greater_tables_project/greater_tables/tex_list.csv

1		expr
2	0	$\bar M$
3	1	$m(1)=m_3=0$
4	2	$X_2=2$
5	3	$a=1$
6	4	$\mathbf{M_{1}\Delta X}$
7	5	$U < s$
8	6	$n \le pN < (n+1)$
9	7	$\mathsf{TI,\ MON}$
10	8	$\log(g')$
11	9	$(.*?)\$
12	10	$\rho(X)=\infty$
13	11	$F(x-) = \lim_{t\uparrow x} F(t)$
14	12	$\mathsf{MON,\ TI,\ PH}$
15	13	$\mathsf E_Q\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge A)\right] + \delta A \mathsf E_Q[X_i/X\mid X > a]$
16	14	$Y\succeq Z$
17	15	$|S|$
18	16	$\mathsf{CONVEX}$
19	17	$\Pr(X < x)\le \Pr(X\le x)$
20	18	$\mathsf E_{\mathsf Q}[\kappa_i(X)]$
21	19	$s^{1/2}$
22	20	$1000e^{\mu}$
23	21	$p^* =0.7501$
24	22	$X=\sum_j X_j$
25	23	$\beta_{2}$
26	24	$\sigma=0.50$
27	25	$Z(s)=\Phi^{-1}(s)$
28	26	$\hat p=1-g^{-1}(1-p)$
29	27	$\sigma^2 t$
30	28	$\uparrow\uparrow$
31	29	$F(x)=1-e^{-x/\mu}$
32	30	$g(S(X))$
33	31	$0<\rho\le 1$
34	32	$\bar Q_{0}=a_{0}-\bar P_{0}$
35	33	$s\downarrow 0$
36	34	$X=\frac{1}{n}\sum_i X_i$
37	35	$>(s_0/2^{n+1})2^n\bar q(s_0)=s_0\bar q(s_0)/2$
38	36	$\mathsf E_Q[X]$
39	37	$\rho(X)>\max(X) g(0+)=\infty$
40	38	$\lambda\to\infty$
41	39	$\mathsf{j}(a)=6$
42	40	$g(s)=w+(1-w)s, s>0$
43	41	$\mathsf{TVaR}_{0.65}$
44	42	$\Pr(X = q(p)) > 0$
45	43	$c(S\cup\{i\})=c(S)+c(i)$
46	44	$\mu(\{p_j\})$
47	45	$q(Y)$
48	46	$Z_A$
49	47	$\mathcal D(X)\ge 0$
50	48	$p=\text{Pr}[L^* > A]$
51	49	$X_{t+dt}=X_t + \mu dt + \sigma dW_{dt}$
52	50	$\mathsf E[X] + \pi\mathsf E[(X-\mathsf E X)^+]$
53	51	$u(x)=-v(-x)$
54	52	$g(x)=1$
55	53	$F_{\mathbf{v}}(x)=s$
56	54	${n}-X_2$
57	55	$U_X > p$
58	56	$b_i$
59	57	$\rho(\nu Z) \le \nu\rho(Z)$
60	58	$\Phi(x):=\int_{-\infty}^x \phi(t)dt$
61	59	$\rho(U)=\mathsf E_\mathsf Q[U]$
62	60	$U = A$
63	61	$X\le l$
64	62	$U_X < p$
65	63	$g'(1-p) \frac{q\wedge \alpha}{q}$
66	64	$rpq$
67	65	$c>0$
68	66	$Y=0$
69	67	$1-p_0$
70	68	$(p, 1-g^{-1}(1-p))=(p,\hat p)$
71	69	$\mathit{MV}(a)$
72	70	$Z_4$
73	71	$\kappa_i(\mathbf{v}, x)$
74	72	$x=A,L,S$
75	73	$c(S)=\rho(\sum_{i\in S} X_i)$
76	74	$F:\mathbb{R}^n \to \XXX$
77	75	$S_X(a)$
78	76	$\mathsf E[X\mid t]$
79	77	$a,b=\pm 1/n$
80	78	$x_{1,i}, x_{2,i}$
81	79	$1_{X>a}$
82	80	$\int_0^\infty -z(x)\,dF(x)=-1$
83	81	$k\mapsto k\rho(X)$
84	82	$\rho_g(X)=\mu+\lambda\sigma$
85	83	$\hat q$
86	84	$F_X^{-1}(V)=q_X(V)$
87	85	$Y=\mathsf E[Z\mid\mathcal G]$
88	86	$0\le\beta<1$
89	87	$p>S(x^*)$
90	88	$a\le X\le b$
91	89	$P(x)=A(1_{X>x})=g(S(x))$
92	90	$g(S)\Delta X'$
93	91	$1<\lambda=k+f$
94	92	$1./16=0.0625$
95	93	$\alpha>1,0\le\beta\le 1$
96	94	$P=(1+r)\lambda\mathsf E[X]$
97	95	$g''(s)\le 0$
98	96	$S(x_{max})=0$
99	97	$\{X=x\}$
100	98	$\mathsf{TVaR}_p(X)=\TCE_p(X)=\mathsf E[X\mid X \ge \mathsf{VaR}_p(X)]$
101	99	$\rho_g(X\wedge a)$
102	100	$x\mathsf E[X_i/X\mid X>x]$
103	101	$Z=(1-p)^{-1}1_{\tilde X>q_{\tilde X}(p)}$
104	102	$\mathsf E_\mathsf{Q_r}[X_j]$
105	103	$G(x)=\mathbb{Q}(\{\omega\mid X(\omega)\le x\})$
106	104	$X_{t-1,1}$
107	105	$Z_1$
108	106	$X_{t,3}$
109	107	$X_2(10)$
110	108	$\mathsf E[X_1]=\mu$
111	109	$X\le x$
112	110	$r = (g(s)-s)/(1-g(s))$
113	111	$\mathsf{TVaR}_1(X)$
114	112	$\rho(Y)=\rho(X)g(p)=g(q)g(p).$
115	113	$\mathbf{s_0}$
116	114	$M(x)=g(S(x))-S(x)$
117	115	$Y_{1}$
118	116	$g(s)-s$
119	117	$-U$
120	118	$X_n(\omega)\to X(\omega)$
121	119	$^{***}$
122	120	$\bar S(a)$
123	121	$\sum (X\wedge a)p$
124	122	$\{1,2,\dots, N\}$
125	123	$D\rho_{X_g}(X_c)$
126	124	$\mathbf s$
127	125	$(g(s)-s)/(1-g(s))=\iota$
128	126	$P_X(a,b] = F(b)-F(a)$
129	127	$k > 0$
130	128	$\mathsf EPD_p(X)$
131	129	$X_n\downarrow X$
132	130	$\mathsf E[X\mid X>x]/\Pr(X>x)$
133	131	$x\to \infty$
134	132	$\Phi(Z(s))=s$
135	133	$q^-(p) = \inf\ \{ x\mid F(x) \ge p\}$
136	134	$Y(\omega_1)\le Y(\omega_2)$
137	135	$v(A)\le v(B)$
138	136	$\alpha_i(a) S(a)$
139	137	$\ge \mathsf E[X]$
140	138	$\hat{\tilde p}=1-g^{-1}(1-[1-g(1-p)])=p$
141	139	$\pi(X)=\log(m_X(\alpha)) / \alpha$
142	140	$E[s|W=t]$
143	141	$S(x)\gg 0$
144	142	$1-\beta_i(x)g(S(x))$
145	143	$\mathsf E[X_i\mid X=q(p)]$
146	144	$S_X(x)=\Phi(-(x-\mu)/\sigma)$
147	145	$\pi(X) = \rho(X\wedge \alpha(X))$
148	146	$a(\mathbf{v}) =\mathsf{VaR}_p(X(\mathbf{v}))= q_{\mathbf{v}}(p)$
149	147	$\mathsf Q \in \mathcal Q$
150	148	$a=D+S$
151	149	$\bar P_{t,0}$
152	150	$0, 8, 10$
153	151	$Q(x)/(1-S(x))$
154	152	$p=1/6$
155	153	$\rho=\mathsf{TVaR}_{0.95}$
156	154	$\mathsf E_{\mathsf Q}[X\mid \mathcal F]=\mathsf E[XZ\mid \mathcal F]/\mathsf E[Z\mid \mathcal F]$
157	155	$f(S_t)=\log(S_t)$
158	156	$\int_0^\infty xdF(x) =\int_0^\infty xf(x)dx$
159	157	$u_j(x)$
160	158	$f_{xx}=-1/S_t^2$
161	159	$X$
162	160	$t+2$
163	161	$n\ge m$
164	162	$\{1+\lambda(f-\mathsf E f) \mid f\ge 0, \|f\|_q\le 1 \}$
165	163	$|f|$
166	164	$b$
167	165	$g'(S(x))$
168	166	$r_l$
169	167	$\rho(Y_{2,0})$
170	168	$1+\iota^*=(1+\iota)(1+\tau)$
171	169	$r_f/(1+r_f)$
172	170	$L^r$
173	171	$u(0)=0$
174	172	$(ng)$
175	173	$E[X|X>qp]$
176	174	$\mathbf{S\Delta X'}$
177	175	$1-g(S)$
178	176	$a_{0}$
179	177	$\rho_g(X \wedge a)$
180	178	$\rho(0)=\rho(0 \times X)=0\times \rho(X)=0$
181	179	$-\rho(-X)\le \mathsf E[X]$
182	180	$\rho_g(X)$
183	181	$n={{n}}, p=1/{{p}}={{pf}}$
184	182	$\mathsf E[Xe^{hX}]/\mathsf E[e^{hX}]$
185	183	$\Delta Q_{gc}(a) = a_{gc}-P(X_{0}(a_{gc}))-a$
186	184	$\bar S_i = \sum_{j} X_{i,j}p_j$
187	185	$\mathcal G\subset\mathcal F$
188	186	$10^{-12}$
189	187	$x\in[0,\infty)$
190	188	$F_0 = \bar P_{act}-\bar P = R-\bar M$
191	189	$X_{-3}$
192	190	$\bar\delta$
193	191	$t>0$
194	192	$\mathit{LGD}$
195	193	$\mu_c$
196	194	$\mathsf E_{\mathsf Q}[X]=\mathsf E[XZ]$
197	195	$p<0.5$
198	196	$a_h=2-a_l<2-b_l=b_h$
199	197	$F(p)=\mu([0,p])$
200	198	$\lambda dt\to 0$
201	199	$0 < p_0 < p_1 < 1$
202	200	$p\mapsto g'(1-p)$
203	201	$\omega=0.\omega_1\omega_2\dots$
204	202	$BCD$
205	203	$\beta_i(x)<\alpha_i(x)$
206	204	$\nu=\nu(p)$
207	205	$a_1 = a(Y_{1})$
208	206	$\mathit{NPV}_{\infty}=2\times 2.5=5$
209	207	$dG/dF$
210	208	$M = P - \mu_U= 0.505$
211	209	$H_k(X)=H_k(Y)$
212	210	$l(p)$
213	211	$\bar Q$
214	212	$L_0^{l_1} + L_{l_1}^{l_1+l_2} = L_0^{l_1+l_2}$
215	213	$X''$
216	214	$\mathsf{VaR}_{0.7}(X)=2.439 > 2 \times 1.204=2.408$
217	215	$\mathsf{CTE}^+$
218	216	$\mathbf{p}$
219	217	$0 < p < 1$
220	218	$\displaystyle\int_0^\infty xg'(S_X(x))dF_X(x)$
221	219	$\pi=0$
222	220	$h(p)=1-g(1-p)=1-(1-p)^{1/3}$
223	221	$\alpha(\mathsf Q)=\infty$
224	222	$\gamma$
225	223	$c\ge \mathsf E[cZ]$
226	224	$x\in A$
227	225	$F_n,F$
228	226	$\rho(\lambda X)=\lambda\rho(X)$
229	227	$\mathbf{pK}$
230	228	$\mathbf{\Delta S}$
231	229	$A(1_{X>x})$
232	230	$g(s)=(\iota+s)/(\iota+1)$
233	231	$\max(x, 0)$
234	232	$x\mapsto x^{n}$
235	233	$E[G]=1$
236	234	$\Lambda = \dfrac{E( r_{U} ) - r_{f}}{\sigma_{r_{U}}}$
237	235	$\{90,\dots,99\}$
238	236	$g(s) \ge s$
239	237	$P = 3.103$
240	238	$\mathsf{MONETARY}$
241	239	$p(\omega)=0$
242	240	$a(X_i;X) = \lim_{t\to 0} (\rho(X+tX_i)-\rho(X))/t$
243	241	$\mathbf{X'\,\Delta g(S)}$
244	242	$\sigma_{U} = \sqrt{1 - 2p - p^{2}} = 0.973$
245	243	$\sigma_A$
246	244	$\beta$
247	245	$\mathit{NPV}_1 = \bar Q - \bar Q = 0$
248	246	$X_4, X_5$
249	247	$g:[0,1]\to[0,1]$
250	248	$\mathbf{Z_2}$
251	249	$X+Y$
252	250	$Y=1-X$
253	251	$A\subset\Omega$
254	252	$g'(s)\ge 1$
255	253	$K_h(t):=k(h+t)-k(t)$
256	254	$\rho(X_0)\ge \mathsf E[X_0 Z_\epsilon]$
257	255	$\mathscr{E}_i$
258	256	$\rho_2$
259	257	$\mathsf E[X\mid \mathcal F']$
260	258	$y_c$
261	259	$1-F(q(p));\alpha)$
262	260	$w(X)=1_{X>X_p}$
263	261	$\delta=0$
264	262	$q(0)$
265	263	$|x|$
266	264	$Y_n$
267	265	$X_1+({n}-X_2)$
268	266	$w=0.06405$
269	267	$\sum_j Y_j = 0$
270	268	$P_X(a,b]=\mathsf P(X\in (a,b])=F(b)-F(a)$
271	269	$e^{kx}S(x)\to\infty$
272	270	$f(\cdot, \omega)$
273	271	$N_i$
274	272	$\lambda S(x)$
275	273	$\rho(X)\ge \mathsf E[X]$
276	274	$t=2$
277	275	$\rho=\mathsf E$
278	276	$\Pr(X=1)=s$
279	277	$0\le s\le 1$
280	278	$\mathsf{Var}^+(X) = \int_{\mathsf E[X]}^\infty (x-\mathsf E[X])^2 f(x)dx$
281	279	$\rho(X) \le 0$
282	280	$x_{i-1}$
283	281	$Y_{0}$
284	282	$\infty-\infty$
285	283	$\mathsf{j}(a) = \max\{j:X_j < a \}$
286	284	$s \ne s^\ast$
287	285	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X] = \rho(X)$
288	286	$\sigma_d^2$
289	287	$P=L + \iota Q = \nu L + \delta a=L(1+\rho)$
290	288	$\rho(X)=x_p$
291	289	$\mu=7.4, \sigma=1.9$
292	290	$\bar q(s/2)\le 2\bar q(s)$
293	291	$Q_1=0.125$
294	292	$D_n, D_n^*$
295	293	$a>b_h$
296	294	$\sum_t Q_t$
297	295	$0\le \lambda < 1$
298	296	$-u''(w)/u'(w)$
299	297	$q(p)=-\log(1-p)\mu$
300	298	$1=v+d$
301	299	$n=2$
302	300	$\mathsf E[X] + \pi\mathsf E[((X-\mathsf E[X])^+)^2]^{1/2}$
303	301	$X=U$
304	302	$X(\omega') = \sum_\omega X(\omega)1_\omega(\omega')$
305	303	$a'$
306	304	$U_i$
307	305	$\bar P_{0,1}$
308	306	$g_i=u_i^{1/b} < u_i$
309	307	$\mathbf{D^n\rho_{X\wedge 30}(X_1)}$
310	308	$\rho(X\wedge a)=\bar P(a)$
311	309	$E(X\wedge a)=\bar S(a)$
312	310	$1-g(0^+)$
313	311	$\alpha\not\equiv 0$
314	312	$[0,1]\times [0,1]$
315	313	$X_{i,j}\Delta g(S_j)$
316	314	$c_i=\displaystyle\sum_{i\not\in S\subset\Omega}\dfrac{|S|!(N-|S|-1)!}{N!}\times$
317	315	$\mathit{MV}(X, a) = a - \rho(X\wedge a)$
318	316	$u'(0)=1$
319	317	$S(x)=0.1$
320	318	$\mathsf E X + c{X-\mathsf E X}_p$
321	319	$s=0.01$
322	320	$\int_a^{a+y} g(S(x))dx$
323	321	$\sum X_i(a)p$
324	322	$\beta(x)\le \alpha(x)$
325	323	$X_1=18$
326	324	$\bar P_i(a)=\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X_i(a)]=\mathsf E[X_i(a)g'(S(X))]$
327	325	$g(s)$
328	326	$Z'(s)=1/(\Phi'(Z(s)))=\sqrt{2\pi}\exp(Z(s)^2/2)$
329	327	$D/L$
330	328	$S\,\Delta X$
331	329	$a=11$
332	330	$\log(1-1/n)<-1/n$
333	331	$P_i=\mathsf E_\mathsf{Q}[X_i]$
334	332	$, which he describes as the standard way to obtain the $
335	333	$\phi(p) = g'(1-p)$
336	334	$\mathsf{VaR}_p(X_1+X_2)\le \mathsf{VaR}_p(X_1)+\mathsf{VaR}_p(X_2)$
337	335	$P(X_i(a_{gc}))$
338	336	$n$
339	337	$t > 1/3$
340	338	$(lee.west |- lee.north)+(0,-2.5)$
341	339	$g'(S(x))f(x)$
342	340	$\mathsf{Var}(\pi)$
343	341	$D^n\rho_X(X_{i,\cdot})$
344	342	$-x^2$
345	343	$\Pr(\{\omega \})= 1/100$
346	344	$X_n\to X$
347	345	$r_f/(1+ r_f) = 0.0196$
348	346	$\mathbf{f}$
349	347	$\mathsf{biTVaR}_{0,1}^w(X)=(1-w)\mathsf E[X]+w\sup(X)$
350	348	$D\rho_{X_n}(X_c)$
351	349	$\mathsf E[F_1] > \mathsf E[F_0]$
352	350	$f_{opt} =(pb - q)/b$
353	351	$\{n\mid X(n)\not =0\}$
354	352	$\ge 1$
355	353	$n-3$
356	354	$Q = C + lg$
357	355	$(1-p, 1]$
358	356	$\tilde X-X$
359	357	$\Delta Q_{ro}(a)$
360	358	$\lim_{x\to\infty}F(x)=1$
361	359	$g^{-1}$
362	360	$p=0.9973$
363	361	$M=P-s$
364	362	$f(x_i)$
365	363	$a\mathsf E_{\mathsf{Q}}[...]$
366	364	$\mathcal F'_0\subset\mathcal F_0$
367	365	$M/EL$
368	366	$a(c_1;X) = c_1$
369	367	$\mathit{EER}$
370	368	$\delta = 34/39, \nu=5/39$
371	369	$\rho(X) = \mathsf E_{\mathsf{Q}}[X] = \mathsf E_{\mathsf{Q}}[X\wedge a + (X-a)^+] = \mathsf E_{\mathsf{Q}}[X\wedge a] + \mathsf E_{\mathsf{Q}}[(X-a)^+] \le \rho(X\wedge a) + \rho((X-a)^+) = \rho(X)$
372	370	$A(X)-B(X)$
373	371	$\rho(X\wedge a) = \sum\rho(X_i(a))$
374	372	$q(0)=0$
375	373	$k=c/(e^c-1)$
376	374	$\Lambda = \dfrac{M - K r_f}{\sigma_U}$
377	375	$\nu < 1$
378	376	$\rho_g(X) = \infty$
379	377	$U''(x)<0$
380	378	$M = P \mu_U = 0.3$
381	379	$\bar S_i(a)$
382	380	$y=$
383	381	$g'(S(x))=v$
384	382	$\rho(X)=\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X]=\mathsf E_{\mathsf{Q}}[\sum_i X_i]=\sum_i \mathsf E_{\mathsf{Q}}[X_i]$
385	383	$\bar Q(a)$
386	384	$\mathsf{j}(a)=4$
387	385	$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)$
388	386	$L/P$
389	387	$\bar P(a+da)-\bar P(a)$
390	388	$t+d$
391	389	$\mathsf E[X]=\int_0^\infty S(x)dx$
392	390	$g(0+)M$
393	391	$Z(\omega)\mathsf{P}(\omega)$
394	392	$t > 0$
395	393	$g'(S(x))f(x)dx$
396	394	$\mathsf E[h(X_i)L(X)]$
397	395	$\rho$
398	396	$\hat p = F(x) = 1-g^{-1}(1-p)$
399	397	$\min(x_1,x_2)$
400	398	${\mathsf{Q}}$
401	399	$0=\rho(0)=\rho(X-X)\le \rho(X) + \rho(-X)$
402	400	$f'_-(x)\le f'_-(y)\le f'_+(y)$
403	401	$\mathsf E[X_i\mid X](\omega)$
404	402	$\rho(X)=\mathsf E_\mathsf{Q}[X]=\mathsf E[XZ]$
405	403	$(x_{1,1}, x_{1,2})$
406	404	$\sum_n 1/n$
407	405	$\displaystyle\int_0^a \alpha_i(x)S(x)\,dx$
408	406	$\beta(X,M)=\mathsf{cov}(X,M)\sigma_M^2$
409	407	$X_{-1}$
410	408	$\mathcal Q=\{\mathsf Q\mid \alpha(\mathsf Q)=0 \}$
411	409	$A_i$
412	410	$a(X,p)$
413	411	$r\lambda\mathsf{E}[X]$
414	412	$(s,\iota)$
415	413	$a-L_0^a(X)$
416	414	$\mathbf{X'}$
417	415	$[p_{-},p_{+}]$
418	416	$y=x$
419	417	$af$
420	418	$M$
421	419	$\mathsf{TVaR}_{p^\ast}$
422	420	$\mu=0.107$
423	421	$E(X_{-1}(a))$
424	422	$g'(S_X)$
425	423	$j > 0$
426	424	$a=\sum_i a\alpha_i(a) = \sum_i\kappa_i(a)$
427	425	$\mu=0$
428	426	$\mathsf E[X\wedge 0]=0$
429	427	$x>1$
430	428	$F(p)=p$
431	429	$X_i$
432	430	$q_{\tilde X}$
433	431	$\omega\in \Omega$
434	432	$\var(W)=\sum_{d\ge 0} \var(Y_{-d,d})$
435	433	$Y_c=(Y\mid Y > y_c)$
436	434	$(m_1-m_0)/s_1$
437	435	$q_B(p)=\sup B$
438	436	$M_1\Delta X$
439	437	$(a,b]$
440	438	$\rho(m)=\rho(0)-m$
441	439	$\mathbf v$
442	440	$\omega=(1,0,0,1,0,0,\dots)$
443	441	$g(S(x))=1$
444	442	$0 < s < 1/4$
445	443	$r_h$
446	444	$X\ge a$
447	445	$Q$
448	446	$p\delta_p$
449	447	$y^{\ast}$
450	448	$\nu=1/(1+\iota)$
451	449	$\mu=0.1$
452	450	$s_1=0$
453	451	$p=0.4$
454	452	$g(S_{X}(x))$
455	453	$\bar F(a):=\int_0^a F(x)dx=a-\mathsf E[X\wedge a]$
456	454	$\mathsf E_{\mathsf Q}[Y]=\mathsf E[Yg'(S(X))]$
457	455	$m(t^\star)=3m/4$
458	456	$n_s(1-g(s))$
459	457	$g,h:[0,1]\to [0,1]$
460	458	$x_{(j)}-x_{(j-1)}$
461	459	$\mathsf{SRM}$
462	460	$v\in V_X$
463	461	$a(X_i)$
464	462	$A/L$
465	463	$a_{2}$
466	464	$\rho_g(X)=\bar P$
467	465	$\arg \min_{q \in \mathbb{Q}} E_q[U(a)]$
468	466	$\Pr(X\wedge a > a)=0$
469	467	$X=X_1+X_2$
470	468	$\mathbf{M_{2}\Delta X}$
471	469	$n=(0.702, 1.163)$
472	470	$\sum_i$
473	471	$\phi'(p)$
474	472	$(X_{1,j},\dots,X_{m,j})$
475	473	$E(X\wedge a)$
476	474	$1/6$
477	475	$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$
478	476	$\nu = 1/\lambda$
479	477	$\alpha \le 1$
480	478	$n\times m$
481	479	$\mathsf{Q}$
482	480	$\mathsf E[Z]\ge 1$
483	481	${6 \choose 2}=15$
484	482	$\sup(\lambda X)=\lambda \sup(X)$
485	483	$P+Q=a$
486	484	$k=2$
487	485	$f(x) \to 0$
488	486	$X=1$
489	487	$v_1X_1(1)$
490	488	$\mathsf E[Z_1]=\mathsf E[Y]$
491	489	$\pi=\Pi/p\nu(p)$
492	490	$\mathcal{N}_X(X_i(a))$
493	491	$\mathcal B_p$
494	492	$(p, \mathsf E[X_i\mid X=q(p)])$
495	493	$S(x)\le s^*$
496	494	$q_A \le q_B$
497	495	$A_2=[\epsilon, \epsilon]$
498	496	$X=\sum_i X_i$
499	497	$K = A - P$
500	498	$(1-g(s), 1-s)$
501	499	$r=1,2,3,4$
502	500	$0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$
503	501	$\mathsf E[(S_t-a)1_{\{S_t>a\}}$
504	502	$\mathsf{Pr}(E\mid A) = \mathsf{Pr}(E\cap A) / \mathsf{Pr}(A)$
505	503	$P=a - v(a-L)$
506	504	$S(M-)$
507	505	$X_{t+1,2}$
508	506	$7$
509	507	$\nu F(a)$
510	508	$\mathcal D(X)=c\mathsf{TVaR}_p(X-\mathsf E[X])$
511	509	$\mu_d$
512	510	$[0,1]\to[0,\infty)$
513	511	$\mathsf{SA}$
514	512	$Y\le X+\Vert X-Y\Vert$
515	513	$Y_1$
516	514	$X=g(Z)$
517	515	$\mathsf E[X_ig'(S(X))]$
518	516	$\sup X=\mathsf E[XZ]=\int XZ$
519	517	$Y\mid Y > y_c$
520	518	$a_1' = a_0-X_1$
521	519	$X_{t-1,3}$
522	520	$\mathbf{B}(t)$
523	521	$\mathsf Q\in\mathcal Q(X)$
524	522	$g''<0$
525	523	$g(w s_1 + (1-w)s_2) \le w g(s_1) + (1-w) g(s_2)$
526	524	$k=1,\dots,m$
527	525	$S_t=S_0 X_t$
528	526	$\mathsf E[X\wedge a] = (1-e^{-a\beta})/\beta$
529	527	$\rho(-X)$
530	528	$[s_1,1]$
531	529	$[0, 1-p]$
532	530	$T = \min\{ t:U(t)\le 0 \}$
533	531	$X(\omega)=1-\omega$
534	532	$1-g(S(x))$
535	533	$x_0=q^-(p_0)$
536	534	$\beta_i(t\mathbf{v}, x)$
537	535	$\lambda=g(\lambda_{obj})$
538	536	$[-2\pi, 2\pi]$
539	537	$X(\lambda\mathbf{v})$
540	538	$\bar P_{t,0} = D\rho_{W_t}(Y_{t,0})$
541	539	$a>1$
542	540	$a=R+Q$
543	541	$k-L_0^k$
544	542	$p\ge 0$
545	543	$\int g(S)$
546	544	$\mathsf E[X\tilde Z]$
547	545	$0\le f<1$
548	546	$I(q,p)=0$
549	547	$1_{X < q(1-s)}$
550	548	$g - s$
551	549	$x_i=1$
552	550	$x\ge q(1-s^*)=:x^*$
553	551	$X\succeq Z$
554	552	$\Pr(X < x) \le 0.1 \le \Pr(X\le x)$
555	553	$0\le w\le 1$
556	554	$\mathsf{CTE}$
557	555	$\iota = \dfrac{\delta}{1-\delta}$
558	556	$X=x$
559	557	$g^{-1}(s)$
560	558	$U(0)=2$
561	559	$\alpha = 0.642.$
562	560	$s>1-p$
563	561	$M_i := \beta_ig-\alpha_iS$
564	562	${}^2$
565	563	$C_c$
566	564	$ROL = a + b\ \mathit{EL} + c \ C(t)$
567	565	$X_2=0$
568	566	$M=\delta a'$
569	567	$\alpha(x) S(x)>\beta(x) g(S(x))$
570	568	$P(X_{-1}(a_{gc}))$
571	569	$L = \text{E}[L^*\wedge A]$
572	570	$c(S)$
573	571	$A\cap B\subset B$
574	572	$g(s) = 1 - (1 - s)/(1 + r_f + Ck(s))$
575	573	$X-b\le 0$
576	574	$f(x)=(\sqrt{2\pi}x)^{-1}\exp(-(\log(x)-\mu)^2/2\sigma^2)$
577	575	$r_f=0$
578	576	$\mathsf{VaR}_p(X)-f(\mathsf{VaR}_p(X))$
579	577	$MX$
580	578	$\mathsf E_{\mathsf Q}[X_i(a)]=\mathsf E[X_i(a)g'(S(X))]$
581	579	$\displaystyle\int_0^{1-g(S(a))} \kappa_i(q(1-g^{-1}(1-p)))\,dp + a\beta_i(a)g(S(a))$
582	580	$X(\omega)=\exp(10 + 2\Phi^{-1}(\omega))$
583	581	$g(s)=\nu s + \delta$
584	582	$W$
585	583	$1_A$
586	584	$f=f_x=f_{xx}$
587	585	$\wedge$
588	586	$g'(s)$
589	587	$a$
590	588	$\mathbf{Q_{1}\Delta X}$
591	589	$X\wedge l$
592	590	$X_{t-d,d}$
593	591	$\alpha(\mathsf Q)=0$
594	592	$\mathsf E[W]=\sum_{d\ge 0} \mathsf E[Y_{-d,d}]$
595	593	$\bar q_{X_1+X_2}(s) \approx \bar q(s/2)$
596	594	$X_2$
597	595	$(s,g(s))=(0.2,0.36)$
598	596	$P = \mathsf E[X] + \pi\mathsf E[X]$
599	597	$ \& $
600	598	$\inf_x\{ x + c{(X-x)^+} \}$
601	599	$P(X\wedge a)$
602	600	$1-g(S(a))$
603	601	$Y_{1,0}$
604	602	$s=S(x)=\Pr(X>x)$
605	603	$\nu^{\ast}$
606	604	$A(\lambda X)=A(\lambda X)$
607	605	$dF$
608	606	$\downarrow\downarrow$
609	607	$\rho_2(X_1)=1$
610	608	$-X$
611	609	$[x_1, x_2]$
612	610	$\kappa_i(x)$
613	611	$\mathsf E[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)]\ge 0$
614	612	$r-r_L$
615	613	$\alpha_i(x) S(x)$
616	614	$(g(s_0)-g_0)/s_0 = g'(s_0)$
617	615	$\mathbb{Q} = \left \{ q:I(q,p) \le I^* \right \}$
618	616	$\rho=0$
619	617	$\mathbf{D^n\rho_{X\wedge 30}(X_2)}$
620	618	$s=f'(x_0)$
621	619	$\rho(X)=\sup(X)$
622	620	$g(0+)>0$
623	621	$\inf_x \{ x + \alpha\mathsf E[(X-x)^+] + \beta\mathsf E[(X-x)^-] \}$
624	622	$s_g, s_b$
625	623	$S(x)=e^{-\beta x}$
626	624	$1000$
627	625	$da>0$
628	626	$u'''\ge 0$
629	627	$0\le \lambda_1 \le 1$
630	628	$P_X$
631	629	$x_1+x_2=x$
632	630	$=\mathrm{MV}(X\wedge a)$
633	631	$M_i(x)+Q_i(x)=\alpha_i(x)F(x)$
634	632	$\delta = \iota/(1+\iota)$
635	633	$a_1'=a_0-X_1$
636	634	$X=\sum X_i$
637	635	$X\le b$
638	636	$\delta=\iota/(1+\iota)$
639	637	$(\delta_p - il_p)/(\nu_p-l_p)$
640	638	$x=\mathsf{VaR}_p(X)$
641	639	$1200/1800=0.667$
642	640	$\sigma_0=\sigma_1$
643	641	$a(f + (1-f)/q) -1$
644	642	$g \cdot dX$
645	643	$\beta_i(a)/\alpha_i(a) < 1$
646	644	$Q_{1}\Delta X$
647	645	$X_g$
648	646	$X=X(x_1,\dots,x_n)=x_1X_1 + \cdots + x_nX_n$
649	647	$s\leftrightarrow 1-s$
650	648	$\mathcal Q_i(X)$
651	649	$\mathbf{\Delta g(S)}$
652	650	$V_j$
653	651	$X'=X\wedge a$
654	652	$20+8t$
655	653	$\Delta_{2}$
656	654	$\alpha_{2}$
657	655	$(1,1)$
658	656	$4$
659	657	$Q_{i,j} = M_{i,j}/\iota_j$
660	658	$L^\infty$
661	659	$f(1)=1$
662	660	$0,10,40$
663	661	$\rho(X+c)=\rho(X)+c$
664	662	$H[Y_j]$
665	663	$Z=(1-p)^{-1}1_A$
666	664	$\mathsf E[p]=1$
667	665	$\beta_i(x)g(S(x))$
668	666	$A_3=[0, \epsilon-k]$
669	667	$dx,dt,ds$
670	668	$\mathsf{TVaR}_{0.95}$
671	669	$f(\omega)\ge 0$
672	670	$\beta=0.57$
673	671	$(X\wedge a)$
674	672	$X < a$
675	673	$\lambda<1$
676	674	$X_{0,1}$
677	675	$\omega'\not=\omega$
678	676	$X_0< X_1 < \dots < X_m$
679	677	$P = \mathsf E[X] + \pi \mathsf{SD}(X)$
680	678	$\tilde X_1 + \tilde X_2 = X_1 + X_2$
681	679	$\{f' \in L_q \mid f'=1+f-\mathsf E f,\ \|f\|_q\le c \}$
682	680	$\mathsf{VaR}\_p(X\_0)$
683	681	$-(1-s)g''(1-s) + g(0+)\delta_1 + \sum_s s(g'(s-)-g'(s+))\delta_{1-s} + g'(1)\delta_0$
684	682	$a>a_{ro}$
685	683	$g'(0)=\infty$
686	684	$(X\wedge a)/X$
687	685	$\mathsf E[r] = \mu_r = M/K = 0.132$
688	686	$\rho_g(V)= g(F(x^*)) \ge F(x^*)=\mathsf E[V]$
689	687	$P_g\ll P_X$
690	688	$Z\le (1-p)^{-1}$
691	689	$F_g$
692	690	$\bar P(x)$
693	691	$\Pr\{a-X\le 10\}$
694	692	$d^*=(\log(A/L) + (r_h-\mu_L + \sigma^2/2))/\sigma\sqrt{t}$
695	693	$\mathsf E[\kappa_i(X)g'(S(X))]$
696	694	$g(s)= \displaystyle\int_0^s g'(t)\,dt = (s/(1-p)) \wedge 1$
697	695	$(s_j=0,g_j>0)$
698	696	$P'<\rho(W_1\wedge a_1)$
699	697	$\mathsf E[\mathsf E[X_iZ\mid X]]\not=\mathsf E[\mathsf E[X_i\mid X]\mathsf E[Z\mid X]]$
700	698	$\mathsf E[S_t]=e^{\mu t}$
701	699	$\mathsf{COHERENT}$
702	700	$\Delta g(S_0)=1-g(S_0)$
703	701	$\rho_g(V)$
704	702	$X_t$
705	703	$\mathsf E_{\mathsf Q}$
706	704	$X_1+X_2=X=x$
707	705	$v_1$
708	706	$X_n\uparrow X$
709	707	$\Pr(X_i>\bar q(s))=s$
710	708	$m=1$
711	709	$a\ge 10$
712	710	$\gamma=0.633$
713	711	$r=0.038$
714	712	$1000(1+t)$
715	713	$f(0)=0$
716	714	$p(\nu(p)-l(p))$
717	715	$B(X)$
718	716	$h(0.9)/0.9 = 0.76$
719	717	$\int_{[0,p]} \dfrac{\mu(dt)}{1-t}$
720	718	$\mathsf{TVaR}_{0.5}(X_1)=9$
721	719	${}^nS(t)$
722	720	$Q(a)=\nu F(a)$
723	721	$\rho(X_i)$
724	722	$S(x_5)$
725	723	$h_x$
726	724	$Y\le 0$
727	725	$(I/a + U/R)$
728	726	$v=1/1.1<1$
729	727	$0 < r \le 1$
730	728	$\{ p \mid q^-(p) \le x \}=\{ p \mid p \le F(x) \}$
731	729	$(s,g(s))$
732	730	$R_f=0$
733	731	$\alpha_i'(x)>0$
734	732	$\lim_{s\downarrow 0} g_\tau(s) = \tau / (1+\tau)$
735	733	$\mathit{NPV}_1=0$
736	734	$X\wedge a\Delta S$
737	735	$\mathsf{TVaR}_{0.75}(X_2)=90$
738	736	$K = A-P$
739	737	$A\in\mathcal F'$
740	738	$\le 0$
741	739	$Z'(g(s))g'(s)=Z'(s)$
742	740	$\sum_i a(X_i, p^*)=a(X)$
743	741	$a_{gc}:=\mathit{VaR}_{p}(X)=18000.0$
744	742	$v=1/(1+i)$
745	743	$\alpha, \beta, \kappa$
746	744	$S_{X\wedge a}(x) = S_X(x)$
747	745	$W_0=Y_{0} + W_1$
748	746	$s_0, s_1, s_2$
749	747	$AR$
750	748	$S_j:=S(X_j)$
751	749	$f'_-$
752	750	$\gamma=\Pr(X>\mathsf E[X])$
753	751	$ is average invested assets, equal to $
754	752	$\mathsf{VaR}_{0.99}(X_2)=100$
755	753	$q(F(x))$
756	754	$a_i$
757	755	$q=ps_g$
758	756	$X_1=t$
759	757	$X>Y$
760	758	$M=g(S)-S$
761	759	$X=1800$
762	760	$g_2(s)=s^{0.5}$
763	761	$xS(x)|_0^\infty$
764	762	$x_h(1-p)$
765	763	$v(\varnothing) =0$
766	764	$\nu+\delta=1$
767	765	$\rho_i$
768	766	$\mathsf{SSD}$
769	767	$X_i\dfrac{X\wedge a}{X}$
770	768	$\varnothing$
771	769	$\mathbf{X'p}$
772	770	$r(X)=g'(S(X))$
773	771	$X\wedge d$
774	772	$1_{X>x_1}$
775	773	$\int g(S(x))\,dx$
776	774	$c(1,3)-c(3)$
777	775	$\mathsf E[(X-\mu)^n]$
778	776	$0.5$
779	777	$A(\lambda X)=\lambda A(X)$
780	778	$c=(1-\alpha)^{-1}$
781	779	$\mathsf E[X_{d}]$
782	780	$\mathbf{Z_1}$
783	781	$M_2dX$
784	782	$(\mathsf x*0.65, 3.75*2)$
785	783	$\mathit{EGL}_{ro}(a)=P(X_{-1}\wedge a) - P(X_{-1}\wedge a_{ro}) \ge 0$
786	784	$2\le x\le 8$
787	785	$\mathsf{CTE}_p$
788	786	$\mathsf E_\mathsf{Q}\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge a)\right] + \tau a \mathsf E_\mathsf{Q}[X_i/X\mid X > a]$
789	787	$f(\mathsf{VaR}_p(X))$
790	788	$X_n=X$
791	789	$Y_{t',d}$
792	790	$D\rho_X(X_i)=D\rho_i = x_i\dfrac{\partial\rho}{\partial x_i}$
793	791	$a(X)\le a(Y)$
794	792	$g'(s)<1$
795	793	$\mathsf E[(A-L)^+]/\mathsf E[L]$
796	794	$\beta > \alpha$
797	795	$\bar\iota=\iota$
798	796	$\int_a^{a+y} S(x)dx$
799	797	$0.125 \cdot 8 = 1$
800	798	$\rho_c(X)=\mathsf E[X]+c\sigma(X)$
801	799	$P = \mathsf E[Xe^{\pi X}]/\mathsf E[e^{\pi X}]$
802	800	$\bar\delta(x)$
803	801	$\mathsf EPD$
804	802	$\mathsf E[(X_i-\mathsf E X_i)(X-\mathsf E X)]/\mathsf{SD}(X)=\mathsf{cov}(X_i,X)/\mathsf{SD}(X)$
805	803	$P_{act}-P$
806	804	$\rho(X, p^\star)=a(X)$
807	805	$q(0.75)$
808	806	$\mathbf{t+3}$
809	807	$s=S_X(y)$
810	808	$\rho l = \iota C$
811	809	$\mathbf{a=1}$
812	810	$\alpha(1-\alpha)(1-s)^{\alpha-1} + \alpha\delta_0$
813	811	$Y_s$
814	812	$\eta\nu$
815	813	$(g_j-s_j)/(1-g_j)$
816	814	$Z=g'(S_X(x))$
817	815	$\Pr(X=x)=0$
818	816	$\Delta S_5$
819	817	$\mathsf E[X^k] \le \mathsf E[Y^k]$
820	818	$F(x)$
821	819	$D=(X-a)^+$
822	820	$\sigma^2/2$
823	821	$i=1$
824	822	$h(p)\le p$
825	823	$b = g/(1-g)$
826	824	$d=d(X_1,\dots,X_n)$
827	825	$X=\max(X)$
828	826	$v$
829	827	$F(q(p))=p$
830	828	$g(0+)=\mu(\{1\})$
831	829	$X_i(a)$
832	830	$p=0.999$
833	831	$m\ge 1$
834	832	$X_1(a)$
835	833	$\Delta_s=g'(s-)-g'(s+)$
836	834	$\mathsf Q \ll \mathsf P$
837	835	$k/n$
838	836	$X_{t-1,2}$
839	837	$d=1-v$
840	838	$f(t)=a(tx_1,\dots, tx_n)=ta(x_1,\dots, x_n)$
841	839	$\partial a/ \partial v_i$
842	840	$-g''$
843	841	$g'(1)=0$
844	842	$P(a)=g(S(a))\ge S(a)$
845	843	$x\mapsto x$
846	844	$x^{\ast}=\mathsf{VaR}_p(X)$
847	845	$(1,\dots,1)$
848	846	$Y=-X$
849	847	$\lim_{y\downarrow x} f(y)$
850	848	$\iota=0.1$
851	849	$A_Y = 2.155$
852	850	$\Pr(S_t > a)=\Pr(X_t > a/S_0)=1-\Phi\left([\log(a/S_0)-(r-\sigma^2/2)t]/\sigma\sqrt{t} \right)=\Phi(d^*-\sigma\sqrt{t})$
853	851	$g(S)=1$
854	852	$X:=Y$
855	853	$0.05$
856	854	$\mathsf E[p] \le 1$
857	855	$\Pr(E)$
858	856	$xS(x)\vert_0^\infty =\lim_{x\to\infty} xS(x)=0$
859	857	$k!$
860	858	$602.6 billion and converted to net premium based on $
861	859	$q(p)\phi(p)\times dp$
862	860	$B_t$
863	861	$ABC$
864	862	$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$
865	863	$\mathsf E[X^n]$
866	864	$a = 0.6565$
867	865	$\mu(ds)$
868	866	$\mathsf E[YZ]$
869	867	$p<\infty$
870	868	$X_n(2/3)$
871	869	$X_s$
872	870	$x=q(p)$
873	871	$q_X(p)=\mu+\sigma z_p$
874	872	$Y_{0,t}:=\sum_{d>t} X_{0,d}$
875	873	$Z_{a}(a)$
876	874	$\le p$
877	875	$dx$
878	876	$G=\mathrm{cl}\{\, (\mathsf E_\mathsf{Q}[X_i], \mathsf E_\mathsf{Q}[X]) \mid \mathsf Q\in\mathcal Q \, \}$
879	877	$A = 8.14864$
880	878	$L(X)=1_{X=x_p}(X)/f(x_p)$
881	879	$\mathbf{\mathsf E[X_i(a)]}$
882	880	$\rho(X+tY)\ge \mathsf E_{\mathsf Q_X}[X+tY]$
883	881	$\{0, 8, 10\}$
884	882	$P = \mathsf{TVaR}_\pi(X)$
885	883	$w=w f(1)=w f(1)+(1-w)f(0) \le f(w 1 + (1-w)0)= f(w)$
886	884	$Z_\mathit{lin}$
887	885	$X_t=\mu t + \sigma W_t$
888	886	$\alpha S$
889	887	$\tilde X_1 = X_1 + \mathsf E[X_2]$
890	888	$f(x)=\sin(x)$
891	889	$\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}=\{\text{Ada}, \text{Bernhard}, \dots, \text{Zeno} \}$
892	890	$\alpha(1+fg/(1-g))$
893	891	$s > s_1$
894	892	$t=2/3$
895	893	$\int_0^s \phi(1-t)dt$
896	894	$H_k(X) \le H_k(Y)$
897	895	$\mathsf E[X_i/X \mid X > x]$
898	896	$X\preceq Y$
899	897	$\beta_H:=\mathsf{cov}(r_H, r_M)/\var(r_M)$
900	898	$1-1/c$
901	899	$0 < s < 1$
902	900	$\infty$
903	901	$q(\hat p)$
904	902	$\mathbf{\iota=M/Q}$
905	903	$Z=g'(S(X))$
906	904	$P=L/(1+R_L)$
907	905	$n+1=N$
908	906	$\rho(X_n)\not\to \rho(X)$
909	907	$X'\Delta g(S)$
910	908	${X}_p=\mathsf E[|X|^p]^{1/p}$
911	909	$\bar M(a) = \bar P(a) - \mathsf E[X\wedge a]$
912	910	$\beta_i(X_4)$
913	911	$s>0.2$
914	912	$\mathsf E[X1_{U_X\ge p}]\ge \mathsf E[XB]$
915	913	$q_{X+c}(p)=c+q_X(p)$
916	914	$X=q(F(X))$
917	915	$\Pr[X > a]$
918	916	$0.2 < s < 1$
919	917	$t>0.5$
920	918	$0 \le t \le 1$
921	919	$\mathbf{Z_6}$
922	920	$\mathsf{TVaR}_p(X(x_1,x_2))=(x_1 + x_2)\mathsf{TVaR}_p(Y)$
923	921	$X_1\le X_2\implies a(X_1;X)\le a(X_2;X)$
924	922	$\rho_c(X)=\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)=8.5$
925	923	$\Pr(Y_m > y) = 1 - (1 - \Pr(X > y))^n$
926	924	$V_X$
927	925	$\mathbf{a_2'}$
928	926	$\rho(1)=1$
929	927	$(3,2)$
930	928	$a_2'$
931	929	$\mathsf Q(A)=\mathsf E[Z1_A]$
932	930	$x_{i-1}\le x'_i\le x_i$
933	931	$\mathsf{TVaR}_p(X)=(12(0.9-p) + 2.5)/(1-p)$
934	932	$V$
935	933	$D^f\rho_{W_t\wedge a, W_t}(Y_{0})$
936	934	$\mu$
937	935	$y=(\log(x)-\mu)/\sigma$
938	936	$\sup(X)<\infty$
939	937	$+\infty$
940	938	$p=F(x)=\Pr(X\le x)$
941	939	$\mathsf E[N]=2.0$
942	940	$F^{-1}(p)=q(p)$
943	941	$\mathbf{\max a}$
944	942	$Z(y_j)$
945	943	$\bar Q_{d}=a_{d}-\bar P_{d}$
946	944	$\rho(X_n) \uparrow \rho(X)$
947	945	$S(a)$
948	946	$\mathsf E[(X-a)^+]= p\,\mathsf E X$
949	947	$(1-g(s))(1-q)$
950	948	$\Delta \mathit{MV}_{gc}(a)$
951	949	$X_1,\dots,X_m$
952	950	$da1_{X>x}$
953	951	$g_1F$
954	952	$\bar P_{0,t}:=\rho(Y_{0,t})$
955	953	$x_0+x_1+x_2$
956	954	$\rho(X)=\mathsf E_{\mathbb{Q}}[X]=\mathsf E_{\mathbb{Q}}[\sum_i X_i]=\sum_i \mathsf E_{\mathbb{Q}}[X_i]$
957	955	$\bar S(a)=\displaystyle\int_0^a S(x)dx$
958	956	$S(X_j)>0$
959	957	$f(s)=\alpha(1-\alpha)(1-s)^{\alpha-1}$
960	958	$1_A:\Omega\to \{0,1\}$
961	959	$g(S(\infty))=0$
962	960	$\alpha_i(a) = \dfrac{\sum_{j:X_j>a} (X_{i,j}/X_j)p_j}{\sum_{j:X_j>a} p_j}$
963	961	$P_i,M_i, Q_i$
964	962	$C'_i$
965	963	$l_i$
966	964	$A(c)=c$
967	965	$I$
968	966	$X\preceq_m Y$
969	967	$\rho(X),\rho(Y)\le 0$
970	968	$X_{0,t}$
971	969	$a-X\le 0$
972	970	$m_3=0$
973	971	$\mathsf E[X_ie^{kX}]/\mathsf E[e^{kX}]$
974	972	$\rho(W_1\wedge a_1 \wedge a_1')$
975	973	$\mathsf{CONVEX,LI}$
976	974	$1_{X>x}$
977	975	$\tau a$
978	976	$E\in\mathcal F$
979	977	$a/Q = 1 + R/Q$
980	978	$\mathsf E_{\mathbb{Q}}[X_i]$
981	979	$\mathsf E[X_2]=22.75$
982	980	$F_Y$
983	981	$X(T(U))$
984	982	$\le 1/(1-p)$
985	983	$\kappa_j(x)\approx \mathsf E[X_j]$
986	984	$0\le \lambda\le 1$
987	985	$r\times 1$
988	986	$P = \mathsf E[X] + \pi \mathsf E[((X-\tau)^+)^p]^{1/p}$
989	987	$(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)$
990	988	$\mathsf E[X_i\,\mathsf E[Z\mid X]]$
991	989	$(3,1)$
992	990	$\mathcal F_0\subset\mathcal F_1\subset \cdots\subset \mathcal F_N$
993	991	$\dots$
994	992	$R_C$
995	993	$k = 3.3 s^{0.82}$
996	994	$X_n=1_{\{0,1,\dots,n-1\}}$
997	995	$X(\omega)=x$
998	996	$R_L$
999	997	$D\rho_X(X_i)=\mathsf E_{\mathsf{Q}_X}[X_i]$
1000	998	$c(\varnothing)=0$
1001	999	$\mathsf E[Z\mid X]=Z$
1002	1000	$Q_i$
1003	1001	$X=10$
1004	1002	$P(a)$
1005	1003	$\rho(X)\ $
1006	1004	$U(1)=1$
1007	1005	$g(S_{X\wedge a'}(x))$
1008	1006	$ occurs, i.e., those with the value 1 in the $
1009	1007	$\Delta X_m$
1010	1008	$(0,0,0,0,0,0,0,5,0,5)$
1011	1009	$D=1$
1012	1010	$\rho(X)=\max_i \rho_i(X)$
1013	1011	$\mathsf E[1_{U < s}]=s$
1014	1012	$a_h=2-a_l$
1015	1013	$0 < \alpha \le 1$
1016	1014	$i=1,\dots,N$
1017	1015	$-norm equal to 1. (Note that $
1018	1016	$g(0.1)=\sqrt{0.1}=0.316$
1019	1017	$\rho_g(X)=\mu+\lambda$
1020	1018	$0.5 + U/2$
1021	1019	$\mathsf E[Y_i\mid X_n]$
1022	1020	$-g'(S(x))f(x)$
1023	1021	$1-(p_R+p_Y)$
1024	1022	$\sum\mathsf E[C_i^2]=\sum m_i(1+v_i^2)$
1025	1023	$\Pr(X < x)\le 0.99 \le \Pr(X\le x)$
1026	1024	$(1+\epsilon)v_1$
1027	1025	$\Vert X-Y\Vert := \sup_{\omega\in\Omega} |X(\omega) - Y(\omega)|$
1028	1026	$(\partial a/\partial x_1)(tx_1,tx_2)= 3tx_1 /a(tx_1, tx_2) = 3x_1 /a(x_1, x_2)=\partial a/\partial x_1$
1029	1027	$\beta_i(x)=\mathsf E_\mathsf{Q}\left[ \dfrac{X_i}{X}\mid X > x\right]$
1030	1028	$\mathsf{TVaR}_p$
1031	1029	$U\le u$
1032	1030	$-dS=f(x)dx$
1033	1031	$\mathbf{X_{1c}}$
1034	1032	$\mathsf{COM}$
1035	1033	$1_\omega$
1036	1034	$\alpha=0.5$
1037	1035	$\mathsf{biTVaR}_{p_0,p_1}^w(X)=\mathsf{TVaR}_{p^\ast}(X)$
1038	1036	$\mathbf{x}=\mathbf{1}$
1039	1037	$\beta_i(x)/\alpha_i(x)$
1040	1038	$d^*$
1041	1039	$\mathsf E[q(U_X)1_{U_X\ge p}]$
1042	1040	$X_2-X_1$
1043	1041	$q_{X_i}(p)=\Phi^{-1}(p)$
1044	1042	$Z_a$
1045	1043	$\mu(\{p_0\}) = 1-w$
1046	1044	$Z(\omega)> 0$
1047	1045	$r=0.045$
1048	1046	$\sup_\mathsf{Q} (\mathsf E_\mathsf{Q}[X] - \alpha(Q))$
1049	1047	$h(s)=s^m$
1050	1048	$X\_{1}$
1051	1049	$cv=0.557$
1052	1050	$du = -g'(S(x))dF(x)$
1053	1051	$g(0)=r_0$
1054	1052	$M_i=\beta_ig(S)-\alpha_iS$
1055	1053	$j$
1056	1054	$g-s$
1057	1055	$\max_\mathsf{Q} \mathsf E_\mathsf{Q}[X]$
1058	1056	$w_u=1+c(1-\gamma)$
1059	1057	$a:=\rho(X)$
1060	1058	$g\Delta X \wedge a$
1061	1059	$\Pr(X < x)$
1062	1060	$M=rQ$
1063	1061	$X,X_i$
1064	1062	$Y_c$
1065	1063	$($
1066	1064	$S_{X\wedge a}$
1067	1065	$\rho(1_A)$
1068	1066	$g_4(s)=s^{0.9}$
1069	1067	$(4,1)$
1070	1068	$f(L)=0$
1071	1069	$(-\mathsf x, 2)$
1072	1070	$E[(X-qp)^+]$
1073	1071	$I/a + U/R > 0$
1074	1072	$g'(S(x))=(1-p)^{-1}$
1075	1073	$a\le 1$
1076	1074	$a-b_h<0$
1077	1075	$\mathsf{TVaR}_p(X) := (1-p)^{-1}(T_1+T_2)/N$
1078	1076	$0.417 < p < 0.791$
1079	1077	$1-\nu p$
1080	1078	$\sqrt{0.9}=0.95$
1081	1079	$c(1,2)-c(2)$
1082	1080	$\lambda X$
1083	1081	$r_A$
1084	1082	$\dfrac{\iota}{1+\iota} p$
1085	1083	$\rho_g(X)=452.98$
1086	1084	$a < \infty$
1087	1085	$\alpha(\mathsf Q) = 0$
1088	1086	$\mathsf{VaR}_p$
1089	1087	$Q_t=\rho(\mathsf E[X\mid t])$
1090	1088	$X_1=X_2=Y$
1091	1089	$P = 1.5$
1092	1090	$S(x)dx$
1093	1091	$L_a^{a+y}$
1094	1092	$\mathsf E_{\mathsf Q}[Y]=\mathsf E[YZ]$
1095	1093	$\mathsf P,\mathsf Q_2,\dots,\mathsf Q_r$
1096	1094	$F(t)$
1097	1095	$P((1+\epsilon)v_1, v_2, a+da)=P^a((1+\epsilon)v_1, v_2)$
1098	1096	$\mathsf E[Z(X)]=1$
1099	1097	$\Pr(X\le x)$
1100	1098	$\sum_\omega \mathsf Q(\omega) =\mathsf E[Z] / \mathsf E[Z]=1$
1101	1099	$\tau=0+d$
1102	1100	$Y=f(X)$
1103	1101	$a_1 = 5.991$
1104	1102	$\{\mathsf E_{\mathsf Q}[X_i] \mid \mathsf Q\in\mathcal Q(X)\}$
1105	1103	$X=X\wedge a + (X-a)^+$
1106	1104	$s\wedge p=\min(s,p)$
1107	1105	$a=30$
1108	1106	$1_{U_X\ge p}$
1109	1107	$g(s)\ge s$
1110	1108	$\mathsf Q(A)>0$
1111	1109	$\mathsf{COH}$
1112	1110	$D f(x_0)$
1113	1111	$r_H$
1114	1112	$d=iv$
1115	1113	$U>p$
1116	1114	$p<0.1$
1117	1115	$\mathsf{biTVaR}_{0,0.9}^{0.3138}$
1118	1116	$\mathsf{TVaR}_0(X)=\mathsf E[X]$
1119	1117	$(g(s)-s)/(1-s)$
1120	1118	$P/L$
1121	1119	$j=7$
1122	1120	$\mathsf E[XZ(X)]$
1123	1121	$\mathbf{v}'$
1124	1122	$0< p <1$
1125	1123	$\mathsf P(A)=0$
1126	1124	$X_{-1}=x$
1127	1125	$\mathbf{X'\Delta S}$
1128	1126	$x=q^-(p)$
1129	1127	$(\lambda S(x))$
1130	1128	$Q=1-g(S)$
1131	1129	$1^+$
1132	1130	$X \wedge a$
1133	1131	$\delta(s)$
1134	1132	$[x, y]$
1135	1133	$\mathsf E X + c\mathsf E[((X-\tau)^+)^p]^{1/p}$
1136	1134	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X] \le \rho(X)$
1137	1135	$\omega>0$
1138	1136	$K = \mathsf E[\exp (\lambda x)]^{-1}$
1139	1137	$t \in (0,1)$
1140	1138	$1=1_{X\le a}+1_{X>a}$
1141	1139	$\rho(X_n)$
1142	1140	$Y\equiv 1$
1143	1141	$(dt)^{3/2}$
1144	1142	$m_0=0$
1145	1143	$\iota=\dfrac{M}{Q}$
1146	1144	$X\circ f$
1147	1145	$g(s)=s^\lambda$
1148	1146	$P\ge (\mathsf E[X] + \iota a)/(1 + \iota)$
1149	1147	$\mathsf{MON,\ NORM}$
1150	1148	$\sum_i \kappa_i'(x)=1$
1151	1149	$a<E[X_{-1}]$
1152	1150	$Y_m>x$
1153	1151	$p'\ge p$
1154	1152	$\mathsf E[Xe^{\pi X}]/\mathsf E[e^{\pi X}]$
1155	1153	$\bar P_i(a)$
1156	1154	$Np=67.45$
1157	1155	$B$
1158	1156	$X_n,X$
1159	1157	$(1-p)\gamma(dp)$
1160	1158	$X'=X$
1161	1159	$0.33$
1162	1160	$(1-p)/(p(\nu_p-l_p)^2)$
1163	1161	$\mu_U = 1-p = 0.995$
1164	1162	$j+1$
1165	1163	$q_{X+Y}=q_X+q_Y$
1166	1164	$\mathsf E[X_1\mid X=20]= 14$
1167	1165	$\mathsf Q_{X}$
1168	1166	$u_{X,r}(p)=\psi_{X,r}^{-1}(p)$
1169	1167	$a_i=\mathsf E[X_i\mid X\ge \mathsf{VaR}_{p^**}(X)]$
1170	1168	$L_a^{a+da}=L_0^{a+da}-L_0^a$
1171	1169	$P\approx \mathsf E[A(1)] + k\mathsf{Var}(A(1))/2$
1172	1170	$c(X(\mathbf{v}))=c(\mathbf{v})$
1173	1171	$\mathsf{MRM}$
1174	1172	$^{*}$
1175	1173	$s=0,1$
1176	1174	$\mathsf E[X] + \pi \mathsf{Var}(X)$
1177	1175	$X(x,-x)\equiv 0$
1178	1176	$F(x):=\mathsf{P}(X\le x)$
1179	1177	$\max X$
1180	1178	$q=q(p)$
1181	1179	$1/m>0$
1182	1180	$B\subset [0,1]$
1183	1181	$g(S(x))=1-p$
1184	1182	$f:(0,1)\to (0,1)$
1185	1183	$p_0,\dots, p_{n'}$
1186	1184	$X_1-X_0$
1187	1185	$\bar P = \bar S + \bar M$
1188	1186	$\rho(\tilde X)=\rho(X) + \rho(\tilde X-X)$
1189	1187	$u\in D_n=\{ u \mid u^{(k)} \ge 0, k=1,\dots,n-1, u^{(n-1)}\text{ nondecreasing} \}$
1190	1188	$l(\mathbf X)=(\sum_i X_i^2)^{0.5}$
1191	1189	$\Pr(\cup_i E_i)=\sum_i \Pr(E_i)$
1192	1190	$s=S(x)$
1193	1191	$s_j < 1$
1194	1192	$\bar S(a+da)-\bar S(a)\approx \bar S'(a)da = S(a)da$
1195	1193	$\mathbf{\mathsf{VaR}_p(X_1+X_2)}$
1196	1194	$t-1$
1197	1195	$\mathcal D(X+c)=\mathcal D(X)$
1198	1196	$\tilde X_2 = X_2 -\mathsf E[X_2\mid X_1]$
1199	1197	$\mathsf E[X_i\mid X](x)$
1200	1198	$s\in[0,1]$
1201	1199	$p=1-1/n$
1202	1200	$X(\omega)=X_1(\omega)+X_2(\omega)$
1203	1201	$S(x) + d\,F(x) + (\delta^{\star}-d)\sqrt{S(x)F(x)}>1$
1204	1202	$S(x_#4)$
1205	1203	$\mathcal V$
1206	1204	$1-e^{-\lambda S(x)}$
1207	1205	$\beta>1$
1208	1206	$X_n=n1_A$
1209	1207	$d-1$
1210	1208	$g(S(x))\approx S(x)\approx 1$
1211	1209	$t_0$
1212	1210	$D_1$
1213	1211	$\mathcal E$
1214	1212	$\bar P=\mathsf E[W]+\lambda\sigma(W)$
1215	1213	$s\uparrow 1$
1216	1214	$Mg(0+)$
1217	1215	$S/L\ge A/L-1$
1218	1216	$\succeq$
1219	1217	$2\mathsf{VaR}_p(X_1) - \mathsf{VaR}_p(X)$
1220	1218	$Y = X + Z$
1221	1219	$)$
1222	1220	$1-(1-s)^m$
1223	1221	$p\to 1$
1224	1222	$\mathsf P(T^{-1}(A))=\mathsf P(A)$
1225	1223	$-zf(x)=(d/dx)g(S(x))$
1226	1224	$\rho_X(X_i)$
1227	1225	$n\Pr(Y > y_c)$
1228	1226	$P=\rho(X \wedge a)$
1229	1227	$s=0.02$
1230	1228	$F(q^-(p_0))=p_+>p_0$
1231	1229	$\Delta g(S)$
1232	1230	$\Delta$
1233	1231	$\mu=10, \sigma=2$
1234	1232	$t=3$
1235	1233	$0\le q\le 1$
1236	1234	$\mathbb{Q}_k$
1237	1235	$L_a^y$
1238	1236	$X=30$
1239	1237	$l=\sum_i l_i$
1240	1238	$f:I\to\Omega$
1241	1239	$f(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$
1242	1240	$\Pr(X>\mathsf{VaR}_p(X))=1-p$
1243	1241	$g(0+)=\delta$
1244	1242	$S_i(x)$
1245	1243	$h=2$
1246	1244	$g'_\tau(s) = g'(s)/(1+\tau)\ge 0$
1247	1245	$\mathsf E_Q[X_i\mid X]=\mathsf E[X_i\mid X]$
1248	1246	$\mathbb{Q}(\{\omega_i\})=0$
1249	1247	$t \ne 0$
1250	1248	$\rho=\mathsf{TVaR}_p$
1251	1249	$\tilde M_i(a) = \bar M_i(a)-\tau_i a_i$
1252	1250	$a>10$
1253	1251	$x^+$
1254	1252	$A(-X)=-A(X)$
1255	1253	$g(s)=s^{1/3}$
1256	1254	$\{X = x\}$
1257	1255	$p_1,p_1$
1258	1256	$0\le x \le 1000$
1259	1257	$U_s$
1260	1258	$\{1,2,3\}$
1261	1259	$\kappa_i(x)\approx x -\sum_{j\not=i} \mathsf E[X_j]$
1262	1260	$i=0,1$
1263	1261	$\mathsf{Var}(\Pi)$
1264	1262	$\mathsf E[Z \tilde X]$
1265	1263	$\mathsf{TVaR}_{0.75}(X_1)=10$
1266	1264	$g_k(s)=1-(1-s)^k$
1267	1265	$\mathsf E_\mathsf{P}[X_j]$
1268	1266	$g'(S_{X}(X))$
1269	1267	$(8t+10t)/2$
1270	1268	$\mathbf{\Sigma}$
1271	1269	$g(S(x_i-))=g(S(x_{i}))$
1272	1270	$\nu + \delta = 1$
1273	1271	$1-1/n$
1274	1272	$\Omega_1$
1275	1273	$\Delta g(S_j)$
1276	1274	$x\leftrightarrow u(x)$
1277	1275	$\eta=0.49$
1278	1276	$X=q(p)$
1279	1277	$\log(\mathit{EER}) = \gamma + \eta \log(\mathit{PFL}) + \beta \log(\mathit{LGD})$
1280	1278	$Y=-X_0$
1281	1279	$g'\circ S_{X\wedge a}$
1282	1280	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X\wedge a] = \rho(X\wedge a)$
1283	1281	$s_2 - s_1$
1284	1282	$\mathbf{X_1(a)}$
1285	1283	$y < q_A(p)$
1286	1284	$\Delta\mathit{MV}$
1287	1285	$g'(s+)$
1288	1286	$w=E[w|s=0.1]=0.06405$
1289	1287	$f'_+$
1290	1288	$f_x=1/S_t$
1291	1289	$S(X(\omega))$
1292	1290	$\rho(X\wedge a)=\mathsf E[(X\wedge a)Z(X)]$
1293	1291	$\rho_2(X)$
1294	1292	$L$
1295	1293	$\partial a/\partial x_1=3x_1/a$
1296	1294	$g(s)\ge 0g(0) + sg(1)=s$
1297	1295	$T:\Omega\to\Omega$
1298	1296	$t>x$
1299	1297	$L^1$
1300	1298	$(a-X_{\mathsf{j}(a)})$
1301	1299	$\alpha=d_i$
1302	1300	$A=\mathbb Q\cap [0,1]$
1303	1301	$Q_1\Delta X$
1304	1302	$f(L) \ge 0$
1305	1303	$\rho(X_1)=\rho(X_2)$
1306	1304	$\rho(\tilde X)$
1307	1305	$F_3$
1308	1306	$\mathsf{CTE}_p(X)$
1309	1307	$1_{U < s}$
1310	1308	$Q_2dX$
1311	1309	$p\to S\to gS \to \Delta gS$
1312	1310	$\Delta Q_{gc}(a)$
1313	1311	$g(s) = s^a$
1314	1312	$d^\ast = 1-(1-g^\ast)/(1-s^\ast)$
1315	1313	$g(s)=g(1-p)$
1316	1314	$\alpha_{Cat}$
1317	1315	$\mathsf E[Y_{0,0}]+\lambda\sigma(Y_{0,0})=58.129$
1318	1316	$D^f\rho_{X\wedge a,X}(X_i(a))$
1319	1317	$h=1+\lambda(f-\mathsf E f)$
1320	1318	$r_f$
1321	1319	$X = \sum_i X_i$
1322	1320	$x_3(S(x_2)-S(x_3))=x_3f(x_3)$
1323	1321	$\preceq_2$
1324	1322	$\Delta \bar Q$
1325	1323	$m_0$
1326	1324	$Q(a)=1-g(S(a))$
1327	1325	$\mathsf E[X\wedge a] = \dfrac{k}{\beta-1}F(a)-\dfrac{a}{\beta-1}S(a)$
1328	1326	$\bar P_i(x)$
1329	1327	$S\subset T$
1330	1328	$f(L)$
1331	1329	$D_n$
1332	1330	$R_M$
1333	1331	$Z_5$
1334	1332	$q^-=q^+$
1335	1333	$-\int xd(g\circ S)=\int g(S(x))dx$
1336	1334	$\tilde Z = \mathsf E[Z\mid X]$
1337	1335	$y\not=z$
1338	1336	$1-g_\tau(s)$
1339	1337	$\rho L = \iota Q$
1340	1338	$\rho(aX+bY) = a\rho(X) + b\rho(Y)$
1341	1339	$W \equiv T_{(1)}=min_k{T_k}$
1342	1340	$\lambda \rho(X)$
1343	1341	$Y=h(Z)$
1344	1342	$y^{\ast}-x^{\ast} < \epsilon$
1345	1343	$U/4$
1346	1344	$D\rho(X_0)=\{Z \}$
1347	1345	$X > A$
1348	1346	$1=\mathsf Q(\Omega)\not=\sum_n \mathsf Q(\{n\})=0$
1349	1347	$\sigma=0.25$
1350	1348	$\Delta \mathit{MV}_{gc}(a)$
1351	1349	$\Phi'(Z(s))Z'(s)=1$
1352	1350	$\bar q_{X_1+X_2}(s) \ge \bar q(s/2)$
1353	1351	$K = 5.029$
1354	1352	$1_{X>x_2}$
1355	1353	$S\Delta X$
1356	1354	$\bar{\mathbf M}$
1357	1355	$F_X(x):=\Pr(X\le x)$
1358	1356	$G(X_1,\dots, X_n)'=(Y_1,\dots, Y_r)'$
1359	1357	$\mu_L=r_L +\pi$
1360	1358	$X=20$
1361	1359	$\mathsf P(X=\max(X))=0$
1362	1360	$r_a+r_l$
1363	1361	$D\rho_X(X_i) \ge \mathsf E[X_i]$
1364	1362	$S_1$
1365	1363	$\mathbf X / l(\mathbf X)$
1366	1364	$w, 1-w$
1367	1365	$\mathcal D$
1368	1366	$-\rho(-X)\le \mathsf E[X] \le \rho(X)$
1369	1367	$ (range.south)+(0, -1) $
1370	1368	$\mathsf{P}$
1371	1369	$X=\sum_{i=1}^n X_i$
1372	1370	$X_j=x$
1373	1371	$X_0=\mathsf E[X]$
1374	1372	$\Omega_a$
1375	1373	$\Pr(X > \mathsf{VaR}_p(X))$
1376	1374	$S_j$
1377	1375	$\beta>\alpha$
1378	1376	$f(W_t,t)$
1379	1377	$\mathsf E[W\tilde X] \le \rho(\tilde X)$
1380	1378	$\mathsf E[X_ih(X)]=\mathsf E[\mathsf E[X_ih(X)\mid X]]=\mathsf E[\mathsf E[X_i\mid X]h(X)]=\mathsf E[\kappa_i(X)h(X)]$
1381	1379	$p\le S(x^*)$
1382	1380	$\phi(t)$
1383	1381	$S(x)=p$
1384	1382	$U/2$
1385	1383	$\int Zd\mathsf P=1$
1386	1384	$1+t$
1387	1385	$a_{1}'$
1388	1386	$r_h=-0.025$
1389	1387	$(x_A,g(S(x_A)))$
1390	1388	$p(1-\nu(p))=p\delta(p)$
1391	1389	$\beta_i$
1392	1390	$1-S$
1393	1391	$p_{\mathit{pr}}$
1394	1392	$g(0+)=\lim_{t\downarrow 0} g(t)\ge 0$
1395	1393	$0\le \pi\le 1$
1396	1394	$Z=Z(X)$
1397	1395	$r_a$
1398	1396	$\int_a^\infty g(S(x))\,dx$
1399	1397	$\prec X$
1400	1398	$\{2, 3\}$
1401	1399	$(0,1,2,3,4,8,8,8,8,9)$
1402	1400	$n\ge 3$
1403	1401	$=\mathrm{MV}(a-X)^+$
1404	1402	$g(s)/(1-g(s))$
1405	1403	$\Pr(X=y_j)$
1406	1404	$E[Y\,dG/dF]$
1407	1405	$g(S_X(x))=1$
1408	1406	$q(p)=\inf\{x \mid F_X(x)\ge p \}$
1409	1407	$\mathit{NPV}_{\infty}$
1410	1408	$E[X_1 | X]$
1411	1409	$\beta_D$
1412	1410	$\sigma=0.1246$
1413	1411	$F(x;\alpha)$
1414	1412	$D_\infty$
1415	1413	$(1,3)$
1416	1414	$X, Y$
1417	1415	$q^-(p)=\mathsf{VaR}_p(X)$
1418	1416	$i=1,\ldots,n$
1419	1417	$P/l-1 =\rho= \iota Q / l = \iota(C/l + g)$
1420	1418	$c(x)=\rho(\sum_i x_iX_i)$
1421	1419	$\omega_1=0$
1422	1420	$E_{\mathsf{Q_X}}$
1423	1421	$M_{2}\Delta X$
1424	1422	$S(x_#5)$
1425	1423	$(\nu,\nu,\dots,\nu,\nu+10\delta)$
1426	1424	$\mathcal F'\subset \mathcal F$
1427	1425	$\Delta S_0$
1428	1426	$a_{d}$
1429	1427	$\tilde X(x) = x$
1430	1428	$A/L<1$
1431	1429	$X_n(\omega)$
1432	1430	$\bar P^a(\mathbf{v})$
1433	1431	$\int_0^1 f(s)ds = 1 - \alpha < 1$
1434	1432	$\mathcal{N}_{X}(X_i(a))$
1435	1433	$a-P$
1436	1434	$\mathsf{Q}(A)\le g(\mathsf{P})(A))$
1437	1435	$d=0$
1438	1436	$x\mapsto g(s)+g'(s)(x-s)$
1439	1437	$\mathsf{VaR}_{1-s}$
1440	1438	$\mathbf{Q_2\Delta X}$
1441	1439	$\rho_g(X\wedge a)=(\bar L + ra)/(1+r)$
1442	1440	$(a-X)$
1443	1441	$\omega'=1$
1444	1442	$1/6 + 2 /6 + 4/2 + 9/6$
1445	1443	$\rho_a(kX) = \rho(kX \wedge a(kX)) = \rho(kX \wedge ka(X)) = \rho(k(X\wedge a(X))) = k\rho(X\wedge a(X)) = k\rho_a(X)$
1446	1444	$500mm, enough to materially impair their franchise, is judged to be 0.4%. This has a corresponding risk-neutral value of 2.5%. However, they believe that a loss over $
1447	1445	$(a_1'-a_1)^+$
1448	1446	$X\wedge a=\sum_i X_i(a)$
1449	1447	$Q,\iota,M$
1450	1448	$\int_0^a g(S(x))dx$
1451	1449	$p>p^*$
1452	1450	$\{X\ge q(p)\}=\{X \ge 12\}$
1453	1451	$g(1)-g(0)=1$
1454	1452	$g(s)(1-q)$
1455	1453	$(g(S(x^-)-g(S(x)))/(S(x^-)-S(x))$
1456	1454	$\sum_j X_{i,j}(a)\Delta g(S_j)$
1457	1455	$\mathsf{P}(a,b]=b-a$
1458	1456	$j=1,\dots,d$
1459	1457	$Z(\omega)=0$
1460	1458	$\mathsf E[X_{t,d}\mid \mathcal F_0]=\mathsf E[X_{t_d}]$
1461	1459	$l(p)= \nu(p)-\sqrt{(1-p)/p}$
1462	1460	$\int_0^1 g(s)ds - 0.5$
1463	1461	$\rho_{g}$
1464	1462	$\prec_1$
1465	1463	$\mathsf E[X\wedge a] + d(a - \mathsf E[X\wedge a])$
1466	1464	$\epsilon v_1$
1467	1465	$\mathsf E X +\lambda {(X-\mathsf E X)^+}_1$
1468	1466	$\phi(p) = (1-\alpha)^{-1}1_{[1-\alpha, 1)}(p)$
1469	1467	$S(M)=0$
1470	1468	$c\ge 0$
1471	1469	$\mathbf{\rho(X)}$
1472	1470	$p_1=1$
1473	1471	$\mathsf E[Z\mid X>a]=g(S(a))/S(a)$
1474	1472	$x_{1,i}+x_{2,k(i)}$
1475	1473	$(x_1, x_2)$
1476	1474	$\alpha_i'(x) \to 0$
1477	1475	$\displaystyle\int_0^{F(a)} \kappa_i(q(p))\,dp + a\alpha_i(a)S(a)$
1478	1476	$\bar P(a)$
1479	1477	$q(U)$
1480	1478	$\iff\rho$
1481	1479	$F_g(x)$
1482	1480	$Q(a) = 1-P(a)= \nu F(a)$
1483	1481	$\mathsf P(\{x\})=0$
1484	1482	$1_V$
1485	1483	$R_Q$
1486	1484	$\mathcal D:=\{X\mid X\preceq_2 Y \}$
1487	1485	$X_{j,i}$
1488	1486	$g(1-F(x))=1-\tilde p$
1489	1487	$p'$
1490	1488	$\beta_i(a)g(S(a))$
1491	1489	$A\subset[0,\infty)$
1492	1490	$X_1/X$
1493	1491	$x$
1494	1492	$q_{\mathbf{v}}(p)$
1495	1493	$\rho(X) = \rho(X\wedge a) + \rho((X-a)^+)$
1496	1494	$1\not\in S$
1497	1495	$F(x):=\Pr(X\le x)$
1498	1496	$X_n=1/n$
1499	1497	$\rho_g(X)=\mu/b>\mu$
1500	1498	$\mathsf{VaR}_{0.99}(X)=1100$
1501	1499	$<1$
1502	1500	$S(X)$
1503	1501	$a=kP+Q$
1504	1502	$X\wedge a = \sum X_i(a)$
1505	1503	$A\subset \{ Z=0 \}$
1506	1504	$Z\circ T_i$
1507	1505	$a(X_i; X)\le \sup(X_i)$
1508	1506	$Y_{1,2}$
1509	1507	$M_{2}$
1510	1508	$x \le 300$
1511	1509	$\implies c_i\ge 0$
1512	1510	$F(x)=1-s$
1513	1511	$h(0.9) = 1-\sqrt{0.1} = 0.684$
1514	1512	$\alpha = 1, \kappa = 0.2$
1515	1513	$(8)(0.25)+(10)(0.25)=4.5$
1516	1514	$W_0=0$
1517	1515	$Q=S$
1518	1516	$X^{(d)}_i(a):=(X_i-d)^+$
1519	1517	${\mathcal{M}}$
1520	1518	$X = X_1 + X_2$
1521	1519	$V_t$
1522	1520	$\mathsf P(\{ \omega\mid X(\omega)=X(\omega_0), \omega \le \omega_0 \})$
1523	1521	$\mathsf E[X_i\sum_j w_jZ_j]=\sum_iw_j\mathsf E[X_i Z_j]$
1524	1522	$m_3 := m_2$
1525	1523	$g(s)=(s+\iota)/(1+\iota)$
1526	1524	$\iota = \delta/\nu$
1527	1525	$r_X= r_f + \beta_X(r_m-r_f)$
1528	1526	$\mathsf E[X]+k\var(X)$
1529	1527	$Z\circ T\in \mathcal Q$
1530	1528	$\rho(X_1) \ge P_1$
1531	1529	$a-X$
1532	1530	$P(A)=1-p$
1533	1531	$10+0$
1534	1532	$\phi'(p)=-g''(1-p)>0$
1535	1533	$\mathsf{TI,\ MON,\ SA,\ PH}$
1536	1534	$\Delta_1=a_1'-a_1$
1537	1535	$\mathit{RDS}_k$
1538	1536	$t=-ln(1-p)$
1539	1537	$C_i=c_i$
1540	1538	$\lim_{s\to 1} (g(s)-s)/(1-s) = \lim_{s\to 1} 1-g'(s)$
1541	1539	$\rho_i(X)$
1542	1540	$v(A\cap B) + v(A\cup B)\le v(A)+v(B)$
1543	1541	$\mathsf{TVaR}_{0.5}$
1544	1542	$X_1, X_2$
1545	1543	$\rho=\sup$
1546	1544	$m_i$
1547	1545	$g'(s) = as^{a-1}$
1548	1546	$k\in\mathbb{R}$
1549	1547	$q(p)=F^{-1}(p)$
1550	1548	$E_4$
1551	1549	$\psi_{X, m}(u)$
1552	1550	$f=(1-p)^{-1}1_A$
1553	1551	$<0$
1554	1552	$\mathbf{M}$
1555	1553	$X=X_1 + X_2$
1556	1554	$G=g$
1557	1555	$-q_{-Y}^-(1-p)$
1558	1556	$\rho(\lambda P,\lambda R,\lambda a)=\lambda\rho(P,R,a)$
1559	1557	$1+bf$
1560	1558	$Y_j$
1561	1559	$\mathbf{\iota}$
1562	1560	$dP_g/dP_X$
1563	1561	$S(x)=d/dx(\mathsf E[X \wedge x])$
1564	1562	$M=g-S$
1565	1563	$FL$
1566	1564	$\int gS(x)dx=\int xg'(S(x))P_X(dx)$
1567	1565	$\mathit{MV}_{ro}(a) = a-\rho(X_{-1}\wedge a)$
1568	1566	$n+1$
1569	1567	$g'(s)=\phi(1-s)$
1570	1568	$X_i(a)\not= X_i\wedge a_i$
1571	1569	$\mathbf{g(S)\,\Delta X}$
1572	1570	$\lim_{x\downarrow x_0} F(x)=F(x_0)$
1573	1571	$F(w) = 1-\exp(-w)$
1574	1572	$\mathbf{X_1/X}$
1575	1573	$\WCE_p(X) = \mathsf{TVaR}_p(X)$
1576	1574	$B_i^c$
1577	1575	$\Omega_a := \{\omega\in \Omega \mid (X\wedge a)=a \}$
1578	1576	$1/10$
1579	1577	$\mathsf E_{\mathbb{Q}}[(X-a)^+] \le \rho((X-a)^+)$
1580	1578	$Q_i(a)$
1581	1579	$Q>0$
1582	1580	$r_h-\mu_L$
1583	1581	$\mathbf{Z_8}$
1584	1582	$\mathsf E_{\mathbb{Q}}[X_i \mid X=x] = \mathsf E[X_ig'(S_X(X)) \mid X=x]/\mathsf E[g'(S_X(X)) \mid X=x] = \mathsf E[X_i \mid X=x]$
1585	1583	$s_j$
1586	1584	$\beta g(S)$
1587	1585	$\ge 0$
1588	1586	$E[u_j(W_j - X_j)]$
1589	1587	$\phi((x-\mu)/\sigma)/\sigma$
1590	1588	$X_{2}$
1591	1589	$E[X \wedge x+a]-E[X \wedge a]$
1592	1590	$\mathsf E[Z \mid X]$
1593	1591	$\mathsf{TVaR}_p(X)=25$
1594	1592	$X-(1+r)T$
1595	1593	$\int_0^1 a'(tx)\,dt=\int_0^1 a(1)\,dt = a(1)=a'(x)$
1596	1594	$\mathsf E_{\mathsf Q}[X_i \mid X]$
1597	1595	$ (#1)+(#3) $
1598	1596	$g=F_G^{-1}(p_{\mathit{pr}})-1$
1599	1597	$X_{2}(a)$
1600	1598	$g(s)=s(1-s)$
1601	1599	$\mathsf{VaR}_{0.995}(U)-0.5=0.495$
1602	1600	$\kappa_2(10)$
1603	1601	$\lambda < 0$
1604	1602	$\mathit{ROE}(s) = fs/(1-f-s)$
1605	1603	$p_i$
1606	1604	$X_m$
1607	1605	$g(t) = r_0 + (1-r_0)t$
1608	1606	$Y_{1,1}$
1609	1607	$s > s^*$
1610	1608	$\theta$
1611	1609	$g(s)=s^{1/2}$
1612	1610	$X\wedge a=a$
1613	1611	$\mathsf E[X_1Z]$
1614	1612	$\Pr(X\in A)=0$
1615	1613	$P=l + \iota Q$
1616	1614	$X-Y$
1617	1615	$\mathbf{X\,\Delta S}$
1618	1616	$\log(\mathit{ROL}) = a + b \log(\mathit{EL}) + b X$
1619	1617	$q_{X_1+X_2}(p) \le q_{X_1}(p) + q_{X_2}(p)$
1620	1618	$k\ge 0$
1621	1619	$\Phi'(z)=\phi(z)$
1622	1620	$c^{-1}\log\mathsf E[e^{cX}]$
1623	1621	$q^-(p)=\inf \{ x \mid F(x) \ge p \}$
1624	1622	$g'(s)=(1-p)^{-1}1_{[0,1-p]}$
1625	1623	$X(\mathbf{v})=\sum_i v_iX_i$
1626	1624	$s_0$
1627	1625	$t=0,1$
1628	1626	$d^\ast = 2g^\ast-1$
1629	1627	$(s_1,g(s_1))$
1630	1628	$g(s)=s$
1631	1629	$0\times\infty=0$
1632	1630	$\bar Q_{0,t}:=a_{0,t}-\bar P_{0,t}$
1633	1631	$\mathbf{M_{1}}$
1634	1632	$q_X(p)$
1635	1633	$\rho_c$
1636	1634	$M(a)=g(S(a))-S(a)$
1637	1635	$\rho(X_n)=\rho(0)=0$
1638	1636	$c(S)=g(\Pr(S))$
1639	1637	$\displaystyle\int_0^a \kappa_i(x) f(x)\,dx + a\alpha_i(a)S(a)$
1640	1638	$\mathsf E_\mathsf{Q}[X\mid A]$
1641	1639	$\mathbf{Z_\mathit{lin}}$
1642	1640	$\bar\iota = 0.12$
1643	1641	$\mathsf P(X=\sup(X))=0$
1644	1642	$\alpha_2(98)=0.9$
1645	1643	$p\delta(p)/p\nu(p)=\iota(p)$
1646	1644	$g_\tau(1)=1$
1647	1645	$H(A, L, t)=LH(A/L, 1, t)$
1648	1646	$g_2F$
1649	1647	$X=X_0+X_1$
1650	1648	$697.6 billion in 2016, $
1651	1649	$\bar Q=53.031$
1652	1650	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[\tilde X-X] \le \rho(\tilde X-X)$
1653	1651	$c(S\cup\{i\})=c(S\cup\{j\})$
1654	1652	$\mu_L=0.03$
1655	1653	$Q_0=\rho(V_0)=\rho(X_1)$
1656	1654	$g'(s-)=g'(s+)$
1657	1655	$\mathsf E[Xw(X)]/\mathsf E[w(X)]$
1658	1656	$U = X + Y$
1659	1657	$B=B(p)$
1660	1658	$\mathbf{gS}$
1661	1659	$9+1=10+0$
1662	1660	$n=67$
1663	1661	$a(X(\mathbf{v}))$
1664	1662	$v(\Omega)=1$
1665	1663	$p_Y=1-p_R$
1666	1664	$p\,da$
1667	1665	$t\mapsto \rho(X+tY)$
1668	1666	$Y^S$
1669	1667	$g'(S(x)) = (1-p)^{-1}1_{x >\mathsf{VaR}_p(X)}$
1670	1668	$E_{\mathsf{Q_X}}[X_i(a)]$
1671	1669	$\rho(X)\le \rho(Y)$
1672	1670	$1-\tilde p=g(1-p)$
1673	1671	$\max_\mathsf{Q} \mathsf E_\mathsf{Q}[X] - \alpha(\mathsf Q)$
1674	1672	$R_f-R_L>0$
1675	1673	$\rho_c(X)$
1676	1674	$X^\star$
1677	1675	$X\wedge a'$
1678	1676	$a(W)=\mathsf E[W] + 4\sigma(W)$
1679	1677	$0.675=(6.258/7.613)^2$
1680	1678	$q<1$
1681	1679	$\alpha_1(90) = (0.0909 \times 0.0625 + 0.1 \times 0.0625)/(0.0625+0.0625)=0.0955$
1682	1680	$\mathsf E(X)=$
1683	1681	$g(Q)$
1684	1682	$\mathsf E[B]=p$
1685	1683	$\Pr(X< x)\le 0.75 \le \Pr(X\le x)$
1686	1684	$X_2=0,0,0,0,1,1,1,4,24, 500$
1687	1685	$\bar P_i$
1688	1686	$\Pr(U\le \omega)=\omega$
1689	1687	$a(X)=3.769$
1690	1688	$\tilde X_2 = X_2 - \mathsf E[X_2]$
1691	1689	$\rho(P,R,a)=\sqrt{(0.4P)^2+(0.25R)^2+(0.1a)^2}$
1692	1690	$\exp(x)$
1693	1691	$X_j$
1694	1692	$\mathsf E[X \mid X \ge q^+(p)]$
1695	1693	$(anch.west |- lee.north)+(-0.125,0.25)$
1696	1694	$g(s)=20s\wedge 1$
1697	1695	$f(x_p)$
1698	1696	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[\cdot]$
1699	1697	$\Pr(X>0)$
1700	1698	$\{X=q_X(p) \}$
1701	1699	$EL(a)$
1702	1700	$30-11=19$
1703	1701	$x\in\mathbb{R}$
1704	1702	$p_R<0.5$
1705	1703	$\mathsf E[\Pi]$
1706	1704	$r=16$
1707	1705	$g(S(a))\ge S(a)$
1708	1706	$\beta_{1}$
1709	1707	$\beta_i(a)$
1710	1708	$N=71$
1711	1709	$\rho(X_1+X_2)\le \rho(X_1)+\rho(X_2)\le 0$
1712	1710	$a_{gc}$
1713	1711	$1 between any of the layers, then $
1714	1712	$\mathcal{M}$
1715	1713	$\sum_i \rho(X_i, p^*)=a$
1716	1714	$\int_0^\infty g(S(x))dx$
1717	1715	$t=1-p$
1718	1716	$\rho'(x)=U'(-x)$
1719	1717	$\mathbf{D^f\rho_{X\wedge 30,X}(X_1)}$
1720	1718	$x=\mathsf{VaR}_{0.99}(X)$
1721	1719	$\alpha_i(x)-\kappa_i(x)/x=0$
1722	1720	$x\mapsto |x|$
1723	1721	$n\ge 2$
1724	1722	$D$
1725	1723	$\sigma(X)>\sigma(Y)=0$
1726	1724	$D\rho_X(X_2)$
1727	1725	$L_d^l(x)$
1728	1726	$\beta_1g(S)dX$
1729	1727	$\mathsf E[X_i]=14$
1730	1728	$p_j=\Delta S_j$
1731	1729	$x<y$
1732	1730	$\mathsf x\mathsf{TVaR}_p(X):= \mathsf{TVaR}_p(X)-\mathsf E[X]$
1733	1731	$Z(\omega)>1$
1734	1732	$E[s|t]$
1735	1733	$\mathsf E[X_0]=80$
1736	1734	$C(a)=\int_a^\infty S(x)\,dx + \tau a$
1737	1735	$\mathsf E[e^{hX}] = \exp(h\mu+\sigma^2h^2/2)$
1738	1736	$\beta=d^\ast-d$
1739	1737	$-0.00002$
1740	1738	$y=0$
1741	1739	$L_X$
1742	1740	$\lambda=0.5$
1743	1741	$g(s)=(1-p)^{-1}s\wedge 1$
1744	1742	$\rho(X) = \mathsf E[X] + \lambda \mathsf E[(X-\mathsf E[X])^+]$
1745	1743	$\sum M_i\Delta X$
1746	1744	$1\le x \le 2$
1747	1745	$f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$
1748	1746	$\mathsf E[Z_A]=1$
1749	1747	$\Pr(A)\in [0,1]$
1750	1748	$1,\dots,m$
1751	1749	$X\in L_p$
1752	1750	$x=1.5$
1753	1751	$u^{iv} \le 0$
1754	1752	$\mathbf{d}$
1755	1753	$1_{X > x}$
1756	1754	$S_{X_i}$
1757	1755	$xS(x)\to 0$
1758	1756	$(a-X)^+=a-(X\wedge a)$
1759	1757	$j=0,1,\dots, n'$
1760	1758	$\mathsf{P}(\omega)$
1761	1759	$\beta_i(a)g(S(a))=\mathsf E_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) \mid X>a]g(S(a))=\mathsf E_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) 1_{X>a}]$
1762	1760	$\bar Q=a-\bar P$
1763	1761	$SdX$
1764	1762	$\sqrt{p}$
1765	1763	$L^p$
1766	1764	$\mu<0$
1767	1765	$X_{i,i}(a)=X_{i,j}\dfrac{X_j\wedge a}{X_j}$
1768	1766	$\mathscr{M}$
1769	1767	$ so $
1770	1768	$1/4$
1771	1769	$\lambda\ge 0$
1772	1770	$d\bar S(a)/da=S(a)$
1773	1771	$(\alpha S)'(x)=-\kappa_i(x)f(x)/x$
1774	1772	$\sup f=1$
1775	1773	$X_{t-2,3}$
1776	1774	$\beta_i(x)/\alpha_i(x)<S(x)/g(S(x))$
1777	1775	$S(M-) > 0$
1778	1776	$\bar\nu a$
1779	1777	$\mathbf{\mathsf E[X_i\wedge a_i]}$
1780	1778	$a(1-f)$
1781	1779	$X\succeq Y$
1782	1780	$p_R$
1783	1781	$s_1 < s_2$
1784	1782	$1$
1785	1783	$\mathbb{Q}$
1786	1784	$a\le \dfrac{P-S}{\iota} + P\approx \dfrac{P-\mathsf E[X]}{\iota} + P$
1787	1785	$a_x=1/\lambda$
1788	1786	$\mathbf{\mathsf{VaR}_p(X_1)}$
1789	1787	$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
1790	1788	$I=[0,1]$
1791	1789	$\rho(X)\le 0$
1792	1790	$B(0.5)$
1793	1791	$\mathsf E_G(X)$
1794	1792	$i=1,2,\dots$
1795	1793	$r_D=1-D/L$
1796	1794	$\min(X,a)$
1797	1795	$\Delta S$
1798	1796	$ is the total return on invested assets and $
1799	1797	$X(\psi)=X(\omega)$
1800	1798	$X_j\ge 0$
1801	1799	$\mathcal{S}$
1802	1800	$i=1,\dots, n$
1803	1801	$\rho_{a,\tau}(X)=v\rho(X\wedge a) + da$
1804	1802	$(brR15 |- lee.south)+(-0.125,-0.25)$
1805	1803	$n\ge N$
1806	1804	$x_1 \wedge x_2$
1807	1805	$X_s = X_{s_1} + X_{s_2}$
1808	1806	$<p$
1809	1807	$a<b_h$
1810	1808	$\mathsf{TVaR}_p(X) := X_{N-1}$
1811	1809	$c_i=c_j$
1812	1810	$\mathscr{Q}$
1813	1811	$\sigma^2$
1814	1812	$\Delta_t:=a_{0,t}'-a_{0,t}$
1815	1813	$\mathsf E[X_1h(X)]$
1816	1814	$\Delta X'$
1817	1815	$X_{t-2,2}$
1818	1816	$\rho((X-a)^+)=0.273$
1819	1817	$\alpha-A(n)$
1820	1818	$\mathsf E[YZ\mid X]=Z\mathsf E[Y\mid X]$
1821	1819	$\epsilon\to 0$
1822	1820	$Z(\omega)$
1823	1821	$p^-=\mathsf P(X < q_X(p))$
1824	1822	$X(\omega)$
1825	1823	$p < 1/2$
1826	1824	$\rho(X) = \max\,\{ \mathsf E[f X] \mid f=dQ/dP, Q\in\mathcal{Q} \} = \int q_f(s)q_X(s)ds$
1827	1825	$\phi=v(u^{-1})$
1828	1826	$\Delta X_j$
1829	1827	$\tilde Z=\mathsf E[Z\mid X]$
1830	1828	$\rho(X+tY)$
1831	1829	$p\not=0.5$
1832	1830	$\mathscr{O}(f)=\{f \circ T \mid T\in \text{MPT}\}$
1833	1831	$g(s)=m(s)+s$
1834	1832	$\sigma(X)$
1835	1833	$\alpha$
1836	1834	$1/S(x)$
1837	1835	$\mathit{NPV}_1 = 0$
1838	1836	$X_1+X_2\not\in\mathcal A$
1839	1837	$(1-s)\phi'(s)$
1840	1838	$d^\ast$
1841	1839	$h(X)=(X-\mathsf E X)$
1842	1840	$\mu+h\sigma, \sigma$
1843	1841	$q^+(p)=\sup\ \{ x\mid \Pr(X < x) \le p \}$
1844	1842	$pl_p$
1845	1843	$r=0$
1846	1844	$h = 1$
1847	1845	$1-\exp(-q(p)/\mu)=p$
1848	1846	$t=0.06405%. The prior has a material influence on the posterior mean. This makes the posterior mean a "conservative" estimate of $
1849	1847	$(2,3)$
1850	1848	$\mathsf E[\phi] = 1$
1851	1849	$j=1,\dots, d$
1852	1850	$\{X\le x\}$
1853	1851	$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)=8.5$
1854	1852	$\|Z\|_p = \mathsf E[| Z|^p]^{1/p}$
1855	1853	$L_c$
1856	1854	$f(x,t)$
1857	1855	$\rho(X)=\rho(Y)$
1858	1856	$(x_1,\dots,x_n)$
1859	1857	$46.156+5.5=51.656$
1860	1858	$h>0$
1861	1859	$x_0 \in \{ x \mid F(x) \ge p \}$
1862	1860	$\bar P(\mathbf{v}, a)$
1863	1861	$x_2(S(x_1)-S(x_2))=x_2f(x_2)$
1864	1862	$r_h=0$
1865	1863	$S=[0,2\pi]$
1866	1864	$\mathcal E(X)=\mathsf E[(p X^+ + (1-p)X^-)/(1-p)]$
1867	1865	$gn$
1868	1866	$\mathbf{\Delta gS}$
1869	1867	$p=F(x)$
1870	1868	$\bar S_i(a) := \mathsf E[X_i(a)]$
1871	1869	$1/g'(s)$
1872	1870	$z(x)$
1873	1871	$-\sigma^2u''(w)\approx -cu'(w)$
1874	1872	$S(a+x)=d/dx(\mathsf E[X \wedge (a+x)-X \wedge a)$
1875	1873	$r=0.1$
1876	1874	$\beta_1$
1877	1875	$i=1,\dots, M$
1878	1876	$S^{-1}(g_i)$
1879	1877	$X_t:=\mathsf E[X\mid \mathcal F_t]$
1880	1878	$\mathsf E_\mathsf{Q}[X\wedge a]$
1881	1879	$d =\iota/(1+\iota)$
1882	1880	$Z=g'(S_X(X))$
1883	1881	$i\not\in S$
1884	1882	$\mathsf E[v^T] \ge v^{\mathsf E[T]}$
1885	1883	$s+\delta p$
1886	1884	$X_1=1+cos(X_3), X_2=1-cos(X_3)$
1887	1885	$(1+r)\lambda \mathsf E[X]$
1888	1886	$(1-p)^{-1}1_A$
1889	1887	$\rho=P/L-1=M/L$
1890	1888	$F(X)$
1891	1889	$\lambda=$
1892	1890	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X]$
1893	1891	$\rho_g(X)=352$
1894	1892	$\rho(X)=\mathsf E_\mathsf{Q}[X]$
1895	1893	$x=0.5$
1896	1894	$A = -\log(p) = 5.298$
1897	1895	$\rho(X_{-1}\wedge a)$
1898	1896	$g'(S)dF(x)$
1899	1897	$-norm by integrating against a function with $
1900	1898	$(X-d)^+$
1901	1899	$x=1000,2000,\ldots$
1902	1900	$\int_0^\infty S(x)dx$
1903	1901	$a=100$
1904	1902	$L(X)=k(X-\mathsf E X)$
1905	1903	$\mathsf E[X_i] + \pi(X)\mathsf{cov}(X_i, X)/\mathsf{SD}(X)$
1906	1904	$+ \mathit{PV}_{r_f}(\text{Inv Inc tax})$
1907	1905	$S(x_1)(x_2-x_1)$
1908	1906	$m=q(p)$
1909	1907	$wx + (1-w)y\in C$
1910	1908	$m_X$
1911	1909	$A(\text{Bernoulli})$
1912	1910	$\mathcal{G}\subset\FF$
1913	1911	$X,Y$
1914	1912	$\mathsf E_{QQ'}[X_i(a)] \ne \mathsf E_{QQ}[X_i(a)]$
1915	1913	$\tilde Q$
1916	1914	$Y_{0,2}$
1917	1915	$E[T]=s$
1918	1916	$\max(X)<\infty$
1919	1917	$\rho(Z_2)$
1920	1918	$\alpha_2SdX$
1921	1919	$\mathsf E[\cdot\mid X]$
1922	1920	$c\ge 1/2$
1923	1921	$g(s)=\dfrac{s+\iota}{1+\iota}$
1924	1922	$X_i(\mathbf{v}, a)$
1925	1923	$X \prec_n^* Y$
1926	1924	$X\wedge a'=\min(X, a')$
1927	1925	$d=2$
1928	1926	$\mathcal D(X)=\rho(X)-\mathsf E[X]$
1929	1927	$s^\alpha$
1930	1928	$k(h):=\log\mathsf E[e^{hX}]$
1931	1929	$X(x)=\sum_i x_iX_i$
1932	1930	$\mathsf Q(\omega)=Z(\omega)\Pr(\omega)$
1933	1931	$1/6\le x < 2/6$
1934	1932	$p\ge r\ge 1$
1935	1933	$\rho(X_0)=\mathsf E[X_0Z]$
1936	1934	$\mathbf{B}(0)=\mathbf{P_0}$
1937	1935	$Q=(a-EL)/(1+\iota)$
1938	1936	$\mathsf E[Z]=\mathsf E[\mathsf E[Z\mid X]] = 0$
1939	1937	$\rho(P,R,a)$
1940	1938	$t\mapsto v^t$
1941	1939	$\{ X=x\}$
1942	1940	$\omega \in \Omega$
1943	1941	$j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)$
1944	1942	$0.375/1.5 = 0.25$
1945	1943	$a(v_1(1+\epsilon),v_2)=a(v_1,v_2)+da$
1946	1944	$M_i$
1947	1945	$\alpha_i$
1948	1946	$p=1-\exp(-t)$
1949	1947	$\mathbf{\mu}$
1950	1948	$\rho(X - b)=\rho(X)-b\le 0$
1951	1949	$\rho(X) + c = \rho(X+c)\ge \rho(X) + \mathsf E[cZ]$
1952	1950	$\boldsymbol{j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)}$
1953	1951	$x\ge 0$
1954	1952	$\rho(\lambda X) \le\lambda\rho(X)$
1955	1953	$(1,1,\dots,1,1)$
1956	1954	$\rho(X_j)=\max_k \mathsf E_\mathsf{Q_k}[X_j]$
1957	1955	$1-p, p$
1958	1956	$S(x)=(k/(k+x))^\beta$
1959	1957	$p = 0$
1960	1958	$\mathsf E[u(R - X)]=0$
1961	1959	$\var(Y_{d})=\sum_{s>d} \sigma_s^2$
1962	1960	$x_1$
1963	1961	$x=X(1-g^{-1}(1-\tilde p))$
1964	1962	$s < 1$
1965	1963	$\cdot$
1966	1964	$a'=a(1+r)$
1967	1965	$\phi(\cdot)$
1968	1966	$i \in \{1,\dots,4\}$
1969	1967	$\gamma=r_f$
1970	1968	$\Delta A$
1971	1969	$P(X_{-1}(a))$
1972	1970	$0\le\lambda\le 1$
1973	1971	$\max$
1974	1972	$\Omega_0$
1975	1973	$\mathsf E[X^k]$
1976	1974	$0\le v\le 1$
1977	1975	$Y(\omega)=1$
1978	1976	$Q=A-P$
1979	1977	$0.75$
1980	1978	$a+y$
1981	1979	$\mathsf{Pr}$
1982	1980	$0.25$
1983	1981	$s=\mathit{EL}$
1984	1982	$(1-g(S(x)),x)$
1985	1983	$\nu+10\delta$
1986	1984	$1=ps_g + (1-p)s_b$
1987	1985	$U(1)=2$
1988	1986	$\bar S_i(a)=\mathsf E[X_i(a)]$
1989	1987	$\Phi(-d^*)>0$
1990	1988	$\Pr(X\ge q(p))>1-p$
1991	1989	$x\to\infty$
1992	1990	$g(pq)=g(p)g(q)$
1993	1991	$P = \mathsf E[X] + \pi \mathsf E[|X-\mathsf E[X]|^p]^{1/p}$
1994	1992	$\frac{d}{dp}(1-p)^{-1}=(1-p)^{-2}=q^{-2}$
1995	1993	$\mathsf E X + c{(X-\tau)^+}_p$
1996	1994	$\rho(X)<\infty$
1997	1995	$\mu_L=r_L + \pi$
1998	1996	$k=(0.04, 0.4)$
1999	1997	$\Delta S=p$
2000	1998	$A,B$
2001	1999	$N(1-p)$
2002	2000	$(\omega'=1, \omega'')\in B_k$
2003	2001	$P = \mathsf E[X] + \pi \mathsf E[((X-\mathsf E[X])^+)^p]^{1/p}$
2004	2002	$\mathbf{t}$
2005	2003	$p_0,\dots, p_m$
2006	2004	$\tilde Z$
2007	2005	$\tilde X+X$
2008	2006	$dF(x) = dp$
2009	2007	$x_0 < \mathsf{TVaR}_{p_0}$
2010	2008	$\lambda\sigma$
2011	2009	$\mathsf E[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)] = 0$
2012	2010	$Z_j$
2013	2011	$m'(1) \to -1$
2014	2012	$\mathsf E[X\mid \mathcal F_{t+1}]$
2015	2013	$g(S_j)$
2016	2014	$g(s(t)) = m(t)+s(t)$
2017	2015	$A\subseteq \mathbb{R}^N$
2018	2016	$f(x)\ge f(x_0) + s(x-x_0)$
2019	2017	$p=0.9982$
2020	2018	$a=10$
2021	2019	$\mu + \lambda\sigma$
2022	2020	$\beta<\alpha$
2023	2021	$Z\ge 0$
2024	2022	$\bar\nu(x)$
2025	2023	$\mathsf E_\mathsf{Q}[X]\le \mathsf E_\mathsf{Q}[Y]$
2026	2024	$\mathbf{Z_3}$
2027	2025	$6.258$
2028	2026	$\rho(X)=-\rho(-X)$
2029	2027	$-\sigma^2/2$
2030	2028	$k>0$
2031	2029	$r = 0.12$
2032	2030	$(3,4)$
2033	2031	$dG/dF=r(x)$
2034	2032	$F_0=2.5$
2035	2033	$F_g(b)-F_g(a)=g(S(a)) - g(S(b))$
2036	2034	$P_g$
2037	2035	$\kappa_i(x)=\mathsf E[X_i\mid X=x]$
2038	2036	$\bar S$
2039	2037	$p=F(a)=1-s$
2040	2038	$Z(\omega)<1$
2041	2039	$\alpha\equiv 0$
2042	2040	$Var(G)=c^2$
2043	2041	$a = a(X)$
2044	2042	$x\in\Omega=[0,1]^N$
2045	2043	$1_{U_X\ge p}=1$
2046	2044	$r_h<0$
2047	2045	$g(S(x_i)-g(S(x_i-))$
2048	2046	$F(a)$
2049	2047	$L_d^{d+l}(x)=(x-d)^+ \wedge l$
2050	2048	$X_3$
2051	2049	$\bar P(a+y) - \bar P(a)$
2052	2050	$\bar P$
2053	2051	$x_{i+1}$
2054	2052	$-X_2$
2055	2053	$M_2\Delta X$
2056	2054	$(1+r)\mu$
2057	2055	$\bar P^a$
2058	2056	$\ge p$
2059	2057	$\mathsf E X + c\mathsf E[\vert X-\tau \vert^p]^{1/p}$
2060	2058	$\\mathbf{\1}$
2061	2059	$\displaystyle\int_0^\infty u(x) g'(S_X(x)) dF_X(x)$
2062	2060	$\omega\in [k2^{-m}, (k+1)2^{-m}]$
2063	2061	$p=2$
2064	2062	$X=98$
2065	2063	$0\le U, V\le 1$
2066	2064	$Y'$
2067	2065	$\displaystyle\int_0^\infty xf(x)dx$
2068	2066	$(1-g(s))/(1-s)$
2069	2067	$\mathsf E[X_i]/x$
2070	2068	$0<p\le 1$
2071	2069	$g(s)=1\wedge s/(1-p)$
2072	2070	$\bar q(s)=(k/q)^{1/\alpha}$
2073	2071	$Y_n\to Y$
2074	2072	$\rho(nX)= \rho(X+\cdots + X)=\rho(X)+\cdots +\rho(X)=n\rho(X)$
2075	2073	$I^\star$
2076	2074	$a/X$
2077	2075	$q_1(t)=t$
2078	2076	$\mathbf{B}'(1) = -3\mathbf{P_2}+3\mathbf{P_3}$
2079	2077	$k\ge 1$
2080	2078	$\Pr(A)>0$
2081	2079	$X_{1}(a)$
2082	2080	$\psi(u)=\Pr(Y > u)$
2083	2081	$\mathsf E[\cdot]$
2084	2082	$\Delta(X\wedge a)$
2085	2083	$P = S + M$
2086	2084	$(0.304-0.2)/(1-0.304) = 15$
2087	2085	$\mathsf E_{\mathbb{Q}}[X\wedge a] \le \rho(X\wedge a)$
2088	2086	$\omega_2$
2089	2087	$P/S-1$
2090	2088	$g(s)/s$
2091	2089	$\mathbf{S\Delta X}$
2092	2090	$h(x)=\sup_{s\in[0,1]} g(s)-sx$
2093	2091	$C(t)$
2094	2092	$t=4$
2095	2093	$i^*$
2096	2094	$\rho(X)=\mathsf E[X] + c\sigma(X)$
2097	2095	$g(1)=1$
2098	2096	$C'_1+\cdots + C'_n$
2099	2097	$\mathsf E[X]=\sum_{\omega\in\Omega} X(\omega)\Pr(\omega)$
2100	2098	$E_i\cap E_j = \varnothing$
2101	2099	$s_1$
2102	2100	$BY \succ AR$
2103	2101	$0.8 \times 1.2 = 24/25$
2104	2102	$(g(s)-s)/(1-g(s))$
2105	2103	$a = 8.1484$
2106	2104	$Y\circ T_i$
2107	2105	$p=0.9999$
2108	2106	$Z_X$
2109	2107	$\beta_i(x) =\mathsf E_{\mathsf Q}[X_i/X\mid X>x]$
2110	2108	$X_{0,1},X_{0,2},\dots, X_{0,N}$
2111	2109	$Z=0$
2112	2110	$\rho_g(X)=\mathsf E_{\mathbb{Q}}[X]$
2113	2111	$-k$
2114	2112	$\mathsf E_\mathsf{Q}[X]=\mathsf E[XZ]$
2115	2113	$v(A)=g(\mathsf{P}(A))$
2116	2114	$\bar P_i(\mathbf{v}, a)$
2117	2115	$B_p$
2118	2116	$a_i=x_i(\partial a/\partial x_i)$
2119	2117	$N$
2120	2118	$\sup$
2121	2119	$\rho(\tilde X)=\mathsf E_{\mathsf{Q}}[\tilde X]$
2122	2120	$q_X(p)\le q_Y(p)$
2123	2121	$S(x)=s$
2124	2122	$X\preceq_n Y$
2125	2123	$y,z\in X$
2126	2124	$\Omega_0 \times \Omega_1$
2127	2125	$df/dx=f$
2128	2126	$\mathsf{TVaR}_p(X)$
2129	2127	$X=8$
2130	2128	$Q\in\mathcal{Q}$
2131	2129	$0.125$
2132	2130	$P(X_{-1}\wedge a)$
2133	2131	$s < p$
2134	2132	$n=1,2,\dots, m-1$
2135	2133	$S(x)\approx 1$
2136	2134	$X_2=(0,1,2,3,4,8,6,4,0,9)$
2137	2135	$1.5$
2138	2136	$q_X(p) = X(T(p))$
2139	2137	$1-m\le 1$
2140	2138	$\mathsf E_\mathsf{Q}[X_1]$
2141	2139	$k=1,\dots, n-1$
2142	2140	$X_{-1}+X_{0}$
2143	2141	$p<0.05$
2144	2142	$\delta$
2145	2143	$\gamma([0,p])=C(p)$
2146	2144	$10$
2147	2145	$T(U)$
2148	2146	$\rho_a(X+c) = \rho((X+c)\wedge a(X+c)) = \rho((X+c)\wedge (a(X)+c)) = \rho((X\wedge a(X))+c) = \rho((X\wedge a(X))) + c=\rho_a(X)+c$
2149	2147	$\bar M_t$
2150	2148	$x~\text{Unif}[0,1]$
2151	2149	$g'(S(X))$
2152	2150	$\tilde Z=\mathsf P(X=\sup(X))^{-1}1_{X=\sup(X)}$
2153	2151	$\bar P(a+da) -\bar P(a)$
2154	2152	$X(x)=1/x$
2155	2153	$x=\mathsf{VaR}$
2156	2154	$\beta_2g(S)dX$
2157	2155	$\sigma(X_d)$
2158	2156	$\mathsf Q(X>a)/\mathsf P(X>a)$
2159	2157	$\mu(dp)$
2160	2158	$c=(g-s)/(g(1-g))$
2161	2159	$\mathsf E[Y_d]$
2162	2160	$X\wedge a=a=90$
2163	2161	$\sigma(W)$
2164	2162	$1\le p\le \infty$
2165	2163	$X=4$
2166	2164	$\sigma(L^\infty, L^1)$
2167	2165	$p_0\not= p_1$
2168	2166	$\mathsf E[X]+k\mathsf{Var}(X)=a(X)$
2169	2167	$a_{0,0}'=a_{0,0}$
2170	2168	$\{\omega\mid X(\omega) > x\}$
2171	2169	$P_i$
2172	2170	$\lambda_2\not=1$
2173	2171	$p>0.9$
2174	2172	$E(X^k)=E(Y^k)$
2175	2173	$=v_f \mathsf E_\mathsf{Q}\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge a)\right]$
2176	2174	$\bar P_t$
2177	2175	$\Omega=\{ 1,2,3,4,5,6 \}$
2178	2176	$p<0.7$
2179	2177	$a=10,20,40,50,60$
2180	2178	$-\infty+\lambda=-\infty$
2181	2179	$x=y$
2182	2180	$d=0.1/1.1$
2183	2181	$\beta_2>\alpha_2$
2184	2182	$\rho(X)=\mathsf E_{\mathsf Q}[X]$
2185	2183	$\Pr(E')+\Pr(E)=\Pr(\Omega)=1$
2186	2184	$v_f(\mathsf E_Q[X_i] - \mathsf E_Q[X_i/X(X-A)^+])$
2187	2185	$=\displaystyle\int_0^\infty x dF(x)$
2188	2186	$\mathcal Q=\{\mathsf Q_k\}$
2189	2187	$a(f + (1-f)/q)$
2190	2188	$\mathsf E_\mathsf{Q}[\cdot]$
2191	2189	$\lfloor x \rfloor$
2192	2190	$A\in\mathcal F$
2193	2191	$\mathsf E X + c\mathsf E[((X-\mathsf E X)^+)^p]^{1/p}$
2194	2192	$v(A)=\lambda(\pi_1(A))$
2195	2193	$\mathbf{M_{2}}$
2196	2194	$n\to\infty$
2197	2195	$\beta_i(x) =\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X_i/X\mid X>x]=\mathsf E[(X_i/X)g'S(X))\mid X>x]$
2198	2196	$\Longleftarrow$
2199	2197	$\eta_{p,\alpha}$
2200	2198	$\Omega$
2201	2199	$\mathsf{QCX}$
2202	2200	$\omega=\omega'$
2203	2201	$g(S_{\mathsf{j}(a)})(a-X_{\mathsf{j}(a)})=(0.5)(80-11)=34.5$
2204	2202	$z_p=\Phi^{-1}(p)$
2205	2203	$g_1(s)=s^{0.4}$
2206	2204	$1-e^{-\lambda S(\mathsf{PML}_{n, \lambda})}=1/n$
2207	2205	$\mathbf{X_2/X}$
2208	2206	$\mathbf{\alpha_1S\Delta X}$
2209	2207	$q^-(U)$
2210	2208	$\mathbf{g_3(s)=s^{0.7}}$
2211	2209	$s=\exp(-a/b)$
2212	2210	$F(x)\ge p\iff q^-(p)\le x$
2213	2211	$\mathsf E_\mathsf{Q}[X]$
2214	2212	$(P-L)/L=P/L-1$
2215	2213	$[p,1]$
2216	2214	$F_2$
2217	2215	$\{H,T\}$
2218	2216	$\mathbf{g(S)}$
2219	2217	$a(1-p) + \mu p - \sigma\phi(z_p)$
2220	2218	$(p, \mathsf E[X_i\mid X=q(1-g^{-1}(1-p))])$
2221	2219	$\rho(b-X)=b+\rho(-X)$
2222	2220	$s<1$
2223	2221	$g''(s)=-s^{3/2}/4$
2224	2222	$D^n\rho_X(X_1)=6.2048$
2225	2223	$\Delta X\wedge a$
2226	2224	$v=1/(1+r)$
2227	2225	$v_f\mathsf E_Q[X_i]$
2228	2226	$(1-p)^{-1/2}/4$
2229	2227	$T(X):=y\wedge (X-r)^+$
2230	2228	$x=S^{-1}(g^{-1}(u))$
2231	2229	$A(X+c)=A(X)+c$
2232	2230	$\mathit{EGL}_{gc}(a)$
2233	2231	$c\in[0,1/2]$
2234	2232	$\sigma=2.58$
2235	2233	$a_x=4$
2236	2234	$dp=\exp(-t)dt$
2237	2235	$\beta_i(a) = \dfrac{\sum_{j:X_j>a} (X_{i,j}/X_j) \Delta g(S_j)}{\sum_{j:X_j>a} \Delta g(S_j)}$
2238	2236	$X = X\wedge a + (X - a)^+$
2239	2237	$(1-p)/(p\nu_p^2)$
2240	2238	$u$
2241	2239	$\omega$
2242	2240	$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X+tX_1)$
2243	2241	$\Pr(X > x)$
2244	2242	$\rho_g(X)= \sum_j X_j\,\Delta g(S_j)$
2245	2243	$X_1,\dots,X_n$
2246	2244	$D\rho_{X}(Y) \subset D\rho_{X\wedge a}(Y)$
2247	2245	$\lambda=\dfrac{1}{1+\rho}$
2248	2246	$q^-(s)=\mathsf{VaR}_s(X)$
2249	2247	$=v_f \mathsf E_Q\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge A)\right]$
2250	2248	$v_i$
2251	2249	$p=0.01, 0.02, \dots, 0.99$
2252	2250	$\mathsf{VaR}\_p(X)$
2253	2251	$a_0$
2254	2252	$0\le b\le 1$
2255	2253	$A=(a,b]$
2256	2254	$\rho(X)=\max_\mathsf{Q} \mathsf E_\mathsf{Q}[X]$
2257	2255	$a(\mathbf{v}) =\mathsf{TVaR}_p(X(\mathbf{v}))= (1-p)^{-1}\int_p^1 q_{\mathbf{v}}(s)ds$
2258	2256	$-g$
2259	2257	$q^-(p) := \sup\ \{x \mid F(x) < p \} = \inf\ \{ x \mid F(x) \ge p \}$
2260	2258	$p(\omega)\ge 0$
2261	2259	$D/L>1$
2262	2260	$\rho(X)=\mathsf E[f_X X]$
2263	2261	$-m_2/(1-s_2)$
2264	2262	$g(1-F(x))=1-p$
2265	2263	$h(1_{X\le a})$
2266	2264	$E(\pi)$
2267	2265	$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)$
2268	2266	$b-X\ge 0$
2269	2267	$Z = \sum_j X_j$
2270	2268	$X+Z$
2271	2269	$\mathsf{VaR}_{0.75}(X)=90$
2272	2270	$QR_Q = aR_A + PR_L$
2273	2271	$x=\lambda y + (1-\lambda)z$
2274	2272	$dS=-dF$
2275	2273	$\mathsf E[X_i \mid X=q(p)]$
2276	2274	$s \to 1$
2277	2275	$\mathsf E[X]\le \mathsf E[Y]$
2278	2276	$\tilde M(a)=\bar M(a)-\tau a$
2279	2277	$P = \log(\mathsf E[e^{\pi X}])/\pi$
2280	2278	$(-\mathsf x*.8, 2*2)$
2281	2279	$(ccc.south |- mcc.south)+(0,-0.5)$
2282	2280	$[0,1]\to[0,1]$
2283	2281	$p=\infty$
2284	2282	$\bar P(a) = \rho_g(X\wedge a)$
2285	2283	$0<p<1$
2286	2284	$\rho_1(X)>\rho_2(X)$
2287	2285	$s(t)$
2288	2286	$\rho(W_1\wedge a_0)$
2289	2287	$0.8 \le p < 0.9$
2290	2288	$\epsilon_2$
2291	2289	$k=0$
2292	2290	$\Delta X_j=X_{j+1} - X_j$
2293	2291	$\iota:1$
2294	2292	$x_{2,1}$
2295	2293	$Y_{d}=\sum_{s>d} X_{s}$
2296	2294	$\phi(x_1,...,x_n)$
2297	2295	$Z\in\mathcal Q$
2298	2296	$\mathbf{Z_7}$
2299	2297	$\iota^\ast$
2300	2298	$X-P$
2301	2299	$g(s)q=0.1839$
2302	2300	$X_2=x-t$
2303	2301	$X_{t+2,1}$
2304	2302	$\mathsf{MON}$
2305	2303	$G(x)= 1-g(1-F(x))$
2306	2304	$g'(s)\to\infty$
2307	2305	$j \in \{5,\dots,8\}$
2308	2306	$e^{-r_Dt}$
2309	2307	$\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$
2310	2308	$\rho((X-a)^+)$
2311	2309	$Q_t$
2312	2310	$\Pr(B)=0$
2313	2311	$X_0 < \dots < X_{N-1}$
2314	2312	$\Pr(X=x_i)=\lambda_i/\lambda$
2315	2313	$B_4 = [\epsilon_1, \epsilon_2]$
2316	2314	$a(w_1X_1+w_2X_2;X)=w_1a(X_1;X)+w_2a(X_2;X)$
2317	2315	$(P-L) / (A-P)=$
2318	2316	$AR\succ BR$
2319	2317	$\mathsf E[X\wedge a]= 2.4982$
2320	2318	$a(x)=xa(1)$
2321	2319	$X(\mathbf{v})$
2322	2320	$x_{1,1}$
2323	2321	$d, r>0$
2324	2322	$\phi(s)= g'(1-s) = \frac{1-w}{1-p_0}1_{[p_0, 1)}(s) + \frac{w}{1-p_1}1_{[p_1, 1)}(s)$
2325	2323	$S\subset \Omega=\{1,\dots,N\}$
2326	2324	$\rho(\mathsf E[X_2\mid X_1])\le \rho(X_2)$
2327	2325	$x\le 0$
2328	2326	$\mathbf{d=1}$
2329	2327	$S_0=1$
2330	2328	$f(x)=|x|$
2331	2329	$S_t \ge 0$
2332	2330	$p=F(a)$
2333	2331	$\Psi^{-1}(t)=\log(-\log(t))$
2334	2332	$\mathsf E[X\mid X>2000]-2000=\mathsf{TVaR}_{F(2000)}(X)-2000=624$
2335	2333	$q(U_X) > m$
2336	2334	$Y_s=(Y\mid Y\le y_c)$
2337	2335	$\mathsf{P}(d\omega)$
2338	2336	$h(0)$
2339	2337	$\mathbf{Z_\mathit{lift}}$
2340	2338	$P_i/v_i$
2341	2339	$\lambda > 0$
2342	2340	$c(1,2) - c(2)$
2343	2341	$(0,1]$
2344	2342	$t<0$
2345	2343	$\mathsf{COMON}$
2346	2344	$\beta_i(x)/\alpha_i(x)> 1 > g(S(x)) / S(x)$
2347	2345	$\mathsf E[XM]$
2348	2346	$\int_0^\infty (1-F(x))dx=\int_0^\infty xdF(x)$
2349	2347	$(dW_t)^2=dt$
2350	2348	$\mathbf{a=0.93}$
2351	2349	$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)=3699$
2352	2350	$g(0^+) = r/(1+r)$
2353	2351	$x\mapsto 1/x$
2354	2352	$m\in\mathbb{R}$
2355	2353	$-S(a)+\tau=0$
2356	2354	$\mathsf{VaR}_{0.7}(X_i)=-\log(0.3)=1.204$
2357	2355	$\rho(c)\ge c$
2358	2356	$\beta_i(X)$
2359	2357	$0.8\le p<0.9$
2360	2358	$\mathsf P(X \le q_X(p)) > p$
2361	2359	$1/X$
2362	2360	$\displaystyle\int_0^1 X(p)dp$
2363	2361	$\kappa_1(x)=\mathsf E[N_1/(N_1+N_2)]x$
2364	2362	$\rho_c\leftrightarrow\mathcal Q$
2365	2363	$U(X)\ge U(Y)$
2366	2364	$ = \mathsf E_{\mathsf{Q}}[X_i\mid X= x]$
2367	2365	$\lambda X_1 +(1-\lambda) X_2$
2368	2366	$MV = \bar Q + \mathit{NPV}_{\infty}$
2369	2367	$g(s)=1-(1-s)^m$
2370	2368	$g(0.05)=0.05\nu + \delta=0.1364$
2371	2369	$\mathcal F_0=\{\varnothing, \Omega\}$
2372	2370	$p(x) = \Pr(\{\omega\mid X(\omega) = x\})=\Pr(X=x)$
2373	2371	$g(S(x)) = 1 - h(F(x))$
2374	2372	$g(s)\le s$
2375	2373	$L_1$
2376	2374	$X_1=1000$
2377	2375	$S$
2378	2376	$x < y$
2379	2377	$p>0.5$
2380	2378	$x=(y-\mu)/\sigma$
2381	2379	$a\to\infty$
2382	2380	$X+tX_1$
2383	2381	$M = \beta g(S)-\alpha S$
2384	2382	$0 < \nu = 1-\delta < 1$
2385	2383	$d=(\log(a/S_0)-(r-\sigma^2/2)t)/\sigma\sqrt{t}$
2386	2384	$X(\omega)=1/\omega$
2387	2385	$1/n$
2388	2386	$\mathsf E[X] + \pi\mathsf E[X]$
2389	2387	$H(X)>-H(-Y)$
2390	2388	$s/(1-p) \wedge 1$
2391	2389	$\mathsf E[X] + \pi\var(X)$
2392	2390	$\Phi$
2393	2391	$\lambda y=x$
2394	2392	$\mathsf{MON'}$
2395	2393	$g'(S_X(X))$
2396	2394	$b<1$
2397	2395	$w < s$
2398	2396	$m_2$
2399	2397	$\le c$
2400	2398	$n-1$
2401	2399	$qX$
2402	2400	$\bar P_2$
2403	2401	$(4,3)$
2404	2402	$(X_i)_i$
2405	2403	$20+10t$
2406	2404	$s=1-\alpha$
2407	2405	$Z=d\mathsf Q / d\mathsf P\ge 0$
2408	2406	$X_i(a) = aX_i/X$
2409	2407	$c(1,2,3)-c(2,3)$
2410	2408	$\sum_i q_iX_i$
2411	2409	$\mathbf{Q_{2}\Delta X}$
2412	2410	$H_k(X):=\mathsf E[\max(X_1\dots, X_k)]$
2413	2411	$\kappa_j(x)/x > \alpha_j(x)$
2414	2412	$a_i'$
2415	2413	$-\int xdS=\int Sdx$
2416	2414	$c\ge 1$
2417	2415	$\mathbf{B}(1)=\mathbf{P_3}$
2418	2416	$\bar Q_{0,0}:=a_{0,0}-\bar P_{0,0}$
2419	2417	$p_- < p_0 < p_+$
2420	2418	$g'(t)=1-r_0$
2421	2419	$q(p)=\mathsf{VaR}_p(X)$
2422	2420	$g(0+):=\lim_{s\downarrow 0}g(s)$
2423	2421	$z\ge 0$
2424	2422	$ \& $
2425	2423	$A\setminus B$
2426	2424	$(k_1!)(k_2!)\dots$
2427	2425	$Q(x)=1-P(x)$
2428	2426	$\sup(X)$
2429	2427	$1=\delta+\nu$
2430	2428	$=1/\lambda-1=(1-\lambda)/\lambda$
2431	2429	$U_X$
2432	2430	$\mathbf{X\,\Delta g(S)}$
2433	2431	$\mathit{EGL}_{ro}(a)$
2434	2432	$q_X$
2435	2433	$i=1,2,\dots,10000$
2436	2434	$Z=z(X)$
2437	2435	$\bar{\mathbf P}$
2438	2436	$\{X > x \}$
2439	2437	$X_{\mathsf j(a)+1}>a$
2440	2438	$g_j<1$
2441	2439	$\rho(X)=0$
2442	2440	$\sum_i x_iX_i$
2443	2441	$Xq$
2444	2442	$\phi(p)=g'(1-p)=b(1-p)^{b-1}$
2445	2443	$N=1000$
2446	2444	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[X]=\infty$
2447	2445	$A\subseteq \mathbb{R}^n$
2448	2446	$a=90$
2449	2447	$g:[0,1]\to [0,1]$
2450	2448	$q(p)$
2451	2449	$g(s)=\nu s+\delta$
2452	2450	$m=$
2453	2451	$\mathbb{Q}\in\mathcal Q$
2454	2452	$q(p)\phi(p)\,dp$
2455	2453	$x>\mathsf{VaR}_p(X)$
2456	2454	$\hat x > x$
2457	2455	$\text{VaR}_{0.99}$
2458	2456	$P_X\{X=M\}=0$
2459	2457	$X=X_0+X_{-1}+X_{-2}+X_{-3}$
2460	2458	$x>0$
2461	2459	$X_{i,j}$
2462	2460	$a_1=\int_0^1 (\partial a/\partial x_1)dt=\partial a/\partial x_1$
2463	2461	$\mathsf E[X(1_{U_X\ge p}-B)]=\mathsf E[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)]$
2464	2462	$1=\bar\nu+\bar\delta$
2465	2463	$(1-p)/p=1$
2466	2464	$\mathsf E[X_i(v_i)]=v_i\mathsf E[X(1)]$
2467	2465	$s=S(a)$
2468	2466	$\partial\rho(Z)$
2469	2467	$\mathbf X$
2470	2468	$\rho(W_1\wedge a_1 \wedge (a_0-X_1))=\rho(W_1\wedge a_1)$
2471	2469	$\sum_i \kappa_i(x)=x$
2472	2470	$(g(s_0)-g_0)/s_0 \ge g'(s_0)$
2473	2471	$g(s)=s^{0.4}$
2474	2472	$X_n(0)=1$
2475	2473	$X_{t,2}$
2476	2474	$W=Z$
2477	2475	$\phi(x):=(2\pi)^{-1/2}\exp(-x^2/2)$
2478	2476	$g(s)=\sqrt{s}$
2479	2477	$1-p=S(x)$
2480	2478	$\mathsf E_{\mathsf{Q}}[Y \mid X] = \mathsf E[Y \mid X]$
2481	2479	$p(\delta_p-il_p)$
2482	2480	$\alpha(X)$
2483	2481	$=1$
2484	2482	$g''$
2485	2483	$f=f_X$
2486	2484	$dW_t\approx W_{t+dt}-W_t$
2487	2485	$X(\omega_1) > Y(\omega_1)$
2488	2486	$H_g(X) \le H_g(Y)$
2489	2487	$M:=\max(X)$
2490	2488	$0,10,20$
2491	2489	$1/9=0.11\dot 1$
2492	2490	$a=80$
2493	2491	$n-2$
2494	2492	$((0, x), (1-p, p))$
2495	2493	$P=D=L/(1+R_L)$
2496	2494	$w(A)\le v(A)$
2497	2495	$\Pr(X\ge x)\ge 1-p\ge \Pr(X> x)$
2498	2496	$2^{20}\approx 1$
2499	2497	$^{**}$
2500	2498	$\mathbf{X_{g}}$

The file is too large to be shown. View Raw