2182	$\tilde Z=\mathsf P(X=\sup(X))^{-1}1_{X=\sup(X)}$
2185	2183	$\bar P(a+da) -\bar P(a)$
2186	2184	$X(x)=1/x$
2187	2185	$x=\mathsf{VaR}$
2188	2186	$\beta_2g(S)dX$
2189	2187	$\sigma(X_d)$
2190	2188	$\mathsf Q(X>a)/\mathsf P(X>a)$
2191	2189	$\mu(dp)$
2192	2190	$c=(g-s)/(g(1-g))$
2193	2191	$X\wedge a=a=90$
2194	2192	$\sigma(W)$
2195	2193	$1\le p\le \infty$
2196	2194	$X=4$
2197	2195	$\sigma(L^\infty, L^1)$
2198	2196	$\mathsf{E}[X^n]$
2199	2197	$p_0\not= p_1$
2200	2198	$a_{0,0}'=a_{0,0}$
2201	2199	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i \mid X=x] = \mathsf{E}[X_ig'(S_X(X)) \mid X=x]/\mathsf{E}[g'(S_X(X)) \mid X=x] = \mathsf{E}[X_i \mid X=x]$
2202	2200	$\mathbf {K}$
2203	2201	$\{\omega\mid X(\omega) > x\}$
2204	2202	$P_i$
2205	2203	$\lambda_2\not=1$
2206	2204	$p>0.9$
2207	2205	$E(X^k)=E(Y^k)$
2208	2206	$\mathsf{E}[X_i \mid X=q(p)]$
2209	2207	$\mathsf{E}[Z \tilde X]$
2210	2208	$\bar P_t$
2211	2209	$\Omega=\{ 1,2,3,4,5,6 \}$
2212	2210	$p<0.7$
2213	2211	$a=10,20,40,50,60$
2214	2212	$-\infty+\lambda=-\infty$
2215	2213	$\mathbf {g(s)}$
2216	2214	$x=y$
2217	2215	$d=0.1/1.1$
2218	2216	$\beta_2>\alpha_2$
2219	2217	$k(h):=\log\mathsf{E}[e^{hX}]$
2220	2218	$=\displaystyle\int_0^\infty x dF(x)$
2221	2219	$\mathcal Q=\{\mathsf Q_k\}$
2222	2220	$a(f + (1-f)/q)$
2223	2221	$\lfloor x \rfloor$
2224	2222	$A\in\mathcal F$
2225	2223	$v(A)=\lambda(\pi_1(A))$
2226	2224	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X - a)^+] = \rho((X - a)^+)$
2227	2225	$n\to\infty$
2228	2226	$\mathsf{EPD}$
2229	2227	$\Longleftarrow$
2230	2228	$\eta_{p,\alpha}$
2231	2229	$\Omega$
2232	2230	$\mathsf{QCX}$
2233	2231	$\omega=\omega'$
2234	2232	$\mathbf {M_{1}\Delta X}$
2235	2233	$g(S_{\mathsf{j}(a)})(a-X_{\mathsf{j}(a)})=(0.5)(80-11)=34.5$
2236	2234	$z_p=\Phi^{-1}(p)$
2237	2235	$g_1(s)=s^{0.4}$
2238	2236	$1-e^{-\lambda S(\mathsf{PML}_{n, \lambda})}=1/n$
2239	2237	$q^-(U)$
2240	2238	$s=\exp(-a/b)$
2241	2239	$F(x)\ge p\iff q^-(p)\le x$
2242	2240	$(P-L)/L=P/L-1$
2243	2241	$[p,1]$
2244	2242	$F_2$
2245	2243	$\{H,T\}$
2246	2244	$a(1-p) + \mu p - \sigma\phi(z_p)$
2247	2245	$\rho(b-X)=b+\rho(-X)$
2248	2246	$s<1$
2249	2247	$g''(s)=-s^{3/2}/4$
2250	2248	$D^n\rho_X(X_1)=6.2048$
2251	2249	$\Delta X\wedge a$
2252	2250	$v=1/(1+r)$
2253	2251	$(1-p)^{-1/2}/4$
2254	2252	$T(X):=y\wedge (X-r)^+$
2255	2253	$x=S^{-1}(g^{-1}(u))$
2256	2254	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X\mid A]$
2257	2255	$\mathsf{Q}(\{\omega_i\})=0$
2258	2256	$A(X+c)=A(X)+c$
2259	2257	$P \le \dfrac{S}{\lambda} \approx \dfrac{\mathsf{E}[X]}{\lambda}$
2260	2258	$\mathit{EGL}_{gc}(a)$
2261	2259	$c\in[0,1/2]$
2262	2260	$\mathbf {X_{1c}}$
2263	2261	$\sigma=2.58$
2264	2262	$dp=\exp(-t)dt$
2265	2263	$a_x=4$
2266	2264	$\beta_i(a) = \dfrac{\sum_{j:X_j>a} (X_{i,j}/X_j) \Delta g(S_j)}{\sum_{j:X_j>a} \Delta g(S_j)}$
2267	2265	$X = X\wedge a + (X - a)^+$
2268	2266	$(1-p)/(p\nu_p^2)$
2269	2267	$u$
2270	2268	$\omega$
2271	2269	$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X+tX_1)$
2272	2270	$\rho_g(X)= \sum_j X_j\,\Delta g(S_j)$
2273	2271	$X_1,\dots,X_n$
2274	2272	$D\rho_{X}(Y) \subset D\rho_{X\wedge a}(Y)$
2275	2273	$\lambda=\dfrac{1}{1+\rho}$
2276	2274	$q^-(s)=\mathsf{VaR}_s(X)$
2277	2275	$v_i$
2278	2276	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X\wedge a] \le \rho(X\wedge a)$
2279	2277	$p=0.01, 0.02, \dots, 0.99$
2280	2278	$\mathsf{VaR}\_p(X)$
2281	2279	$a_0$
2282	2280	$0\le b\le 1$
2283	2281	$A=(a,b]$
2284	2282	$a(\mathbf{v}) =\mathsf{TVaR}_p(X(\mathbf{v}))= (1-p)^{-1}\int_p^1 q_{\mathbf{v}}(s)ds$
2285	2283	$-g$
2286	2284	$q^-(p) := \sup\ \{x \mid F(x) < p \} = \inf\ \{ x \mid F(x) \ge p \}$
2287	2285	$p(\omega)\ge 0$
2288	2286	$D/L>1$
2289	2287	$-m_2/(1-s_2)$
2290	2288	$g(1-F(x))=1-p$
2291	2289	$h(1_{X\le a})$
2292	2290	$E(\pi)$
2293	2291	$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)$
2294	2292	$b-X\ge 0$
2295	2293	$Z = \sum_j X_j$
2296	2294	$X+Z$
2297	2295	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X\wedge a] = \rho(X\wedge a)$
2298	2296	$\mathsf{VaR}_{0.75}(X)=90$
2299	2297	$\mathsf{E}[X_0] + \mathsf{VaR}_p(X_1)$
2300	2298	$QR_Q = aR_A + PR_L$
2301	2299	$x=\lambda y + (1-\lambda)z$
2302	2300	$dS=-dF$
2303	2301	$s \to 1$
2304	2302	$\tilde M(a)=\bar M(a)-\tau a$
2305	2303	$\kappa_i(x)=\mathsf{E}[ X_i \mid X = x]$
2306	2304	$(ccc.south |- mcc.south)+(0,-0.5)$
2307	2305	$[0,1]\to[0,1]$
2308	2306	$p=\infty$
2309	2307	$\bar P(a) = \rho_g(X\wedge a)$
2310	2308	$0<p<1$
2311	2309	$\rho_1(X)>\rho_2(X)$
2312	2310	$s(t)$
2313	2311	$\rho(W_1\wedge a_0)$
2314	2312	$0.8 \le p < 0.9$
2315	2313	$\epsilon_2$
2316	2314	$k=0$
2317	2315	$1-2c\mathsf{Pr}(Z>\mathsf{E} Z)$
2318	2316	$\Delta X_j=X_{j+1} - X_j$
2319	2317	${X}_p=\mathsf{E}[|X|^p]^{1/p}$
2320	2318	$\iota:1$
2321	2319	$x_{2,1}$
2322	2320	$Y_{d}=\sum_{s>d} X_{s}$
2323	2321	$\phi(x_1,...,x_n)$
2324	2322	$Z\in\mathcal Q$
2325	2323	$\iota^\ast$
2326	2324	$X-P$
2327	2325	$g(s)q=0.1839$
2328	2326	$X_2=x-t$
2329	2327	$X_{t+2,1}$
2330	2328	$\mathsf{MON}$
2331	2329	$G(x)= 1-g(1-F(x))$
2332	2330	$g'(s)\to\infty$
2333	2331	$\mathbf {g(S)\, \Delta X}$
2334	2332	$j \in \{5,\dots,8\}$
2335	2333	$\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$
2336	2334	$e^{-r_Dt}$
2337	2335	$\rho((X-a)^+)$
2338	2336	$Q_t$
2339	2337	$X_0 < \dots < X_{N-1}$
2340	2338	$\mathbf {Z_6}$
2341	2339	$B_4 = [\epsilon_1, \epsilon_2]$
2342	2340	$a(w_1X_1+w_2X_2;X)=w_1a(X_1;X)+w_2a(X_2;X)$
2343	2341	$(P-L) / (A-P)=$
2344	2342	$AR\succ BR$
2345	2343	$a(x)=xa(1)$
2346	2344	$X(\mathbf{v})$
2347	2345	$x_{1,1}$
2348	2346	$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i\mid X\le a](1-g(S(a))) + a\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i/X\mid X >a]g(S(a))$
2349	2347	$d, r>0$
2350	2348	$\phi(s)= g'(1-s) = \frac{1-w}{1-p_0}1_{[p_0, 1)}(s) + \frac{w}{1-p_1}1_{[p_1, 1)}(s)$
2351	2349	$S\subset \Omega=\{1,\dots,N\}$
2352	2350	$x\le 0$
2353	2351	$S_0=1$
2354	2352	$0=\mathsf{Pr}(X<1)<\mathsf{Pr}(X\le 1)=1/6$
2355	2353	$f(x)=|x|$
2356	2354	$\mathbf {\mathsf{P}(X)}$
2357	2355	$S_t \ge 0$
2358	2356	$p=F(a)$
2359	2357	$\Psi^{-1}(t)=\log(-\log(t))$
2360	2358	$\mathsf{E}[e^{X_t}]=e^{\mu t + \sigma^2t /2}$
2361	2359	$q(U_X) > m$
2362	2360	$\mathsf{var}(\sum C_i)=\sum (m_i v_i)^2 = n(mv)^2$
2363	2361	$Y_s=(Y\mid Y\le y_c)$
2364	2362	$\mathsf{P}(d\omega)$
2365	2363	$h(0)$
2366	2364	$P_i/v_i$
2367	2365	$\mathsf{E}[X_1\mid X_1+X_2=x]=mx/(m+n)$
2368	2366	$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_1]$
2369	2367	$\lambda > 0$
2370	2368	$c(1,2) - c(2)$
2371	2369	$(0,1]$
2372	2370	$t<0$
2373	2371	$\mathsf{COMON}$
2374	2372	$\beta_i(x)/\alpha_i(x)> 1 > g(S(x)) / S(x)$
2375	2373	$\int_0^\infty (1-F(x))dx=\int_0^\infty xdF(x)$
2376	2374	$(dW_t)^2=dt$
2377	2375	$\mathbf {\Delta\,g(S)}$
2378	2376	$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)=3699$
2379	2377	$g(0^+) = r/(1+r)$
2380	2378	$x\mapsto 1/x$
2381	2379	$m\in\mathbb{R}$
2382	2380	$\mathsf{VaR}_{0.7}(X_i)=-\log(0.3)=1.204$
2383	2381	$-S(a)+\tau=0$
2384	2382	$\rho(c)\ge c$
2385	2383	$\beta_i(X)$
2386	2384	$0.8\le p<0.9$
2387	2385	$\mathsf P(X \le q_X(p)) > p$
2388	2386	$1/X$
2389	2387	$\displaystyle\int_0^1 X(p)dp$
2390	2388	$\mathsf{E}[X\tilde Z]$
2391	2389	$\rho_c\leftrightarrow\mathcal Q$
2392	2390	$U(X)\ge U(Y)$
2393	2391	$\lambda X_1 +(1-\lambda) X_2$
2394	2392	$\mathbf {a_{1}'}$
2395	2393	$\mathsf{E}[X\mid t+d]$
2396	2394	$MV = \bar Q + \mathit{NPV}_{\infty}$
2397	2395	$g(s)=1-(1-s)^m$
2398	2396	$g(0.05)=0.05\nu + \delta=0.1364$
2399	2397	$\mathbf {pK}$
2400	2398	$\min_{\eta\in \mathbb{R}} \eta + \alpha \mathsf{E}[(X-\eta)^+] -\beta\mathsf{E}](X-\eta)^-]$
2401	2399	$g(S(x)) = 1 - h(F(x))$
2402	2400	$\mathsf{E}[X]=k/(k+\beta)$
2403	2401	$g(s)\le s$
2404	2402	$L_1$
2405	2403	$X_1=1000$
2406	2404	$S$
2407	2405	$x < y$
2408	2406	$\mathsf{Pr}(E)$
2409	2407	$p>0.5$
2410	2408	$\mathsf{E}[p] \le 1$
2411	2409	$\mathsf{E}[1_A]$
2412	2410	$x=(y-\mu)/\sigma$
2413	2411	$a\to\infty$
2414	2412	$X+tX_1$
2415	2413	$M = \beta g(S)-\alpha S$
2416	2414	$0 < \nu = 1-\delta < 1$
2417	2415	$d=(\log(a/S_0)-(r-\sigma^2/2)t)/\sigma\sqrt{t}$
2418	2416	$X(\omega)=1/\omega$
2419	2417	$1/n$
2420	2418	$H(X)>-H(-Y)$
2421	2419	$s/(1-p) \wedge 1$
2422	2420	$\mathbf {\beta_{1}}$
2423	2421	$\Phi$
2424	2422	$\lambda y=x$
2425	2423	$\mathsf{MON'}$
2426	2424	$g'(S_X(X))$
2427	2425	$b<1$
2428	2426	$X\mapsto \mathsf{E}[XZ]$
2429	2427	$w < s$
2430	2428	$m_2$
2431	2429	$\mathsf{Pr}(X\in A)=0$
2432	2430	$\le c$
2433	2431	$n-1$
2434	2432	$qX$
2435	2433	$\bar P_2$
2436	2434	$(4,3)$
2437	2435	$(X_i)_i$
2438	2436	$20+10t$
2439	2437	$s=1-\alpha$
2440	2438	$Z=d\mathsf Q / d\mathsf P\ge 0$
2441	2439	$X_i(a) = aX_i/X$
2442	2440	$c(1,2,3)-c(2,3)$
2443	2441	$\sum_i q_iX_i$
2444	2442	$\mathsf{Pr}({\omega})=1/6$
2445	2443	$\mathbf {X'\,\Delta g(S)}$
2446	2444	$\kappa_j(x)/x > \alpha_j(x)$
2447	2445	$a_i'$
2448	2446	$-\int xdS=\int Sdx$
2449	2447	$c\ge 1$
2450	2448	$f(P)=\mathsf{E}[f(X)]$
2451	2449	$\mathbf{B}(1)=\mathbf{P_3}$
2452	2450	$\bar Q_{0,0}:=a_{0,0}-\bar P_{0,0}$
2453	2451	$p_- < p_0 < p_+$
2454	2452	$\mathbf {\Delta gS}$
2455	2453	$g'(t)=1-r_0$
2456	2454	$q(p)=\mathsf{VaR}_p(X)$
2457	2455	$g(0+):=\lim_{s\downarrow 0}g(s)$
2458	2456	$z\ge 0$
2459	2457	$\mathsf{E}[W]$
2460	2458	$ \& $
2461	2459	$A\setminus B$
2462	2460	$(k_1!)(k_2!)\dots$
2463	2461	$Q(x)=1-P(x)$
2464	2462	$\sup(X)$
2465	2463	$\mathbf {F(x)=\mathsf{Pr}(X\le x)}$
2466	2464	$1=\delta+\nu$
2467	2465	$=1/\lambda-1=(1-\lambda)/\lambda$
2468	2466	$U_X$
2469	2467	$\mathsf{Pr}(X_n=0)=1-1/n$
2470	2468	$q_X$
2471	2469	$\mathit{EGL}_{ro}(a)$
2472	2470	$\mathsf{E}[\cdot\mid X]$
2473	2471	$i=1,2,\dots,10000$
2474	2472	$Z=z(X)$
2475	2473	$\{X > x \}$
2476	2474	$X_{\mathsf j(a)+1}>a$
2477	2475	$g_j<1$
2478	2476	$\rho(X)=0$
2479	2477	$\sum_i x_iX_i$
2480	2478	$Xq$
2481	2479	$\phi(p)=g'(1-p)=b(1-p)^{b-1}$
2482	2480	$N=1000$
2483	2481	$A\subseteq \mathbb{R}^n$
2484	2482	$a=90$
2485	2483	$S_m=\mathsf{P}(X>X_m)=0$
2486	2484	$g:[0,1]\to [0,1]$
2487	2485	$q(p)$
2488	2486	$g(s)=\nu s+\delta$
2489	2487	$m=$
2490	2488	$q(p)\phi(p)\,dp$
2491	2489	$q^+(p)=\sup\ \{ x\mid \mathsf{Pr}(X < x) \le p \}$
2492	2490	$x>\mathsf{VaR}_p(X)$
2493	2491	$a(\mathbf{v})=\mathsf{TVaR}_p(\mathbf{v})=\mathsf{E}[X\mid X > q_{\mathbf{v}}(p)]$
2494	2492	$\hat x > x$
2495	2493	$\text{VaR}_{0.99}$
2496	2494	$P_X\{X=M\}=0$
2497	2495	$X=X_0+X_{-1}+X_{-2}+X_{-3}$
2498	2496	$x>0$
2499	2497	$X_{i,j}$
2500	2498	$a_1=\int_0^1 (\partial a/\partial x_1)dt=\partial a/\partial x_1$

The file is too large to be shown. View Raw