greater_tables_project/greater_tables/data/book.csv

,expr
0,$\mathbf {s_3}$
1,$\bar M$
2,$(1+r)\lambda \mathsf{E}[X]$
3,$m(1)=m_3=0$
4,$X_2=2$
5,$a=1$
6,$e^{-kX}/\mathsf{E}[e^{-kX}]$
7,$U < s$
8,$n \le pN < (n+1)$
9,"$\mathsf{TI,\ MON}$"
10,$\log(g')$
11,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X\mid \mathcal F]=\mathsf{E}[XZ\mid \mathcal F]/\mathsf{E}[Z\mid \mathcal F]$
12,$(.*?)\$
13,$\rho(X)=\infty$
14,$F(x-) = \lim_{t\uparrow x} F(t)$
15,"$\mathsf{MON,\ TI,\ PH}$"
16,$Y\succeq Z$
17,$|S|$
18,$\mathsf{CONVEX}$
19,$s^{1/2}$
20,$1000e^{\mu}$
21,$p^* =0.7501$
22,$X=\sum_j X_j$
23,$\beta_{2}$
24,$\sigma=0.50$
25,$Z(s)=\Phi^{-1}(s)$
26,$\hat p=1-g^{-1}(1-p)$
27,$\kappa_i(X)=\mathsf{E}[X_i\mid X]$
28,$\mathsf{E}[X_i\mid X](\omega)$
29,$\sigma^2 t$
30,$\uparrow\uparrow$
31,$F(x)=1-e^{-x/\mu}$
32,$g(S(X))$
33,$0<\rho\le 1$
34,$P = \mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{E}[X]$
35,$\bar Q_{0}=a_{0}-\bar P_{0}$
36,$s\downarrow 0$
37,$X=\frac{1}{n}\sum_i X_i$
38,$>(s_0/2^{n+1})2^n\bar q(s_0)=s_0\bar q(s_0)/2$
39,$\rho(X)>\max(X) g(0+)=\infty$
40,$\mathsf{E}[Z]\le 1$
41,$\lambda\to\infty$
42,$\mathsf{j}(a)=6$
43,"$g(s)=w+(1-w)s, s>0$"
44,$\mathsf{TVaR}_{0.65}$
45,$c(S)=g(\mathsf{Pr}(S))$
46,$c(S\cup\{i\})=c(S)+c(i)$
47,$\mu(\{p_j\})$
48,$\mathsf{Pr}(E')+\mathsf{Pr}(E)=\mathsf{Pr}(\Omega)=1$
49,$q(Y)$
50,"$(\Omega, \mathcal F, \mathsf{Pr})$"
51,$Z_A$
52,$\mathcal D(X)\ge 0$
53,$p=\text{Pr}[L^* > A]$
54,"$\beta_H:=\mathsf{cov}(r_H, r_M)/\mathsf{var}(r_M)$"
55,$X_{t+dt}=X_t + \mu dt + \sigma dW_{dt}$
56,$\rho(X)\ge \mathsf{E}[X]$
57,$u(x)=-v(-x)$
58,$g(x)=1$
59,$F_{\mathbf{v}}(x)=s$
60,${n}-X_2$
61,$U_X > p$
62,$b_i$
63,$\rho(\nu Z) \le \nu\rho(Z)$
64,$\Phi(x):=\int_{-\infty}^x \phi(t)dt$
65,$\mathsf{E}[X]=27.5$
66,$U = A$
67,$X\le l$
68,$U_X < p$
69,$g'(1-p) \frac{q\wedge \alpha}{q}$
70,$rpq$
71,$c>0$
72,$Y=0$
73,$\mathbf \Omega$
74,$\rho(X)=\max_k \mathsf{E}_{\mathsf Q_k}[X]$
75,$1-p_0$
76,$L(X)=k(X-\mathsf{E} X)$
77,$P = \mathsf{E}[Xe^{\pi X}]/\mathsf{E}[e^{\pi X}]$
78,"$(p, 1-g^{-1}(1-p))=(p,\hat p)$"
79,$\mathit{MV}(a)$
80,$Z_4$
81,"$\kappa_i(\mathbf{v}, x)$"
82,"$x=A,L,S$"
83,$c(S)=\rho(\sum_{i\in S} X_i)$
84,$S_X(a)$
85,"$a,b=\pm 1/n$"
86,$\mathbf {X_{2}(a)}$
87,"$x_{1,i}, x_{2,i}$"
88,$1_{X>a}$
89,"$\int_0^\infty -z(x)\,dF(x)=-1$"
90,$k\mapsto k\rho(X)$
91,$\rho_g(X)=\mu+\lambda\sigma$
92,$\hat q$
93,$F_X^{-1}(V)=q_X(V)$
94,$0\le\beta<1$
95,$p>S(x^*)$
96,$a\le X\le b$
97,$P(x)=A(1_{X>x})=g(S(x))$
98,$g(S)\Delta X'$
99,$1<\lambda=k+f$
100,$\rho(X)=\mathsf{E}[X] + c\mathsf{Var}(X)$
101,$1./16=0.0625$
102,"$\alpha>1,0\le\beta\le 1$"
103,$\mathsf{Pr}(A)=1-p$
104,$g''(s)\le 0$
105,$S(x_{max})=0$
106,$\{X=x\}$
107,$\rho_g(X\wedge a)$
108,$Z=(1-p)^{-1}1_{\tilde X>q_{\tilde X}(p)}$
109,$Z_1$
110,"$X_{t-1,1}$"
111,$X_2(10)$
112,"$X_{t,3}$"
113,$X\le x$
114,$r = (g(s)-s)/(1-g(s))$
115,$1_A/\mathsf{Pr}(A)$
116,$\mathsf{TVaR}_1(X)$
117,$\rho(Y)=\rho(X)g(p)=g(q)g(p).$
118,$M(x)=g(S(x))-S(x)$
119,$Y_{1}$
120,$\mathsf{Pr}(X<x)$
121,$g(s)-s$
122,$-U$
123,$\mathsf{Pr}(A)>0$
124,$X_n(\omega)\to X(\omega)$
125,$^{***}$
126,$\bar S(a)$
127,$\mathsf{E}[X_i g'(S(X))]$
128,$\sum (X\wedge a)p$
129,"$\{1,2,\dots, N\}$"
130,$D\rho_{X_g}(X_c)$
131,$(g(s)-s)/(1-g(s))=\iota$
132,"$P_X(a,b] = F(b)-F(a)$"
133,$k > 0$
134,$X_n\downarrow X$
135,$x\to \infty$
136,$\Phi(Z(s))=s$
137,$q^-(p) = \inf\ \{ x\mid F(x) \ge p\}$
138,$Y(\omega_1)\le Y(\omega_2)$
139,$v(A)\le v(B)$
140,$\mathbf {1_{X>x}}$
141,$\alpha_i(a) S(a)$
142,$\mathsf{E}[X]=\mathsf{TVaR}_0(X)$
143,$\mathbf {Z_2}$
144,$\hat{\tilde p}=1-g^{-1}(1-[1-g(1-p)])=p$
145,$\pi(X)=\log(m_X(\alpha)) / \alpha$
146,$\log(\mathsf{E}[e^{\pi X}])/\pi$
147,$E[s|W=t]$
148,$S(x)\gg 0$
149,$1-\beta_i(x)g(S(x))$
150,$S_X(x)=\Phi(-(x-\mu)/\sigma)$
151,$\pi(X) = \rho(X\wedge \alpha(X))$
152,$a(\mathbf{v}) =\mathsf{VaR}_p(X(\mathbf{v}))= q_{\mathbf{v}}(p)$
153,$\mathsf Q \in \mathcal Q$
154,$a=D+S$
155,"$\bar P_{t,0}$"
156,"$0, 8, 10$"
157,$Q(x)/(1-S(x))$
158,$p=1/6$
159,"$\rho_2(X)=\mathsf{E}[X] + \mathsf{cov}(X,Z)$"
160,$\mathbf {g(S)}$
161,$\rho=\mathsf{TVaR}_{0.95}$
162,$f(S_t)=\log(S_t)$
163,$\int_0^\infty xdF(x) =\int_0^\infty xf(x)dx$
164,$u_j(x)$
165,$f_{xx}=-1/S_t^2$
166,$\mathbf {M_{2}\Delta X}$
167,$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_t]$
168,$X$
169,$t+2$
170,$n\ge m$
171,$\mathbf {Z_4}$
172,$|f|$
173,$b$
174,$g'(S(x))$
175,$\mathsf{var}(Y_{d})=\sum_{s>d} \sigma_s^2$
176,$r_l$
177,$\mathbf {Z_8}$
178,"$\rho(Y_{2,0})$"
179,$1+\iota^*=(1+\iota)(1+\tau)$
180,$r_f/(1+r_f)$
181,$L^r$
182,"$\mathsf{E}[(X_i-\mathsf{E} X_i)(X-\mathsf{E} X)]/\mathsf{SD}(X)=\mathsf{cov}(X_i,X)/\mathsf{SD}(X)$"
183,$u(0)=0$
184,$(ng)$
185,$\tilde Z = \mathsf{E}[Z\mid X]$
186,$E[X|X>qp]$
187,$\rho(X) + c = \rho(X+c)\ge \rho(X)  + \mathsf{E}[cZ]$
188,$1-g(S)$
189,$a_{0}$
190,$\bar M_t = \bar P_t - \mathsf{E}[Y_{t}]$
191,$\rho_g(X \wedge a)$
192,$\rho(0)=\rho(0 \times X)=0\times \rho(X)=0$
193,$\rho_g(X)$
194,$\mathbf {\mu}$
195,$\displaystyle\int_\Omega X(\omega)p(\omega)\mathsf{Pr}(d\omega)$
196,"$n={{n}}, p=1/{{p}}={{pf}}$"
197,$\Delta Q_{gc}(a) = a_{gc}-P(X_{0}(a_{gc}))-a$
198,"$\bar S_i = \sum_{j} X_{i,j}p_j$"
199,$\mathcal G\subset\mathcal F$
200,$\tilde X_2 = X_2 - \mathsf{E}[X_2]$
201,$10^{-12}$
202,$\rho(X)=\mathsf{E}[XZ]$
203,"$x\in[0,\infty)$"
204,$\mathsf{Pr}(S_t > a)=\mathsf{Pr}(X_t > a/S_0)=1-\Phi\left([\log(a/S_0)-(r-\sigma^2/2)t]/\sigma\sqrt{t} \right)=\Phi(d^*-\sigma\sqrt{t})$
205,$F_0 = \bar P_{act}-\bar P = R-\bar M$
206,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X+c]=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]+c$
207,$X_{-3}$
208,$\bar\delta$
209,$t>0$
210,"$(\Omega, \mathcal F, \mathsf{P})$"
211,$\mathit{LGD}$
212,$\mathsf{E}[L\wedge A]$
213,$\mu_c$
214,$p<0.5$
215,$a_h=2-a_l<2-b_l=b_h$
216,"$F(p)=\mu([0,p])$"
217,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}$
218,$\lambda dt\to 0$
219,$0 < p_0 < p_1 < 1$
220,$\mathsf{E}[X] + d(\max(X)-\mathsf{E}[X])$
221,$p\mapsto g'(1-p)$
222,$\omega=0.\omega_1\omega_2\dots$
223,"$\mathbf {X\,\Delta S}$"
224,$BCD$
225,$\beta_i(x)<\alpha_i(x)$
226,$\nu=\nu(p)$
227,$a_1 = a(Y_{1})$
228,$\mathit{NPV}_{\infty}=2\times 2.5=5$
229,$dG/dF$
230,$\mathbf {X(a)}$
231,$M = P - \mu_U= 0.505$
232,$H_k(X)=H_k(Y)$
233,$l(p)$
234,$\bar Q$
235,$\mathsf{E}[N]=2.0$
236,$L_0^{l_1} + L_{l_1}^{l_1+l_2} = L_0^{l_1+l_2}$
237,$\mathsf{E}[X_d]$
238,$X''$
239,$\mathsf{VaR}_{0.7}(X)=2.439 >  2 \times 1.204=2.408$
240,$\mathsf{CTE}^+$
241,$0 < p < 1$
242,$\displaystyle\int_0^\infty xg'(S_X(x))dF_X(x)$
243,$\pi=0$
244,$h(p)=1-g(1-p)=1-(1-p)^{1/3}$
245,$\alpha(\mathsf Q)=\infty$
246,$\gamma$
247,$x\in A$
248,$p_j=\mathsf{P}(X=x_j)$
249,"$F_n,F$"
250,$\mathsf{Pr}(\cup_i E_i)=\sum_i \mathsf{Pr}(E_i)$
251,$\rho(\lambda X)=\lambda\rho(X)$
252,$\nu^{-1}\mathsf{E}[\nu(X)]$
253,$A(1_{X>x})$
254,$g(s)=(\iota+s)/(\iota+1)$
255,"$\max(x, 0)$"
256,$x\mapsto x^{n}$
257,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i\mid X\le a](1-g(S(a))) + a\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i/X\mid X >a]g(S(a))$
258,$E[G]=1$
259,$\Lambda = \dfrac{E( r_{U} ) - r_{f}}{\sigma_{r_{U}}}$
260,"$\{90,\dots,99\}$"
261,$P = 3.103$
262,$g(s) \ge s$
263,$\mathsf{MONETARY}$
264,$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)=\mathsf{E}[XZ]$
265,$p(\omega)=0$
266,$a(X_i;X) = \lim_{t\to 0} (\rho(X+tX_i)-\rho(X))/t$
267,$\sigma_{U} = \sqrt{1 - 2p - p^{2}} = 0.973$
268,$\sigma_A$
269,$\mathsf{E}[X_1Z]$
270,$\beta$
271,$\mathbf {x}$
272,$\mathit{NPV}_1 = \bar Q - \bar Q = 0$
273,"$X_4, X_5$"
274,"$g:[0,1]\to[0,1]$"
275,$X+Y$
276,$\sup_\mathsf{Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
277,$Y=1-X$
278,$A\subset\Omega$
279,$g'(s)\ge 1$
280,$K_h(t):=k(h+t)-k(t)$
281,$\mathscr{E}_i$
282,$\rho_2$
283,$y_c$
284,$\mathsf{E}[X\mid t]$
285,$1-F(q(p));\alpha)$
286,$w(X)=1_{X>X_p}$
287,$\delta=0$
288,$q(0)$
289,$|x|$
290,$Y_n$
291,$X_1+({n}-X_2)$
292,$w=0.06405$
293,$\sum_j Y_j = 0$
294,"$P_X(a,b]=\mathsf P(X\in (a,b])=F(b)-F(a)$"
295,$e^{kx}S(x)\to\infty$
296,"$f(\cdot, \omega)$"
297,$N_i$
298,$\lambda S(x)$
299,$\mathbf {M=g(S)-S}$
300,$t=2$
301,$\mathsf{E}[X_2(a)\mid X_1(a)=x] \le a-x$
302,$0\le s\le 1$
303,$\rho(X) \le 0$
304,$x_{i-1}$
305,$Y_{0}$
306,$\infty-\infty$
307,$\mathsf{j}(a) = \max\{j:X_j < a \}$
308,$s \ne s^\ast$
309,$\mathbf {d=1}$
310,$\sigma_d^2$
311,$P=L + \iota Q = \nu L + \delta a=L(1+\rho)$
312,$\rho(X)=x_p$
313,"$\mu=7.4, \sigma=1.9$"
314,$\mathsf{E}[X]+kR(X)$
315,$\bar q(s/2)\le 2\bar q(s)$
316,$Q_1=0.125$
317,$\mathsf{E}[Z_j\mid X]$
318,"$D_n, D_n^*$"
319,$\rho(X)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[\sum_i X_i]=\sum_i \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i]$
320,$a>b_h$
321,$\sum_t Q_t$
322,$0\le \lambda < 1$
323,$\mathbf {t+2}$
324,$-u''(w)/u'(w)$
325,$q(p)=-\log(1-p)\mu$
326,$\mathsf{E}_Q[X_i\mid X]=\mathsf{E}[X_i\mid X]$
327,$1=v+d$
328,$n=2$
329,$\mathsf{P}(1_{U < s}=1)=\mathsf{P}(U < s)=s$
330,$X=U$
331,$X(\omega') = \sum_\omega X(\omega)1_\omega(\omega')$
332,$a'$
333,$U_i$
334,"$\bar P_{0,1}$"
335,$g_i=u_i^{1/b} < u_i$
336,$\rho(X\wedge a)=\bar P(a)$
337,$E(X\wedge a)=\bar S(a)$
338,$1-g(0^+)$
339,$\alpha\not\equiv 0$
340,"$[0,1]\times [0,1]$"
341,"$X_{i,j}\Delta g(S_j)$"
342,$c_i=\displaystyle\sum_{i\not\in S\subset\Omega}\dfrac{|S|!(N-|S|-1)!}{N!}\times$
343,$\mathbf {\sigma}$
344,"$\mathit{MV}(X, a) = a - \rho(X\wedge a)$"
345,$u'(0)=1$
346,$S(x)=0.1$
347,$s=0.01$
348,$\int_a^{a+y} g(S(x))dx$
349,$\sum X_i(a)p$
350,$\beta(x)\le \alpha(x)$
351,$X_1=18$
352,$g(s)$
353,$Z'(s)=1/(\Phi'(Z(s)))=\sqrt{2\pi}\exp(Z(s)^2/2)$
354,$D/L$
355,"$S\,\Delta X$"
356,$a=11$
357,$\rho(X+tY)\ge \mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X+tY]$
358,$\mathsf{E}[X_1]=4.75$
359,$\log(1-1/n)<-1/n$
360,"$, which he describes as the standard way to obtain the $"
361,$\phi(p) = g'(1-p)$
362,$\mathsf{VaR}_p(X_1+X_2)\le \mathsf{VaR}_p(X_1)+\mathsf{VaR}_p(X_2)$
363,$P(X_i(a_{gc}))$
364,$n$
365,$t > 1/3$
366,$\mathsf{E}[u(P-X)]=0$
367,$\mathsf{Var}(\pi)$
368,$g'(S(x))f(x)$
369,"$(lee.west |- lee.north)+(0,-2.5)$"
370,"$D^n\rho_X(X_{i,\cdot})$"
371,$-x^2$
372,$X_n\to X$
373,$r_f/(1+ r_f) = 0.0196$
374,$\mathbf {g_4(s)=s^{0.9}}$
375,$D\rho_{X_n}(X_c)$
376,$f_{opt} =(pb - q)/b$
377,$\{n\mid X(n)\not =0\}$
378,$\mathsf{TVaR}_0(\cdot)=\mathsf{E}[\cdot]$
379,$\mathbf {\iota}$
380,$\rho(X_0+Y) \ge \rho(X_0) + \mathsf{E}[YZ]$
381,$\ge 1$
382,$n-3$
383,$Q = C + lg$
384,"$(1-p, 1]$"
385,$\tilde X-X$
386,$\Delta Q_{ro}(a)$
387,$\mathsf{E}[Z_1]=\mathsf{E}[Y]$
388,$\lim_{x\to\infty}F(x)=1$
389,$\mathsf{E}[X_i]=14$
390,$g^{-1}$
391,$p=0.9973$
392,$M=P-s$
393,$f(x_i)$
394,$\mathcal F'_0\subset\mathcal F_0$
395,$M/EL$
396,$\mathit{EER}$
397,$a(c_1;X) = c_1$
398,"$\delta = 34/39, \nu=5/39$"
399,$\mathsf{P}(\{\omega\})$
400,$A(X)-B(X)$
401,$\rho(X\wedge a) = \sum\rho(X_i(a))$
402,$q(0)=0$
403,$k=c/(e^c-1)$
404,$\Lambda = \dfrac{M - K r_f}{\sigma_U}$
405,$\nu < 1$
406,$\rho_g(X) = \infty$
407,$U''(x)<0$
408,$M = P \mu_U = 0.3$
409,$\bar S_i(a)$
410,$y=$
411,$g'(S(x))=v$
412,$\mathsf{Pr}(\{\omega_1\})=1/3$
413,$\bar Q(a)$
414,$\mathsf{j}(a)=4$
415,$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)$
416,$L/P$
417,$\bar P(a+da)-\bar P(a)$
418,$t+d$
419,$g(0+)M$
420,$Z(\omega)\mathsf{P}(\omega)$
421,$\mathsf{E}[X_0]=80$
422,$\mathbf {X_{1}(a)}$
423,$t > 0$
424,$g'(S(x))f(x)dx$
425,"$k\mathsf{E}[(X_i-\mathsf{E} X_i)(X-\mathsf{E} X)]=k\mathsf{cov}(X_i,X)$"
426,$v_f(\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i] - \dfrac{\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]}{\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]}\mathsf{E}_\mathsf{Q}[(X-a)^+])$
427,"$(\x*0.65, 3.75*2)$"
428,$\rho$
429,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]$
430,$\hat p = F(x) = 1-g^{-1}(1-p)$
431,"$\min(x_1,x_2)$"
432,${\mathsf{Q}}$
433,$0=\rho(0)=\rho(X-X)\le \rho(X) + \rho(-X)$
434,$c(\mathsf{var}nothing)=0$
435,$f'_-(x)\le f'_-(y)\le f'_+(y)$
436,$v_f\mathsf{E}_Q[X_i]$
437,"$(x_{1,1}, x_{1,2})$"
438,$\sum_n 1/n$
439,"$\displaystyle\int_0^a \alpha_i(x)S(x)\,dx$"
440,"$\beta(X,M)=\mathsf{cov}(X,M)\sigma_M^2$"
441,$X_{-1}$
442,$\mathcal Q=\{\mathsf Q\mid \alpha(\mathsf Q)=0  \}$
443,$A_i$
444,"$a(X,p)$"
445,$r\lambda\mathsf{E}[X]$
446,"$(s,\iota)$"
447,$a-L_0^a(X)$
448,$\tilde Z=\mathsf{E}[Z\mid X]$
449,$S(a+x)=d/dx(\mathsf{E}[X \wedge (a+x)-X \wedge a)$
450,"$[p_{-},p_{+}]$"
451,$y=x$
452,$\inf_x \{  x + \alpha\mathsf{E}[(X-x)^+] + \beta\mathsf{E}[(X-x)^-] \}$
453,$af$
454,$M$
455,$\mathsf{Pr}(\mathsf{var}nothing) =0$
456,$\mathsf{TVaR}_{p^\ast}$
457,$\mu=0.107$
458,$E(X_{-1}(a))$
459,$g'(S_X)$
460,$j > 0$
461,$a=\sum_i a\alpha_i(a) = \sum_i\kappa_i(a)$
462,$\mu=0$
463,$x>1$
464,$F(p)=p$
465,$X_i$
466,$q_{\tilde X}$
467,$a\le \dfrac{P-S}{\iota} + P\approx \dfrac{P-\mathsf{E}[X]}{\iota} + P$
468,$\omega\in \Omega$
469,$Y_c=(Y\mid Y > y_c)$
470,$(m_1-m_0)/s_1$
471,$q_B(p)=\sup B$
472,$\mathsf{E}[X]+k\mathsf{var}(X)$
473,$M_1\Delta X$
474,"$(a,b]$"
475,$\rho(m)=\rho(0)-m$
476,$\mathbf v$
477,"$\omega=(1,0,0,1,0,0,\dots)$"
478,$g(S(x))=1$
479,$0 < s < 1/4$
480,$r_h$
481,$X\ge a$
482,$Q$
483,$p\delta_p$
484,$y^{\ast}$
485,$\nu=1/(1+\iota)$
486,$\mu=0.1$
487,$s_1=0$
488,$p=0.4$
489,$g(S_{X}(x))$
490,$\mathsf{Q}(B_k)=\mathsf{P}(B_k)/\mathsf{P}(B_k)=1$
491,$m(t^\star)=3m/4$
492,$n_s(1-g(s))$
493,"$g,h:[0,1]\to [0,1]$"
494,$x_{(j)}-x_{(j-1)}$
495,$\mathsf{SRM}$
496,$v\in V_X$
497,$a(X_i)$
498,"$\mathsf{var}(W)=\sum_{d\ge 0} \mathsf{var}(Y_{-d,d})$"
499,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]$
500,$A/L$
501,$a_{2}$
502,$\rho_g(X)=\bar P$
503,$\arg \min_{q \in \mathbb{Q}} E_q[U(a)]$
504,$X=X_1+X_2$
505,"$n=(0.702, 1.163)$"
506,$\sum_i$
507,$\phi'(p)$
508,"$(X_{1,j},\dots,X_{m,j})$"
509,$E(X\wedge a)$
510,$1/6$
511,$\mathsf{Pr}(\{\omega_2\})=2/3$
512,"$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\omega_4\}$"
513,$a(X_i;X)\ge \mathsf{E}[X_i]$
514,$\nu = 1/\lambda$
515,$\alpha \le 1$
516,$n\times m$
517,$\mathsf{Q}$
518,${6 \choose 2}=15$
519,$\mathsf{E}[X \mid U]$
520,$\sup(\lambda X)=\lambda \sup(X)$
521,$P+Q=a$
522,$k=2$
523,$f(x) \to 0$
524,$X=1$
525,$v_1X_1(1)$
526,$\pi=\Pi/p\nu(p)$
527,$\mathcal{N}_X(X_i(a))$
528,$\mathcal B_p$
529,$S(x)\le s^*$
530,$q_A \le q_B$
531,"$A_2=[\epsilon, \epsilon]$"
532,$X=\sum_i X_i$
533,$K = A - P$
534,"$(1-g(s), 1-s)$"
535,"$r=1,2,3,4$"
536,$0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1$
537,$\mathsf{Pr}(E\mid A) = \mathsf{Pr}(E\cap A) / \mathsf{Pr}(A)$
538,$P=a - v(a-L)$
539,$S(M-)$
540,"$X_{t+1,2}$"
541,$7$
542,$\nu F(a)$
543,$\mu_d$
544,"$[0,1]\to[0,\infty)$"
545,$\mathsf{SA}$
546,$Y\le X+\Vert X-Y\Vert$
547,$Y_1$
548,$\sup \{ \mathsf{E}[X\mid A] \mid \mathsf{Pr}(A) > 1-p) \}$
549,$X=g(Z)$
550,$P = \mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{Var}^+(X)$
551,$Y\mid Y > y_c$
552,$a_1' = a_0-X_1$
553,"$X_{t-1,3}$"
554,$\mathbf{B}(t)$
555,$\mathsf Q\in\mathcal Q(X)$
556,$g''<0$
557,$g(w s_1 + (1-w)s_2) \le w g(s_1) + (1-w) g(s_2)$
558,"$k=1,\dots,m$"
559,$S_t=S_0 X_t$
560,"$G=\mathrm{cl}\{\, (\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i], \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]) \mid \mathsf Q\in\mathcal Q \, \}$"
561,$\rho(-X)$
562,$\mathsf{E}[X]\le \mathsf{E}[Y]$
563,"$[s_1,1]$"
564,"$[0, 1-p]$"
565,$X(\omega)=1-\omega$
566,$1-g(S(x))$
567,$T = \min\{ t:U(t)\le 0 \}$
568,$x_0=q^-(p_0)$
569,"$\beta_i(t\mathbf{v}, x)$"
570,$\lambda=g(\lambda_{obj})$
571,"$[-2\pi, 2\pi]$"
572,"$\mathsf{E}[X_i\,\mathsf{E}[Z\mid X]]$"
573,$X(\lambda\mathbf{v})$
574,"$\bar P_{t,0} = D\rho_{W_t}(Y_{t,0})$"
575,$a>1$
576,$a=R+Q$
577,$k-L_0^k$
578,$p\ge 0$
579,$\mathsf{E}[\iota Q] = \mathsf{E}[\iota]\mathsf{E}[Q]$
580,$\int g(S)$
581,$\mathcal E(X)=\mathsf{E}[(p X^+ + (1-p)X^-)/(1-p)]$
582,$0\le f<1$
583,"$I(q,p)=0$"
584,$1_{X < q(1-s)}$
585,$g - s$
586,$x_i=1$
587,$x\ge q(1-s^*)=:x^*$
588,$\mathsf{TVaR}_0(X)=\mathsf{E}[X]$
589,$X\succeq Z$
590,$0\le w\le 1$
591,$\mathsf{CTE}$
592,$\iota = \dfrac{\delta}{1-\delta}$
593,$X=x$
594,$g^{-1}(s)$
595,$U(0)=2$
596,$\alpha = 0.642.$
597,$s>1-p$
598,$M_i := \beta_ig-\alpha_iS$
599,${}^2$
600,$C_c$
601,$ROL = a + b\ \mathit{EL} + c \ C(t)$
602,$X_2=0$
603,$M=\delta a'$
604,$\alpha(x) S(x)>\beta(x) g(S(x))$
605,$P(X_{-1}(a_{gc}))$
606,$L = \text{E}[L^*\wedge A]$
607,$c(S)$
608,$A\cap B\subset B$
609,$g(s) = 1 - (1 - s)/(1 + r_f + Ck(s))$
610,$X-b\le 0$
611,$a=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
612,$f(x)=(\sqrt{2\pi}x)^{-1}\exp(-(\log(x)-\mu)^2/2\sigma^2)$
613,$r_f=0$
614,$\mathsf{VaR}_p(X)-f(\mathsf{VaR}_p(X))$
615,$MX$
616,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[\lambda X] = \lambda \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
617,"$\displaystyle\int_0^{1-g(S(a))} \kappa_i(q(1-g^{-1}(1-p)))\,dp + a\beta_i(a)g(S(a))$"
618,$X(\omega)=\exp(10 + 2\Phi^{-1}(\omega))$
619,$g(s)=\nu s + \delta$
620,$\mathsf{E}[W\tilde X] \le \rho(\tilde X)$
621,$W$
622,$\mathsf{var}nothing$
623,$f=f_x=f_{xx}$
624,$1_A$
625,$\wedge$
626,$g'(s)$
627,$a$
628,$\mathsf{E}[Y]$
629,$\rho(X)=\rho(\mathsf{E}[X]+X-\mathsf{E}[X])=\mathsf{E}[X] + \rho(X-\mathsf{E}[X])$
630,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
631,$X\wedge l$
632,"$X_{t-d,d}$"
633,$\alpha(\mathsf Q)=0$
634,$\bar q_{X_1+X_2}(s) \approx \bar q(s/2)$
635,$X_2$
636,"$(s,g(s))=(0.2,0.36)$"
637,$\mathsf{E}[kX]=k\mathsf{E}[X]$
638,$                 \& $
639,$\inf_x\{ x + c{(X-x)^+} \}$
640,$P(X\wedge a)$
641,$x_2(S(x_1)-S(x_2))=x_2\mathsf{P}(X=x_2)$
642,$1-g(S(a))$
643,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i \mid X]=\mathsf{E}[X_i \mid X]$
644,$\| Z \|^*= \sup\ \{ \mathsf{E}[YZ] \mid \| Y \| \le 1 \}$
645,"$Y_{1,0}$"
646,$\nu^{\ast}$
647,$A(\lambda X)=A(\lambda X)$
648,$dF$
649,$\downarrow\downarrow$
650,$\rho_2(X_1)=1$
651,$-X$
652,"$[x_1, x_2]$"
653,$v_f(\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i] - \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i/X(X-a)^+])$
654,$\kappa_i(x)$
655,$\mathbf {g_2(s)=s^{0.5}}$
656,$r-r_L$
657,$\mathbf {S\Delta X}$
658,$\alpha_i(x) S(x)$
659,$(g(s_0)-g_0)/s_0 = g'(s_0)$
660,"$\mathbb{Q} = \left \{ q:I(q,p) \le I^* \right \}$"
661,$\rho=0$
662,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[\cdot]$
663,$\mathbf {Q}$
664,$s=f'(x_0)$
665,$\rho(X)=\sup(X)$
666,$g(0+)>0$
667,$S(x)=e^{-\beta x}$
668,"$s_g, s_b$"
669,$1000$
670,$da>0$
671,$\mathbf {\beta_{2}g(S)\Delta X}$
672,$\mathsf{P}(X=0)=0.4$
673,$u'''\ge 0$
674,$0\le \lambda_1 \le 1$
675,$\rho(X+tY)\ge \mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X+tY]=\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X]+\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[tY]=\rho(X)+t\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[Y]$
676,$P_X$
677,$x_1+x_2=x$
678,$=\mathrm{MV}(X\wedge a)$
679,$M_i(x)+Q_i(x)=\alpha_i(x)F(x)$
680,$\delta = \iota/(1+\iota)$
681,$a_1'=a_0-X_1$
682,$X=\sum X_i$
683,$\mathbf {S\Delta X'}$
684,$X\le b$
685,$\delta=\iota/(1+\iota)$
686,$(\delta_p - il_p)/(\nu_p-l_p)$
687,$x=\mathsf{VaR}_p(X)$
688,$\mathbf {\alpha_2}$
689,$1200/1800=0.667$
690,$\sigma_0=\sigma_1$
691,$a(f + (1-f)/q) -1$
692,$g \cdot dX$
693,$\beta_i(a)/\alpha_i(a) < 1$
694,$\xtext$
695,$Q_{1}\Delta X$
696,$X_g$
697,"$X=X(x_1,\dots,x_n)=x_1X_1 + \cdots + x_nX_n$"
698,$s\leftrightarrow 1-s$
699,$\mathcal Q_i(X)$
700,$\mathsf{E}[X] +\lambda\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)^+]$
701,$V_j$
702,$X'=X\wedge a$
703,$20+8t$
704,$\mathsf{Pr}(X < x)\le \mathsf{Pr}(X\le x)$
705,$\Delta_{2}$
706,$\alpha_{2}$
707,"$(1,1)$"
708,$4$
709,"$Q_{i,j} = M_{i,j}/\iota_j$"
710,$L^\infty$
711,$f(1)=1$
712,"$0,10,40$"
713,$\rho(X+c)=\rho(X)+c$
714,$H[Y_j]$
715,$Z=(1-p)^{-1}1_A$
716,$\beta_i(x)g(S(x))$
717,"$A_3=[0, \epsilon-k]$"
718,$\mathsf{TVaR}_{0.95}$
719,"$dx,dt,ds$"
720,$f(\omega)\ge 0$
721,$\beta=0.57$
722,$(X\wedge a)$
723,$X < a$
724,$\lambda<1$
725,"$X_{0,1}$"
726,$\omega'\not=\omega$
727,$X_0< X_1 < \dots < X_m$
728,$\tilde X_1 + \tilde X_2 = X_1 + X_2$
729,$\mathbf {X_1(a)}$
730,$\mathsf{VaR}\_p(X\_0)$
731,$-(1-s)g''(1-s) + g(0+)\delta_1 + \sum_s s(g'(s-)-g'(s+))\delta_{1-s} + g'(1)\delta_0$
732,$a>a_{ro}$
733,$g'(0)=\infty$
734,$(X\wedge a)/X$
735,$P_g\ll P_X$
736,$Z\le (1-p)^{-1}$
737,$F_g$
738,$\bar P(x)$
739,$d^*=(\log(A/L) + (r_h-\mu_L + \sigma^2/2))/\sigma\sqrt{t}$
740,"$g(s)= \displaystyle\int_0^s g'(t)\,dt = (s/(1-p)) \wedge 1$"
741,"$(s_j=0,g_j>0)$"
742,$P'<\rho(W_1\wedge a_1)$
743,$\mathsf{COHERENT}$
744,$\Delta g(S_0)=1-g(S_0)$
745,$\rho_g(V)$
746,$X_t$
747,$X_1+X_2=X=x$
748,$m=1$
749,$X_n\uparrow X$
750,$v_1$
751,$a\ge 10$
752,$\mathbf {X_{1}}$
753,$\gamma=0.633$
754,$r=0.038$
755,$1000(1+t)$
756,$\mathbf {x_2}$
757,$f(0)=0$
758,$\mathcal M(\mathsf{P})$
759,$p(\nu(p)-l(p))$
760,$B(X)$
761,$h(0.9)/0.9 = 0.76$
762,"$\int_{[0,p]} \dfrac{\mu(dt)}{1-t}$"
763,$\mathsf{TVaR}_{0.5}(X_1)=9$
764,${}^nS(t)$
765,$Q(a)=\nu F(a)$
766,$\rho(X_i)$
767,$S(x_5)$
768,$h_x$
769,$\mathbf {Z_1}$
770,$Y\le 0$
771,$\mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[(X-\mathsf{E}[X])^+]$
772,$(I/a + U/R)$
773,$v=1/1.1<1$
774,$0 < r \le 1$
775,$\{ p \mid q^-(p) \le x \}=\{ p \mid p \le F(x) \}$
776,"$(s,g(s))$"
777,$R_f=0$
778,$\alpha_i'(x)>0$
779,$\lim_{s\downarrow 0} g_\tau(s) = \tau / (1+\tau)$
780,$\mathit{NPV}_1=0$
781,$X\wedge a\Delta S$
782,$\mathsf{TVaR}_{0.75}(X_2)=90$
783,$K = A-P$
784,$A\in\mathcal F'$
785,$\le 0$
786,$Z'(g(s))g'(s)=Z'(s)$
787,"$\sum_i a(X_i, p^*)=a(X)$"
788,$a_{gc}:=\mathit{VaR}_{p}(X)=18000.0$
789,$v=1/(1+i)$
790,"$\alpha, \beta, \kappa$"
791,$S_{X\wedge a}(x) = S_X(x)$
792,$W_0=Y_{0} + W_1$
793,"$s_0, s_1, s_2$"
794,$AR$
795,$S_j:=S(X_j)$
796,$f'_-$
797,"$ is average invested assets, equal to $"
798,$\mathsf{VaR}_{0.99}(X_2)=100$
799,$X_t:=\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_t]$
800,$q(F(x))$
801,$a_i$
802,$X_1=t$
803,$q=ps_g$
804,$X>Y$
805,$M=g(S)-S$
806,$X=1800$
807,$g_2(s)=s^{0.5}$
808,$xS(x)|_0^\infty$
809,$x_h(1-p)$
810,$\nu+\delta=1$
811,$\rho_i$
812,$\mathbf {Q_{2}\Delta X}$
813,$\mathsf{SSD}$
814,$X_i\dfrac{X\wedge a}{X}$
815,$r(X)=g'(S(X))$
816,$X\wedge d$
817,$1_{X>x_1}$
818,"$\int g(S(x))\,dx$"
819,"$c(1,3)-c(3)$"
820,$0.5$
821,$A(\lambda X)=\lambda A(X)$
822,$\mathsf{Pr}(X=y_j)$
823,$\mathsf{E}[u(R - X)]=0$
824,$\rho(X\wedge a)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X\wedge a]$
825,$\mathbf {Z_5}$
826,$c=(1-\alpha)^{-1}$
827,$\mathsf{TVaR}_p(X)=1=\mathsf{E}_\mathsf Q[X]$
828,$M_2dX$
829,$\mathit{EGL}_{ro}(a)=P(X_{-1}\wedge a) - P(X_{-1}\wedge a_{ro}) \ge 0$
830,$2\le x\le 8$
831,$\mathsf{CTE}_p$
832,$f(\mathsf{VaR}_p(X))$
833,$\mathsf{E}_{\mathsf Q_k}[X'']=\mathsf{E}_\mathsf{P}[X'']$
834,$X_n=X$
835,"$Y_{t',d}$"
836,$\mathsf{E}[F_2]=\mathsf{E}[F_0]$
837,$\mathsf{E}[e^{hX}] = \exp(h\mu+\sigma^2h^2/2)$
838,$D\rho_X(X_i)=D\rho_i = x_i\dfrac{\partial\rho}{\partial x_i}$
839,$a(X)\le a(Y)$
840,$g'(s)<1$
841,$\beta > \alpha$
842,$\bar\iota=\iota$
843,$\int_a^{a+y} S(x)dx$
844,$0.125 \cdot 8 = 1$
845,$h\left(\displaystyle\int_\Omega g(X(\omega))\mathsf{Pr}(d\omega)\right)$
846,$\bar\delta(x)$
847,$P_{act}-P$
848,"$\rho(X, p^\star)=a(X)$"
849,$q(0.75)$
850,$s=S_X(y)$
851,$\rho l = \iota C$
852,$\alpha(1-\alpha)(1-s)^{\alpha-1} + \alpha\delta_0$
853,$Y_s$
854,$\eta\nu$
855,$(g_j-s_j)/(1-g_j)$
856,$Z=g'(S_X(x))$
857,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[Y]=\mathsf{E}[Yg'(S(X))]$
858,$\Delta S_5$
859,$F(x)$
860,$D=(X-a)^+$
861,$\sigma^2/2$
862,$i=1$
863,$h(p)\le p$
864,$b = g/(1-g)$
865,"$d=d(X_1,\dots,X_n)$"
866,$X=\max(X)$
867,$v$
868,$F(q(p))=p$
869,$\mathsf{E}[Z]=1$
870,$g(0+)=\mu(\{1\})$
871,$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_{\tau}]$
872,$X_i(a)$
873,$p=0.999$
874,$m\ge 1$
875,$X_1(a)$
876,$\Delta_s=g'(s-)-g'(s+)$
877,$\mathsf Q \ll \mathsf P$
878,$k/n$
879,$L(X)=w(X)/\mathsf{E}[w(X)]$
880,"$X_{t-1,2}$"
881,$\mathsf{Pr}(X\ge x)\ge 1-p\ge \mathsf{Pr}(X> x)$
882,$d=1-v$
883,"$f(t)=a(tx_1,\dots, tx_n)=ta(x_1,\dots, x_n)$"
884,$\partial a/ \partial v_i$
885,$-g''$
886,$g'(1)=0$
887,$\mathsf{E}[X_ih(X)]=\mathsf{E}[\kappa_i(X)h(X)]$
888,$\mathsf{E}[XZ(X)]$
889,$P(a)=g(S(a))\ge S(a)$
890,$x\mapsto x$
891,$x^{\ast}=\mathsf{VaR}_p(X)$
892,$\mathsf{E}[X] \le \bar P \le \sup X$
893,"$(1,\dots,1)$"
894,$\mathsf{Pr}(X=x_i)=\lambda_i/\lambda$
895,$Y=-X$
896,$\lim_{y\downarrow x} f(y)$
897,$\iota=0.1$
898,$A_Y = 2.155$
899,$g(S)=1$
900,$X:=Y$
901,$0.05$
902,"$\mathbf {j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)}$"
903,$\mathsf{Pr}(M=m)=\frac{r}{1+r}\frac{1}{(1+r)^m}$
904,$xS(x)\vert_0^\infty =\lim_{x\to\infty} xS(x)=0$
905,$k!$
906,$\kappa_i(x)=\mathsf{E}[X_i\mid X=x]$
907,$602.6 billion and converted to net premium based on $
908,$q(p)\phi(p)\times dp$
909,$B_t$
910,$ABC$
911,$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$
912,$\mathsf{E}[X_2\mid X=20]=6$
913,$\mathbf {M_2\Delta X}$
914,$a = 0.6565$
915,$\mu(ds)$
916,$p<\infty$
917,$X_n(2/3)$
918,$X_s$
919,$x=q(p)$
920,$q_X(p)=\mu+\sigma z_p$
921,"$Y_{0,t}:=\sum_{d>t} X_{0,d}$"
922,$\mathsf{E}[X1_A] / \mathsf{E}[1_A]$
923,$Z_{a}(a)$
924,$\le p$
925,$dx$
926,$A = 8.14864$
927,$L(X)=1_{X=x_p}(X)/f(x_p)$
928,"$\{0, 8, 10\}$"
929,$\mathcal D(X)=c\mathsf{TVaR}_p(X-\mathsf{E}[X])$
930,$P =  \mathsf{TVaR}_\pi(X)$
931,$w=w f(1)=w f(1)+(1-w)f(0) \le f(w 1 + (1-w)0)= f(w)$
932,$Z_\mathit{lin}$
933,$X_t=\mu t + \sigma W_t$
934,$\alpha S$
935,$f(x)=\sin(x)$
936,$\mathbf {X_{2c}}$
937,"$\Omega=\{\omega_1,\dots,\omega_n\}=\{\text{Ada}, \text{Bernhard}, \dots, \text{Zeno} \}$"
938,$\alpha(1+fg/(1-g))$
939,$s > s_1$
940,$t=2/3$
941,$\int_0^s \phi(1-t)dt$
942,$\rho(U)=\mathsf{E}_\mathsf Q[U]$
943,$H_k(X) \le H_k(Y)$
944,$X\preceq Y$
945,$1-1/c$
946,$0 < s < 1$
947,$-\rho(-X)\le \mathsf{E}[X]$
948,$\infty$
949,$q(\hat p)$
950,$Z=g'(S(X))$
951,$n+1=N$
952,$P=L/(1+R_L)$
953,$\rho(X_n)\not\to \rho(X)$
954,$X'\Delta g(S)$
955,$\mathbf {x_1}$
956,$\beta_i(X_4)$
957,$s>0.2$
958,$q_{X+c}(p)=c+q_X(p)$
959,$X=q(F(X))$
960,$0.2 < s < 1$
961,$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F'](\omega)$
962,$t>0.5$
963,$0 \le t \le 1$
964,"$\mathsf{TVaR}_p(X(x_1,x_2))=(x_1 + x_2)\mathsf{TVaR}_p(Y)$"
965,$X_1\le X_2\implies a(X_1;X)\le a(X_2;X)$
966,$\rho(X_j)=\max_k \mathsf{E}_\mathsf{Q_k}[X_j]$
967,$\rho_c(X)=\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)=8.5$
968,$\mathbf {\Delta S}$
969,$V_X$
970,$\mathsf{E}[g'(S(X))]=\int_0^\infty g'(S(x))f(x)dx=\int_0^\infty -\frac{d}{dx}g(S(x))dx=g(S(0))-g(S(\infty))=g(1)-g(0)=1$
971,$\rho(1)=1$
972,"$(3,2)$"
973,$a_2'$
974,$x_{i-1}\le x'_i\le x_i$
975,$\mathsf{E}[ X_i \mid X(x) = q_{x}(p)]$
976,$\mathsf{TVaR}_p(X)=(12(0.9-p) + 2.5)/(1-p)$
977,$V$
978,"$D^f\rho_{W_t\wedge a, W_t}(Y_{0})$"
979,$\mu$
980,$\beta_i(x) =\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i/X\mid X>x]$
981,$y=(\log(x)-\mu)/\sigma$
982,$\sup(X)<\infty$
983,$+\infty$
984,$F^{-1}(p)=q(p)$
985,$Z(y_j)$
986,$\bar Q_{d}=a_{d}-\bar P_{d}$
987,$\rho(X_n) \uparrow \rho(X)$
988,$\bar P_0>\mathsf{E}[Y_{0}]$
989,$S(a)$
990,$(1-g(s))(1-q)$
991,$\Delta \mathit{MV}_{gc}(a)$
992,"$X_1,\dots,X_m$"
993,$da1_{X>x}$
994,$g_1F$
995,"$\mathsf{E}[X_i(a)\,g'(S_{X\wedge a}(X\wedge a))]$"
996,"$\bar P_{0,t}:=\rho(Y_{0,t})$"
997,$x_0+x_1+x_2$
998,$\bar S(a)=\displaystyle\int_0^a S(x)dx$
999,$S(X_j)>0$
1000,$f(s)=\alpha(1-\alpha)(1-s)^{\alpha-1}$
1001,"$1_A:\Omega\to \{0,1\}$"
1002,$g(S(\infty))=0$
1003,"$\alpha_i(a) = \dfrac{\sum_{j:X_j>a} (X_{i,j}/X_j)p_j}{\sum_{j:X_j>a} p_j}$"
1004,"$P_i,M_i, Q_i$"
1005,$C'_i$
1006,$l_i$
1007,$A(c)=c$
1008,$I$
1009,$X\preceq_m Y$
1010,"$(-\x, 2)$"
1011,"$\rho(X),\rho(Y)\le 0$"
1012,$a_{d} = \mathsf{E}[Y_{d}]+4\sigma(Y_{d})$
1013,"$X_{0,t}$"
1014,$a-X\le 0$
1015,$m_3=0$
1016,$\mathsf{E}[Z]\ge 1$
1017,$\mathsf{E}[X_iZ_j]$
1018,$\rho(W_1\wedge a_1 \wedge a_1')$
1019,$\mathsf{E}[XZ]$
1020,"$\mathsf{CONVEX,LI}$"
1021,$1_{X>x}$
1022,$\tau a$
1023,$E\in\mathcal F$
1024,$a/Q = 1 + R/Q$
1025,$F_Y$
1026,$\mathbf {\Delta g(S)}$
1027,$X(T(U))$
1028,$\esssup(X)=\sup\{x\mid \mathsf{Pr}(X>x)>0 \}$
1029,$\le 1/(1-p)$
1030,$0\le \lambda\le 1$
1031,$r\times 1$
1032,"$(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)$"
1033,"$(3,1)$"
1034,$M=\mathsf{var}nothing$
1035,$\mathcal F_0\subset\mathcal F_1\subset \cdots\subset \mathcal F_N$
1036,$v_f\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]$
1037,$\mathsf{Pr}(X=2)=0.5$
1038,$\dots$
1039,$R_C$
1040,$k = 3.3 s^{0.82}$
1041,"$X_n=1_{\{0,1,\dots,n-1\}}$"
1042,$X(\omega)=x$
1043,$R_L$
1044,$X=10$
1045,$Q_i$
1046,$P(a)$
1047,$\mathsf{E} X + c{(X-\mathsf{E} X)^+}_p$
1048,$\rho(X)\ $
1049,$U(1)=1$
1050,$g(S_{X\wedge a'}(x))$
1051,"$ occurs, i.e., those with the value 1 in the $"
1052,$\Delta X_m$
1053,"$(0,0,0,0,0,0,0,5,0,5)$"
1054,$D=1$
1055,$\rho(X)=\max_i \rho_i(X)$
1056,$a_h=2-a_l$
1057,$0 < \alpha \le 1$
1058,"$i=1,\dots,N$"
1059,$-norm equal to 1. (Note that $
1060,$g(0.1)=\sqrt{0.1}=0.316$
1061,$\rho_g(X)=\mu+\lambda$
1062,$0.5 + U/2$
1063,$-g'(S(x))f(x)$
1064,$\mathsf{E}[Y \mid U]$
1065,$1-(p_R+p_Y)$
1066,$(1+\epsilon)v_1$
1067,$\Vert X-Y\Vert := \sup_{\omega\in\Omega} |X(\omega) - Y(\omega)|$
1068,"$(\partial a/\partial x_1)(tx_1,tx_2)= 3tx_1 /a(tx_1, tx_2) =  3x_1 /a(x_1, x_2)=\partial a/\partial x_1$"
1069,$\mathsf{TVaR}_p$
1070,$U\le u$
1071,$-dS=f(x)dx$
1072,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge a)\right] + \tau a \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i/X\mid X > a]$
1073,$\mathsf{COM}$
1074,$1_\omega$
1075,$\alpha=0.5$
1076,"$\mathsf{biTVaR}_{p_0,p_1}^w(X)=\mathsf{TVaR}_{p^\ast}(X)$"
1077,$\mathbf{x}=\mathbf{1}$
1078,$\beta_i(x)/\alpha_i(x)$
1079,$d^*$
1080,"$\mathbf {\omega_1},\dots,\mathbf {\omega_n}$"
1081,$X_2-X_1$
1082,$q_{X_i}(p)=\Phi^{-1}(p)$
1083,$\mathsf{Q}\in\mathscr{P}$
1084,$Z_a$
1085,$\mu(\{p_0\}) = 1-w$
1086,$Z(\omega)> 0$
1087,$r=0.045$
1088,$h(s)=s^m$
1089,$X\_{1}$
1090,$cv=0.557$
1091,$du = -g'(S(x))dF(x)$
1092,$g(0)=r_0$
1093,$\sup_\mathsf{Q} (\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X] - l(Q))$
1094,$M_i=\beta_ig(S)-\alpha_iS$
1095,$j$
1096,$g-s$
1097,$\mathsf{E}[X_i \mid X=q(1-g^{-1}(1-p))]$
1098,$w_u=1+c(1-\gamma)$
1099,$a:=\rho(X)$
1100,$g\Delta X \wedge a$
1101,$\beta_i(a)g(S(a))=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) 1_{X>a}]$
1102,$M=rQ$
1103,"$X,X_i$"
1104,$Y_c$
1105,$($
1106,$S_{X\wedge a}$
1107,$\rho(1_A)$
1108,$g_4(s)=s^{0.9}$
1109,"$(4,1)$"
1110,$f(L)=0$
1111,$\mathsf{Q}'(\Omega_a) =\mathsf{Q}(\Omega_a)$
1112,$E[(X-qp)^+]$
1113,$I/a + U/R > 0$
1114,$g'(S(x))=(1-p)^{-1}$
1115,$a\le 1$
1116,$a-b_h<0$
1117,$\mathcal V(X)=\frac{1}{1-p}\mathsf{E}[X^+]$
1118,$\mathsf{TVaR}_p(X) := (1-p)^{-1}(T_1+T_2)/N$
1119,$0.417 < p < 0.791$
1120,$1-\nu p$
1121,$\sqrt{0.9}=0.95$
1122,"$c(1,2)-c(2)$"
1123,$\lambda X$
1124,$r_A$
1125,$\dfrac{\iota}{1+\iota} p$
1126,$a = a(W) = \mathsf{E}[W]+4\sigma(W)$
1127,$\rho_g(X)=452.98$
1128,$a < \infty$
1129,$\alpha(\mathsf Q) = 0$
1130,$\mathsf{VaR}_p$
1131,$X_1=X_2=Y$
1132,$P = 1.5$
1133,$\mathsf{E}_\mathsf{P}[X']$
1134,$S(x)dx$
1135,$L_a^{a+y}$
1136,"$\mathsf P,\mathsf Q_2,\dots,\mathsf Q_r$"
1137,$F(t)$
1138,"$P((1+\epsilon)v_1, v_2, a+da)=P^a((1+\epsilon)v_1, v_2)$"
1139,$\mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{var}(X)$
1140,$\tau=0+d$
1141,$Y=f(X)$
1142,$a_1 = 5.991$
1143,$\mathbf {\iota=M/Q}$
1144,$X=X\wedge a + (X-a)^+$
1145,"$s\wedge p=\min(s,p)$"
1146,$a=30$
1147,$1_{U_X\ge p}$
1148,$g(s)\ge s$
1149,$\mathsf Q(A)>0$
1150,$\mathsf{COH}$
1151,$D f(x_0)$
1152,$r_H$
1153,$d=iv$
1154,$U>p$
1155,$p<0.1$
1156,"$\mathsf{biTVaR}_{0,0.9}^{0.3138}$"
1157,$(g(s)-s)/(1-s)$
1158,$P/L$
1159,$\mathsf{E}_Q[X]$
1160,$j=7$
1161,$\mathbf{v}'$
1162,$0< p <1$
1163,$\psi(u)=\mathsf{Pr}(Y > u)$
1164,$\mathsf P(A)=0$
1165,$X_{-1}=x$
1166,$x=q^-(p)$
1167,$(\lambda S(x))$
1168,$Q=1-g(S)$
1169,$\mathsf{E}[X_i/X|X>a]$
1170,$1^+$
1171,$X \wedge a$
1172,$\mathsf{E}[Y_i\mid X_n]$
1173,$\delta(s)$
1174,"$[x, y]$"
1175,$\omega>0$
1176,"$t \in (0,1)$"
1177,$1=1_{X\le a}+1_{X>a}$
1178,$\rho(X_n)$
1179,$Y\equiv 1$
1180,$(dt)^{3/2}$
1181,$m_0=0$
1182,$\iota=\dfrac{M}{Q}$
1183,$X\circ f$
1184,$\rho_c(X)=\mathsf{E}[X]+c\sigma(X)$
1185,$g(s)=s^\lambda$
1186,"$\mathsf{MON,\ NORM}$"
1187,$\sum_i \kappa_i'(x)=1$
1188,$a<E[X_{-1}]$
1189,$Y_m>x$
1190,$p'\ge p$
1191,"$H_k(X):=\mathsf{E}[\max(X_1\dots, X_k)]$"
1192,$\bar  P_i(a)$
1193,$\sum_\omega \mathsf Q(\omega) =\mathsf{E}[Z] / \mathsf{E}[Z]=1$
1194,$\mathsf{P}(X=0)$
1195,$B$
1196,$Np=67.45$
1197,"$X_n,X$"
1198,$(1-p)\gamma(dp)$
1199,$X'=X$
1200,$(1-p)/(p(\nu_p-l_p)^2)$
1201,$0.33$
1202,$\mathsf{E}[X] = \mathsf{E}[\mathsf{E}[X\mid Y]]$
1203,$\mu_U = 1-p = 0.995$
1204,$j+1$
1205,$q_{X+Y}=q_X+q_Y$
1206,$\mathsf Q_{X}$
1207,"$u_{X,r}(p)=\psi_{X,r}^{-1}(p)$"
1208,$L_a^{a+da}=L_0^{a+da}-L_0^a$
1209,$c(X(\mathbf{v}))=c(\mathbf{v})$
1210,$\mathsf{MRM}$
1211,$^{*}$
1212,"$s=0,1$"
1213,"$X(x,-x)\equiv 0$"
1214,$F(x):=\mathsf{P}(X\le x)$
1215,$\mathbf {X_{g}}$
1216,$\max X$
1217,"$\{\mathsf{E}[X_i\,Z] \mid \rho(X)=\mathsf{E}[XZ] \}$"
1218,$\rho(X)=\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[X]$
1219,$q=q(p)$
1220,$\rho(\mathsf{E}[X_2\mid X_1])\le \rho(X_2)$
1221,$1/m>0$
1222,"$B\subset [0,1]$"
1223,$g(S(x))=1-p$
1224,"$f:(0,1)\to (0,1)$"
1225,$\mathbf {S}$
1226,"$p_0,\dots, p_{n'}$"
1227,$X_1-X_0$
1228,$\bar P = \bar S + \bar M$
1229,$\mathbf {X_1}$
1230,$\rho(\tilde X)=\rho(X) + \rho(\tilde X-X)$
1231,$\mathsf{E}[(X-a)^+]$
1232,"$u\in D_n=\{ u \mid u^{(k)} \ge 0, k=1,\dots,n-1, u^{(n-1)}\text{ nondecreasing} \}$"
1233,$l(\mathbf X)=(\sum_i X_i^2)^{0.5}$
1234,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[\tilde X-X] \le \rho(\tilde X-X)$
1235,$s=S(x)$
1236,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[Y]=\mathsf{E}[YZ]$
1237,$s_j < 1$
1238,$\bar S(a+da)-\bar S(a)\approx \bar S'(a)da = S(a)da$
1239,$t-1$
1240,$\mathcal D(X+c)=\mathcal D(X)$
1241,"$s\in[0,1]$"
1242,$\mathsf{E}[Yg'(S(X))]$
1243,$p=1-1/n$
1244,$X(\omega)=X_1(\omega)+X_2(\omega)$
1245,"$S(x) + d\,F(x) + (\delta^{\star}-d)\sqrt{S(x)F(x)}>1$"
1246,$\bar S_i(a) := \mathsf{E}[X_i(a)]$
1247,$S(x_#4)$
1248,$1-e^{-\lambda S(x)}$
1249,$\mathcal V$
1250,$\beta>1$
1251,$X_n=n1_A$
1252,$d-1$
1253,$g(S(x))\approx S(x)\approx 1$
1254,$t_0$
1255,$D_1$
1256,$\mathcal E$
1257,$s\uparrow 1$
1258,$Mg(0+)$
1259,$S/L\ge A/L-1$
1260,$\succeq$
1261,$2\mathsf{VaR}_p(X_1) - \mathsf{VaR}_p(X)$
1262,$Y = X + Z$
1263,$)$
1264,$\rho(X)=\mathsf{VaR}_{0.995}(X)-\mathsf{E}[X]$
1265,$\tilde X_2 = X_2 -\mathsf{E}[X_2\mid X_1]$
1266,$p\to 1$
1267,$1-(1-s)^m$
1268,$\mathsf P(T^{-1}(A))=\mathsf P(A)$
1269,$-zf(x)=(d/dx)g(S(x))$
1270,$\rho_X(X_i)$
1271,$P=\rho(X \wedge a)$
1272,$s=0.02$
1273,$F(q^-(p_0))=p_+>p_0$
1274,$\Delta g(S)$
1275,$\Delta$
1276,"$\mu=10, \sigma=2$"
1277,$t=3$
1278,$0\le q\le 1$
1279,$L_a^y$
1280,$l=\sum_i l_i$
1281,$X=30$
1282,$f:I\to\Omega$
1283,$\mathsf{E}[X_2\mid X=x]$
1284,"$f(x,y)=x^3/(x^2+y^2)$"
1285,$g(0+)=\delta$
1286,$S_i(x)$
1287,$h=2$
1288,$g'_\tau(s) = g'(s)/(1+\tau)\ge 0$
1289,$1-\mathsf{P}(X=0)$
1290,$t \ne 0$
1291,"$\mathbf {D^f\rho_{X\wedge 30,X}(X_1)}$"
1292,$\rho=\mathsf{TVaR}_p$
1293,$\kappa_j(x)\approx \mathsf{E}[X_j]$
1294,$\tilde M_i(a) = \bar M_i(a)-\tau_i a_i$
1295,$a>10$
1296,$x^+$
1297,$\pi^{-1}\log\mathsf{E}[e^{\pi x}]$
1298,$A(-X)=-A(X)$
1299,$g(s)=s^{1/3}$
1300,$\{X = x\}$
1301,"$p_1,p_1$"
1302,$0\le x \le 1000$
1303,$U_s$
1304,$\mathsf{Pr}(X< x)\le 0.75 \le \mathsf{Pr}(X\le x)$
1305,"$\{1,2,3\}$"
1306,"$i=0,1$"
1307,$\mathsf{Var}(\Pi)$
1308,$\mathsf{TVaR}_{0.75}(X_1)=10$
1309,$g_k(s)=1-(1-s)^k$
1310,$g'(S_{X}(X))$
1311,$(8t+10t)/2$
1312,$g(S(x_i-))=g(S(x_{i}))$
1313,$\nu + \delta = 1$
1314,$1-1/n$
1315,$\Omega_1$
1316,$\mathsf{Pr}(A\cup B)=\mathsf{Pr}(A)+\mathsf{Pr}(B)$
1317,$\Delta g(S_j)$
1318,$x\leftrightarrow u(x)$
1319,$\eta=0.49$
1320,$X=q(p)$
1321,$\log(\mathit{EER}) = \gamma + \eta  \log(\mathit{PFL}) + \beta  \log(\mathit{LGD})$
1322,$Y=-X_0$
1323,$g'\circ S_{X\wedge a}$
1324,$s_2 - s_1$
1325,$y < q_A(p)$
1326,$\Delta\mathit{MV}$
1327,$g'(s+)$
1328,$\mathsf{Q}(A)=\mathsf{E}[1_AZ]=0$
1329,$w=E[w|s=0.1]=0.06405$
1330,$f'_+$
1331,$f_x=1/S_t$
1332,$S(X(\omega))$
1333,$\rho_2(X)$
1334,$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_t](\omega)=\sum_{i \le t} \omega_i/2^i+2^{-(t+1)}$
1335,$L$
1336,$\partial a/\partial x_1=3x_1/a$
1337,$g(s)\ge 0g(0) + sg(1)=s$
1338,$T:\Omega\to\Omega$
1339,$t>x$
1340,$L^1$
1341,$(a-X_{\mathsf{j}(a)})$
1342,$\alpha=d_i$
1343,"$A=\mathbb Q\cap [0,1]$"
1344,$\mathsf{E}[F_1] > \mathsf{E}[F_0]$
1345,$Q_1\Delta X$
1346,$f(L) \ge 0$
1347,$\rho(X_1)=\rho(X_2)$
1348,$\rho(\tilde X)$
1349,$\mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{Var}(X)$
1350,$F_3$
1351,$\mathsf{CTE}_p(X)$
1352,$1_{U < s}$
1353,$Q_2dX$
1354,$p\to S\to gS \to \Delta gS$
1355,$P\ge (\mathsf{E}[X] + \iota a)/(1 + \iota)$
1356,$\Delta  Q_{gc}(a)$
1357,$g(s) = s^a$
1358,$\mathsf{P}(X=1)=0.6$
1359,$d^\ast = 1-(1-g^\ast)/(1-s^\ast)$
1360,$g(s)=g(1-p)$
1361,$\alpha_{Cat}$
1362,"$D^f\rho_{X\wedge a,X}(X_i(a))$"
1363,$\mathsf{E}[e^{kX}]$
1364,$\tilde{\mathsf{Q}}$
1365,$r_f$
1366,$X = \sum_i X_i$
1367,$x_3(S(x_2)-S(x_3))=x_3f(x_3)$
1368,$\preceq_2$
1369,$\Delta \bar Q$
1370,$m_0$
1371,$(\alpha_i S)'(x)=-\mathsf{E}[X_i\mid X=x]f(x)/x=-\kappa_i(x)f(x) / x$
1372,$Q(a)=1-g(S(a))$
1373,$\bar P_i(x)$
1374,$S\subset T$
1375,$f(L)$
1376,$D_n$
1377,"$\{1+\lambda(f-\mathsf{E} f) \mid f\ge 0, \|f\|_q\le 1 \}$"
1378,$R_M$
1379,$Z_5$
1380,$\mathbf {s_1}$
1381,$q^-=q^+$
1382,$\mathsf{E}[X_i \mid X = x]$
1383,$-\int xd(g\circ S)=\int g(S(x))dx$
1384,$y\not=z$
1385,$1-g_\tau(s)$
1386,$a=\mathsf{E}[X \mid X > q(p)]$
1387,$\rho(aX+bY) = a\rho(X) + b\rho(Y)$
1388,$\rho L = \iota Q$
1389,$W \equiv T_{(1)}=min_k{T_k}$
1390,$\lambda \rho(X)$
1391,$Y=h(Z)$
1392,$y^{\ast}-x^{\ast} < \epsilon$
1393,$\mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[((X-\mathsf{E}[X])^+)^p]^{1/p}$
1394,$U/4$
1395,$D\rho(X_0)=\{Z \}$
1396,$X > A$
1397,$\pi-\lambda\mathsf{E}[X]$
1398,"$\mathsf{Pr}(A)\in [0,1]$"
1399,$1=\mathsf Q(\Omega)\not=\sum_n \mathsf Q(\{n\})=0$
1400,$\sigma=0.25$
1401,$\Delta  \mathit{MV}_{gc}(a)$
1402,$G(x)=\mathsf{Q}(\{X\le x\}) = 1-g(1-F(x))$
1403,$\Phi'(Z(s))Z'(s)=1$
1404,$\bar q_{X_1+X_2}(s) \ge \bar q(s/2)$
1405,$K = 5.029$
1406,$1_{X>x_2}$
1407,$S\Delta X$
1408,$\mathsf{Pr}(X > x)$
1409,"$G(X_1,\dots, X_n)'=(Y_1,\dots, Y_r)'$"
1410,$\mu_L=r_L +\pi$
1411,$X=20$
1412,$\mathsf P(X=\max(X))=0$
1413,$r_a+r_l$
1414,$S_1$
1415,$\mathbf X / l(\mathbf X)$
1416,"$w, 1-w$"
1417,$\mathcal D$
1418,"$ (range.south)+(0, -1) $"
1419,$\mathsf{P}$
1420,$X=\sum_{i=1}^n X_i$
1421,$X_j=x$
1422,$\Omega_a$
1423,$S_j$
1424,$\beta>\alpha$
1425,"$f(W_t,t)$"
1426,$Z=d\mathsf{Q}/d\mathsf{P}$
1427,$\mathbf {Q_{1}\Delta X}$
1428,$p\le S(x^*)$
1429,$\phi(t)$
1430,$S(x)=p$
1431,$U/2$
1432,$\int Zd\mathsf P=1$
1433,$1+t$
1434,$a_{1}'$
1435,$r_h=-0.025$
1436,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[\cdot]$
1437,"$(x_A,g(S(x_A)))$"
1438,$p(1-\nu(p))=p\delta(p)$
1439,$\beta_i$
1440,$1-S$
1441,$p_{\mathit{pr}}$
1442,$g(0+)=\lim_{t\downarrow 0} g(t)\ge 0$
1443,$0\le \pi\le 1$
1444,$\mathsf{E}[cZ]=c\mathsf{E}[Z]=c$
1445,$Z=Z(X)$
1446,$r_a$
1447,"$\int_a^\infty g(S(x))\,dx$"
1448,$\prec X$
1449,"$\{2, 3\}$"
1450,"$(0,1,2,3,4,8,8,8,8,9)$"
1451,$n\ge 3$
1452,$=\mathrm{MV}(a-X)^+$
1453,$g(s)/(1-g(s))$
1454,$\bar P_i(a)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i(a)]=\mathsf{E}[X_i(a)g'(S(X))]$
1455,"$E[Y\,dG/dF]$"
1456,$g(S_X(x))=1$
1457,$q(p)=\inf\{x \mid F_X(x)\ge p \}$
1458,$\mathit{NPV}_{\infty}$
1459,$E[X_1 | X]$
1460,$\beta_D$
1461,$\mathbf {X_{2}}$
1462,$\alpha_i(x)S(x)=\mathsf{E}[(X_i/X)1_{X>t}]$
1463,$\sigma=0.1246$
1464,$F(x;\alpha)$
1465,$D_\infty$
1466,"$(1,3)$"
1467,"$X, Y$"
1468,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}$
1469,$q^-(p)=\mathsf{VaR}_p(X)$
1470,"$i=1,\ldots,n$"
1471,$P/l-1 =\rho= \iota Q / l = \iota(C/l + g)$
1472,$c(x)=\rho(\sum_i x_iX_i)$
1473,$\omega_1=0$
1474,$E_{\mathsf{Q_X}}$
1475,$M_{2}\Delta X$
1476,$S(x_#5)$
1477,"$(\nu,\nu,\dots,\nu,\nu+10\delta)$"
1478,$\mathsf{E}[X\wedge a(X)]$
1479,$\mathcal F'\subset \mathcal F$
1480,$\Delta S_0$
1481,$a_{d}$
1482,$\tilde X(x) = x$
1483,$A/L<1$
1484,$X_n(\omega)$
1485,$\mathsf{E}[X_{d}]$
1486,$\bar P^a(\mathbf{v})$
1487,$\int_0^1 f(s)ds = 1 - \alpha < 1$
1488,$\mathcal{N}_{X}(X_i(a))$
1489,$a-P$
1490,$\rho(X)=\sup_{\mathsf Q\in\mathcal Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
1491,$\mathsf{Q}(A)\le g(\mathsf{P})(A))$
1492,$d=0$
1493,$x\mapsto g(s)+g'(s)(x-s)$
1494,$\mathsf{VaR}_{1-s}$
1495,$\rho_g(X\wedge a)=(\bar L + ra)/(1+r)$
1496,$(a-X)$
1497,$\omega'=1$
1498,$1/6 + 2 /6 + 4/2 + 9/6$
1499,$\rho_a(kX) = \rho(kX \wedge a(kX)) = \rho(kX \wedge ka(X)) = \rho(k(X\wedge a(X))) = k\rho(X\wedge a(X)) = k\rho_a(X)$
1500,"$500mm, enough to materially impair their franchise, is judged to be 0.4%.  This has a corresponding risk-neutral value of 2.5%.  However, they believe that a loss over $"
1501,$(a_1'-a_1)^+$
1502,$X\wedge a=\sum_i X_i(a)$
1503,$\mathbf {a}$
1504,$\int_0^a g(S(x))dx$
1505,"$Q,\iota,M$"
1506,$\mathsf{E}[p]=1$
1507,$p>p^*$
1508,$\{X\ge q(p)\}=\{X \ge 12\}$
1509,$g(1)-g(0)=1$
1510,$g(s)(1-q)$
1511,$(g(S(x^-)-g(S(x)))/(S(x^-)-S(x))$
1512,"$\sum_j X_{i,j}(a)\Delta g(S_j)$"
1513,"$\mathsf{P}(a,b]=b-a$"
1514,"$j=1,\dots,d$"
1515,$Z(\omega)=0$
1516,$l(p)= \nu(p)-\sqrt{(1-p)/p}$
1517,$\int_0^1 g(s)ds - 0.5$
1518,$\rho_{g}$
1519,$\prec_1$
1520,$S\ge (1-\epsilon)\mathsf{E}[X]$
1521,$\alpha(\mathsf{Q})$
1522,$\mathsf{E}[\mathsf{E}[Z\mid X]]=\mathsf{E}[Z]$
1523,$\epsilon v_1$
1524,"$\phi(p) = (1-\alpha)^{-1}1_{[1-\alpha, 1)}(p)$"
1525,$S(M)=0$
1526,$c\ge 0$
1527,$p_1=1$
1528,"$x_{1,i}+x_{2,k(i)}$"
1529,"$(x_1, x_2)$"
1530,$\alpha_i'(x) \to 0$
1531,"$\displaystyle\int_0^{F(a)} \kappa_i(q(p))\,dp + a\alpha_i(a)S(a)$"
1532,$\bar P(a)$
1533,$q(U)$
1534,$\iff\rho$
1535,$F_g(x)$
1536,$Q(a) = 1-P(a)= \nu F(a)$
1537,$\mathsf P(\{x\})=0$
1538,$\mathsf{E}[X_2]=22.75$
1539,$ = \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i\mid X= x]$
1540,$1_V$
1541,$R_Q$
1542,$\mathcal D:=\{X\mid X\preceq_2 Y \}$
1543,"$X_{j,i}$"
1544,$g(1-F(x))=1-\tilde p$
1545,$p'$
1546,$\beta_i(a)g(S(a))$
1547,"$A\subset[0,\infty)$"
1548,$X_1/X$
1549,$x$
1550,$q_{\mathbf{v}}(p)$
1551,$\rho(X) = \rho(X\wedge a) + \rho((X-a)^+)$
1552,$q^-(p)=\sup\ \{ x\mid \mathsf{Pr}(X < x) < p \}$
1553,$1\not\in S$
1554,$\mathsf{VaR}_{0.99}(X)=1100$
1555,$X_n=1/n$
1556,$\rho_g(X)=\mu/b>\mu$
1557,$<1$
1558,$S(X)$
1559,$a=kP+Q$
1560,$X\wedge a = \sum X_i(a)$
1561,$\mathsf{TVaR}_{p_0}(X)=\mathsf{E}[X \mid A]$
1562,$A\subset \{ Z=0 \}$
1563,$Z\circ T_i$
1564,$a(X_i; X)\le \sup(X_i)$
1565,"$Y_{1,2}$"
1566,$M_{2}$
1567,$x \le 300$
1568,$\implies c_i\ge 0$
1569,$F(x)=1-s$
1570,$h(0.9) = 1-\sqrt{0.1} = 0.684$
1571,"$\alpha = 1, \kappa = 0.2$"
1572,$(8)(0.25)+(10)(0.25)=4.5$
1573,$W_0=0$
1574,$Q=S$
1575,$X^{(d)}_i(a):=(X_i-d)^+$
1576,${\mathcal{M}}$
1577,$X = X_1 + X_2$
1578,$V_t$
1579,"$\mathsf P(\{ \omega\mid X(\omega)=X(\omega_0), \omega \le \omega_0 \})$"
1580,$m_3 := m_2$
1581,$g(s)=(s+\iota)/(1+\iota)$
1582,$\iota = \delta/\nu$
1583,$r_X= r_f + \beta_X(r_m-r_f)$
1584,$Z\circ T\in \mathcal Q$
1585,$\mathbf {s}$
1586,$Z\succeq_2 \mathsf{E}[Z\mid X]$
1587,$\rho(X_1) \ge P_1$
1588,$a-X$
1589,$P(A)=1-p$
1590,$10+0$
1591,$\phi'(p)=-g''(1-p)>0$
1592,"$\mathsf{TI,\ MON,\ SA,\ PH}$"
1593,$\Delta_1=a_1'-a_1$
1594,$\mathit{RDS}_k$
1595,$t=-ln(1-p)$
1596,$C_i=c_i$
1597,$\lim_{s\to 1} (g(s)-s)/(1-s) = \lim_{s\to 1} 1-g'(s)$
1598,$\rho_i(X)$
1599,$v(A\cap B) + v(A\cup B)\le v(A)+v(B)$
1600,$\mathsf{TVaR}_{0.5}$
1601,"$X_1, X_2$"
1602,$\rho=\sup$
1603,$\mathsf{E} X + c\mathsf{E}[((X-\tau)^+)^p]^{1/p}$
1604,$m_i$
1605,$\mathsf{E}[g(X_n)]\to \mathsf{E}[g(x)]$
1606,$k\in\mathbb{R}$
1607,$g'(s) = as^{a-1}$
1608,$q(p)=F^{-1}(p)$
1609,$E_4$
1610,"$\psi_{X, m}(u)$"
1611,$f=(1-p)^{-1}1_A$
1612,$<0$
1613,$X=X_1 + X_2$
1614,$G=g$
1615,$-q_{-Y}^-(1-p)$
1616,"$\rho(\lambda P,\lambda R,\lambda a)=\lambda\rho(P,R,a)$"
1617,$1+bf$
1618,$Y_j$
1619,$dP_g/dP_X$
1620,$\mathsf{E}[X|X>x]=x+\mathsf{E}[X]$
1621,$M=g-S$
1622,$FL$
1623,$\int gS(x)dx=\int xg'(S(x))P_X(dx)$
1624,$\mathit{MV}_{ro}(a) = a-\rho(X_{-1}\wedge a)$
1625,$\mathcal V(X)=\mathsf{E}[X]+c\mathsf{E}[X^2]$
1626,$n+1$
1627,$g'(s)=\phi(1-s)$
1628,$X_i(a)\not= X_i\wedge a_i$
1629,$\lim_{x\downarrow x_0} F(x)=F(x_0)$
1630,$F(w) = 1-\exp(-w)$
1631,$\mathsf{E}[X(1_{U_X\ge p}-B)]=\mathsf{E}[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)]$
1632,$B_i^c$
1633,$\Omega_a := \{\omega\in \Omega \mid (X\wedge a)=a \}$
1634,$1/10$
1635,$\mathsf{Q}_k$
1636,$Q_i(a)$
1637,$Q>0$
1638,$r_h-\mu_L$
1639,$s_j$
1640,$\beta g(S)$
1641,$\rho(W)=\mathsf{E}[W]+\lambda\sigma(W)$
1642,$\ge 0$
1643,$E[u_j(W_j - X_j)]$
1644,$\phi((x-\mu)/\sigma)/\sigma$
1645,$X_{2}$
1646,$E[X \wedge x+a]-E[X \wedge a]$
1647,$\mathsf{TVaR}_p(X)=25$
1648,$X-(1+r)T$
1649,"$\int_0^1 a'(tx)\,dt=\int_0^1 a(1)\,dt = a(1)=a'(x)$"
1650,$ (#1)+(#3) $
1651,$g=F_G^{-1}(p_{\mathit{pr}})-1$
1652,$X_{2}(a)$
1653,$g(s)=s(1-s)$
1654,$\mathsf{VaR}_{0.995}(U)-0.5=0.495$
1655,$\kappa_2(10)$
1656,$\lambda < 0$
1657,$\mathit{ROE}(s) = fs/(1-f-s)$
1658,$p_i$
1659,$X_m$
1660,$g(t) = r_0 + (1-r_0)t$
1661,"$Y_{1,1}$"
1662,$s > s^*$
1663,$\theta$
1664,$g(s)=s^{1/2}$
1665,$X\wedge a=a$
1666,$\mathsf{Pr}(X < x)=1/6=\mathsf{Pr}(X\le x)$
1667,$P=l + \iota Q$
1668,$X-Y$
1669,$\log(\mathit{ROL}) = a + b \log(\mathit{EL}) + b X$
1670,$q_{X_1+X_2}(p) \le q_{X_1}(p) + q_{X_2}(p)$
1671,$k\ge 0$
1672,$\Phi'(z)=\phi(z)$
1673,$q^-(p)=\inf \{ x \mid F(x) \ge p \}$
1674,$\rho_X(X_i) \ge \mathsf{E}[X_i]$
1675,"$g'(s)=(1-p)^{-1}1_{[0,1-p]}$"
1676,$X(\mathbf{v})=\sum_i v_iX_i$
1677,$s_0$
1678,"$t=0,1$"
1679,$d^\ast = 2g^\ast-1$
1680,"$(s_1,g(s_1))$"
1681,$g(s)=s$
1682,$0\times\infty=0$
1683,"$\bar Q_{0,t}:=a_{0,t}-\bar P_{0,t}$"
1684,$q_X(p)$
1685,$\rho_c$
1686,$\mathbf {X\wedge a}$
1687,$M(a)=g(S(a))-S(a)$
1688,$\rho(X_n)=\rho(0)=0$
1689,$\mathbf {X}$
1690,"$\displaystyle\int_0^a \kappa_i(x) f(x)\,dx + a\alpha_i(a)S(a)$"
1691,$\bar\iota = 0.12$
1692,$\mathsf P(X=\sup(X))=0$
1693,$\mathsf{E}[Y\mid\mathcal F']=\mathsf{E}[Y]$
1694,$\alpha_2(98)=0.9$
1695,$p\delta(p)/p\nu(p)=\iota(p)$
1696,$g_\tau(1)=1$
1697,"$H(A, L, t)=LH(A/L, 1, t)$"
1698,$g_2F$
1699,$X=X_0+X_1$
1700,"$697.6 billion in 2016, $"
1701,$\bar Q=53.031$
1702,$\mathsf{P}(\{n\})>0$
1703,$c(S\cup\{i\})=c(S\cup\{j\})$
1704,$\mu_L=0.03$
1705,$Q_0=\rho(V_0)=\rho(X_1)$
1706,$g'(s-)=g'(s+)$
1707,$U = X + Y$
1708,$B=B(p)$
1709,$9+1=10+0$
1710,$n=67$
1711,$a(X(\mathbf{v}))$
1712,$v(\Omega)=1$
1713,$p_Y=1-p_R$
1714,"$p\,da$"
1715,$t\mapsto \rho(X+tY)$
1716,$Y^S$
1717,$g'(S(x)) = (1-p)^{-1}1_{x >\mathsf{VaR}_p(X)}$
1718,$E_{\mathsf{Q_X}}[X_i(a)]$
1719,$\rho(X)\le \rho(Y)$
1720,$1-\tilde p=g(1-p)$
1721,$R_f-R_L>0$
1722,$P = \log(\mathsf{E}[e^{\pi X}])/\pi$
1723,$\rho_c(X)$
1724,$X^\star$
1725,$X\wedge a'$
1726,$\mathsf{E}[\Pi]$
1727,$0.675=(6.258/7.613)^2$
1728,$q<1$
1729,$\alpha_1(90) = (0.0909 \times 0.0625 + 0.1 \times 0.0625)/(0.0625+0.0625)=0.0955$
1730,$g(Q)$
1731,"$X_2=0,0,0,0,1,1,1,4,24, 500$"
1732,$\bar P_i$
1733,$Z=\mathsf{E} Z$
1734,$a(X)=3.769$
1735,"$\rho(P,R,a)=\sqrt{(0.4P)^2+(0.25R)^2+(0.1a)^2}$"
1736,$\exp(x)$
1737,$X_j$
1738,"$(anch.west |- lee.north)+(-0.125,0.25)$"
1739,$\ge\mathsf{E}[X_i]$
1740,$g(s)=20s\wedge 1$
1741,$f(x_p)$
1742,$\{X=q_X(p) \}$
1743,$\mathsf{E}[X_i\mid X=x]$
1744,$EL(a)$
1745,$30-11=19$
1746,$x\in\mathbb{R}$
1747,$p_R<0.5$
1748,$\beta_{1}$
1749,$g(S(a))\ge S(a)$
1750,$r=16$
1751,$\beta_i(a)$
1752,$N=71$
1753,$\rho(X_1+X_2)\le \rho(X_1)+\rho(X_2)\le 0$
1754,$a_{gc}$
1755,"$1 between any of the layers, then $"
1756,$\mathcal{M}$
1757,"$\sum_i \rho(X_i, p^*)=a$"
1758,$\int_0^\infty g(S(x))dx$
1759,$t=1-p$
1760,$\rho'(x)=U'(-x)$
1761,$D\rho_X(X_i) \ge \mathsf{E}[X_i]$
1762,$\mathsf{Pr}(B)=\mathsf{Pr}(A)$
1763,$x=\mathsf{VaR}_{0.99}(X)$
1764,$\alpha_i(x)-\kappa_i(x)/x=0$
1765,$x\mapsto |x|$
1766,$\mathsf{Pr}(X_{-1}<a_{ro})=0$
1767,$n\ge 2$
1768,$D$
1769,$S(y_j-)-S(y_j) =\mathsf{Pr}(X=y_j)$
1770,$\sigma(X)>\sigma(Y)=0$
1771,$D\rho_X(X_2)$
1772,$\beta_i(a)g(S(a))=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) \mid X>a]g(S(a))=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X_i/X) 1_{X>a}]$
1773,$\rho_g(X)=\mathsf{E}[X]$
1774,$L_d^l(x)$
1775,$\beta_1g(S)dX$
1776,$p_j=\Delta S_j$
1777,$x<y$
1778,$Z(\omega)>1$
1779,$E[s|t]$
1780,$\mathsf{Q}(A)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[1_A]$
1781,"$C(a)=\int_a^\infty S(x)\,dx + \tau a$"
1782,$\beta=d^\ast-d$
1783,$-0.00002$
1784,$y=0$
1785,$L_X$
1786,$\lambda=0.5$
1787,$g(s)=(1-p)^{-1}s\wedge 1$
1788,$\sum M_i\Delta X$
1789,$1\le x \le 2$
1790,$f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$
1791,"$1,\dots,m$"
1792,$X\in L_p$
1793,$n\mathsf{Pr}(Y\le y_c)$
1794,$x=1.5$
1795,$u^{iv} \le 0$
1796,$1_{X > x}$
1797,$S_{X_i}$
1798,$xS(x)\to 0$
1799,$(a-X)^+=a-(X\wedge a)$
1800,"$j=0,1,\dots, n'$"
1801,$\mathsf{P}(\omega)$
1802,$\bar Q=a-\bar P$
1803,"$\mathbf {X\,p}$"
1804,$SdX$
1805,$\sqrt{p}$
1806,$L^p$
1807,$\mu<0$
1808,$\mathsf{E}[Y_{d}]=\sum_{s>d} \mu_s$
1809,"$X_{i,i}(a)=X_{i,j}\dfrac{X_j\wedge a}{X_j}$"
1810,$\mathscr{M}$
1811,$ so $
1812,$1/4$
1813,$\mathsf{E} X+\lambda\sigma(X)$
1814,$\lambda\ge 0$
1815,$d\bar S(a)/da=S(a)$
1816,$(\alpha S)'(x)=-\kappa_i(x)f(x)/x$
1817,$\sup f=1$
1818,"$X_{t-2,3}$"
1819,$\beta_i(x)/\alpha_i(x)<S(x)/g(S(x))$
1820,$S(M-) > 0$
1821,$\bar\nu a$
1822,$a(1-f)$
1823,$X\succeq Y$
1824,$p_R$
1825,$\mathsf{E}[p]\not=1$
1826,$s_1 < s_2$
1827,$1$
1828,$\mathbb{Q}$
1829,$a_x=1/\lambda$
1830,$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
1831,$\mathsf{E}[1_{U < s}]=s$
1832,"$I=[0,1]$"
1833,$\rho(X)\le 0$
1834,$B(0.5)$
1835,"$i=1,2,\dots$"
1836,$r_D=1-D/L$
1837,"$\min(X,a)$"
1838,$\mathbf {t-1}$
1839,$\Delta S$
1840,$ is the total return on invested assets and $
1841,$\mathsf{E}[(A-L)^+]/\mathsf{E}[L]$
1842,$X(\psi)=X(\omega)$
1843,$X_j\ge 0$
1844,$\mathcal{S}$
1845,"$i=1,\dots, n$"
1846,"$\rho_{a,\tau}(X)=v\rho(X\wedge a) + da$"
1847,"$(brR15 |- lee.south)+(-0.125,-0.25)$"
1848,$n\ge N$
1849,$x_1 \wedge x_2$
1850,$X_s = X_{s_1} + X_{s_2}$
1851,$<p$
1852,$a<b_h$
1853,$\mathsf{TVaR}_p(X) := X_{N-1}$
1854,$c_i=c_j$
1855,$\mathscr{Q}$
1856,$\sigma^2$
1857,"$\Delta_t:=a_{0,t}'-a_{0,t}$"
1858,$\Delta X'$
1859,$F(x)=\mathsf{Pr}(X\le x)$
1860,"$X_{t-2,2}$"
1861,$\rho((X-a)^+)=0.273$
1862,$\alpha-A(n)$
1863,$\mathsf{Pr}(U\le \omega)=\omega$
1864,$\mathsf{E}[XZ]=\mathsf{E}[X\mathsf{E}[Z\mid X]]=0$
1865,$\epsilon\to 0$
1866,$Z(\omega)$
1867,$\mathbf {f}$
1868,$p^-=\mathsf P(X < q_X(p))$
1869,$X(\omega)$
1870,$p < 1/2$
1871,$\phi=v(u^{-1})$
1872,$\Delta X_j$
1873,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i(a)]=\mathsf{E}[X_i(a)g'(S(X))]$
1874,$\rho(X+tY)$
1875,$p\not=0.5$
1876,$\mathscr{O}(f)=\{f \circ T \mid T\in \text{MPT}\}$
1877,$g(s)=m(s)+s$
1878,$\rho(X\wedge a)=\mathsf{E}[(X\wedge a)Z(X)]$
1879,$\mathbf  s$
1880,$\sigma(X)$
1881,$\alpha$
1882,$1/S(x)$
1883,$\mathit{NPV}_1 = 0$
1884,$X_1+X_2\not\in\mathcal A$
1885,$(1-s)\phi'(s)$
1886,$d^\ast$
1887,$\mathbf {\Omega}$
1888,$\mathsf{E}[Y\mid \mathcal F']$
1889,$\mathsf{Pr}(X\le x)$
1890,"$\mu+h\sigma, \sigma$"
1891,$\mathsf{E}_F(h(X))$
1892,$pl_p$
1893,$r=0$
1894,$h = 1$
1895,$1-\exp(-q(p)/\mu)=p$
1896,$\mathsf{Pr}\{a-X\le 10\}$
1897,"$t=0.06405%.  The prior has a material influence on the posterior mean.  This makes the posterior mean a ""conservative"" estimate of $"
1898,"$(2,3)$"
1899,"$j=1,\dots, d$"
1900,$\{X\le x\}$
1901,$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)=8.5$
1902,$L_c$
1903,"$f(x,t)$"
1904,$\rho(X)=\rho(Y)$
1905,$\bar P_d=\mathsf{E}[Y_{d}]+\lambda\sigma(Y_{d})$
1906,"$(x_1,\dots,x_n)$"
1907,$46.156+5.5=51.656$
1908,$h>0$
1909,$x_0 \in \{ x \mid F(x) \ge p \}$
1910,"$\bar P(\mathbf{v}, a)$"
1911,$x\mathsf{E}[X_i/X\mid X>x]$
1912,$x_2(S(x_1)-S(x_2))=x_2f(x_2)$
1913,$r_h=0$
1914,"$S=[0,2\pi]$"
1915,$gn$
1916,$p=F(x)$
1917,$1/g'(s)$
1918,$z(x)$
1919,$-\sigma^2u''(w)\approx -cu'(w)$
1920,$r=0.1$
1921,$\mathsf{CTE}_p(X) := \mathsf{E}[X \mid X \ge \mathsf{VaR}_p(X)]$
1922,$\beta_1$
1923,"$i=1,\dots, M$"
1924,$\mathsf{E}_\mathsf{P}[X]$
1925,$S^{-1}(g_i)$
1926,$\mathbf {\Delta X'}$
1927,$d =\iota/(1+\iota)$
1928,"$\mathsf{E}[X_{t,d}\mid \mathcal F_{\tau}]$"
1929,$Z=g'(S_X(X))$
1930,$E_i\cap E_j = \mathsf{var}nothing$
1931,$i\not\in S$
1932,$s+\delta p$
1933,"$X_1=1+cos(X_3), X_2=1-cos(X_3)$"
1934,"$\mathcal F'=\{\mathsf{var}nothing, \Omega \}$"
1935,$(1-p)^{-1}1_A$
1936,$\rho=P/L-1=M/L$
1937,$F(X)$
1938,$\lambda=$
1939,$\rho_g(X)=352$
1940,$x=0.5$
1941,$A = -\log(p) = 5.298$
1942,$\rho(X_{-1}\wedge a)$
1943,$g'(S)dF(x)$
1944,$-norm by integrating against a function with $
1945,$(X-d)^+$
1946,"$x=1000,2000,\ldots$"
1947,$\mathsf{E} X +\lambda {(X-\mathsf{E} X)^+}_1$
1948,$\int_0^\infty S(x)dx$
1949,$a=100$
1950,$+ \mathit{PV}_{r_f}(\text{Inv Inc tax})$
1951,$S(x_1)(x_2-x_1)$
1952,$\mathsf{E}[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)] = 0$
1953,$m=q(p)$
1954,$wx + (1-w)y\in C$
1955,$m_X$
1956,$A(\text{Bernoulli})$
1957,"$X,Y$"
1958,$\tilde Q$
1959,"$Y_{0,2}$"
1960,"$\mathbf {X\,\Delta g(S)}$"
1961,$E[T]=s$
1962,$\max(X)<\infty$
1963,$\rho(Z_2)$
1964,$\alpha_2SdX$
1965,$\mathbf {x_0}$
1966,$c\ge 1/2$
1967,$g(s)=\dfrac{s+\iota}{1+\iota}$
1968,"$X_i(\mathbf{v}, a)$"
1969,$X \prec_n^* Y$
1970,"$X\wedge a'=\min(X, a')$"
1971,$d=2$
1972,$s^\alpha$
1973,$X(x)=\sum_i x_iX_i$
1974,$Z(\omega):=(d\mathsf{Q}/d\mathsf{P})(\omega)$
1975,"$\{\, (\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i], \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]) \mid \mathsf Q\in\mathcal Q \, \}$"
1976,$1/6\le x < 2/6$
1977,$p\ge r\ge 1$
1978,$\mathbf{B}(0)=\mathbf{P_0}$
1979,$Q=(a-EL)/(1+\iota)$
1980,"$\rho(P,R,a)$"
1981,$t\mapsto v^t$
1982,$\{ X=x\}$
1983,$\omega \in \Omega$
1984,"$j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)$"
1985,$0.375/1.5 = 0.25$
1986,"$a(v_1(1+\epsilon),v_2)=a(v_1,v_2)+da$"
1987,$M_i$
1988,$\alpha_i$
1989,$p=1-\exp(-t)$
1990,$\rho(X - b)=\rho(X)-b\le 0$
1991,"$\boldsymbol{j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)}$"
1992,$x\ge 0$
1993,$\rho(\lambda X) \le\lambda\rho(X)$
1994,"$(1,1,\dots,1,1)$"
1995,$\mathbf {\Delta X}$
1996,"$1-p, p$"
1997,$\mathsf{Pr}(X_n\in A)\to\mathsf{Pr}(X\in A)$
1998,$S(x)=(k/(k+x))^\beta$
1999,$p = 0$
2000,$x_1$
2001,$x=X(1-g^{-1}(1-\tilde p))$
2002,$s < 1$
2003,$\cdot$
2004,$a'=a(1+r)$
2005,$\phi(\cdot)$
2006,"$i \in \{1,\dots,4\}$"
2007,$\gamma=r_f$
2008,$\Delta A$
2009,$P(X_{-1}(a))$
2010,$0\le\lambda\le 1$
2011,$\max$
2012,$\Omega_0$
2013,$0\le v\le 1$
2014,$Y(\omega)=1$
2015,$Q=A-P$
2016,$0.75$
2017,$a+y$
2018,$\mathsf{Pr}$
2019,$0.25$
2020,$s=\mathit{EL}$
2021,"$(1-g(S(x)),x)$"
2022,$\nu+10\delta$
2023,$1=ps_g + (1-p)s_b$
2024,$U(1)=2$
2025,$\Phi(-d^*)>0$
2026,$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[|X-\mathsf{E}[X]|^p]^{1/p}$
2027,$x\to\infty$
2028,$g(pq)=g(p)g(q)$
2029,$\frac{d}{dp}(1-p)^{-1}=(1-p)^{-2}=q^{-2}$
2030,$\rho(X)<\infty$
2031,$X_0=\mathsf{E}[X]$
2032,$\mu_L=r_L + \pi$
2033,$\mathsf{E}[X_i(v_i)]=v_i\mathsf{E}[X(1)]$
2034,"$k=(0.04, 0.4)$"
2035,"$A,B$"
2036,$\Delta S=p$
2037,$N(1-p)$
2038,"$(\omega'=1, \omega'')\in B_k$"
2039,$\sum\mathsf{E}[C_i^2]=\sum m_i(1+v_i^2)$
2040,"$p_0,\dots, p_m$"
2041,$\tilde Z$
2042,$\tilde X+X$
2043,$dF(x) = dp$
2044,$x_0 < \mathsf{TVaR}_{p_0}$
2045,$\lambda\sigma$
2046,$Z_j$
2047,$m'(1) \to -1$
2048,$g(S_j)$
2049,$g(s(t)) = m(t)+s(t)$
2050,$A\subseteq \mathbb{R}^N$
2051,$f(x)\ge f(x_0) + s(x-x_0)$
2052,$p=0.9982$
2053,$a=10$
2054,$\mu + \lambda\sigma$
2055,$\beta<\alpha$
2056,$Z\ge 0$
2057,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X]=\mathsf{E}[XZ]$
2058,$\bar\nu(x)$
2059,$6.258$
2060,$\rho(X)=-\rho(-X)$
2061,$-\sigma^2/2$
2062,$k>0$
2063,$r = 0.12$
2064,$\mathsf{E}[Z \mid X]\preceq_2 Z$
2065,"$(3,4)$"
2066,$dG/dF=r(x)$
2067,$F_0=2.5$
2068,$F_g(b)-F_g(a)=g(S(a)) - g(S(b))$
2069,$P_g$
2070,$\bar S$
2071,$p=F(a)=1-s$
2072,$Z(\omega)<1$
2073,$\alpha\equiv 0$
2074,$Var(G)=c^2$
2075,$a = a(X)$
2076,"$x\in\Omega=[0,1]^N$"
2077,$1_{U_X\ge p}=1$
2078,$r_h<0$
2079,$g(S(x_i)-g(S(x_i-))$
2080,$F(a)$
2081,$\mathbf {q}$
2082,$\mathbf {d}$
2083,$L_d^{d+l}(x)=(x-d)^+ \wedge l$
2084,$\psi(0)=1-\mathsf{Pr}(Y=0)=1-\mathsf{Pr}(M=0)=\frac{1}{1+r}$
2085,$X_3$
2086,$\mathsf{E}[XB]$
2087,$\bar P(a+y) - \bar P(a)$
2088,$\bar P$
2089,$x_{i+1}$
2090,$-X_2$
2091,$M_2\Delta X$
2092,$(1+r)\mu$
2093,$\bar P^a$
2094,$\ge p$
2095,$\displaystyle\int_0^\infty u(x) g'(S_X(x)) dF_X(x)$
2096,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i \mid X]$
2097,"$\omega\in [k2^{-m}, (k+1)2^{-m}]$"
2098,$p=2$
2099,$X=98$
2100,"$0\le U, V\le 1$"
2101,$Y'$
2102,$\mathbf {\mathsf{P}(X_1)}$
2103,$\displaystyle\int_0^\infty xf(x)dx$
2104,$(1-g(s))/(1-s)$
2105,$0<p\le 1$
2106,$g(s)=1\wedge s/(1-p)$
2107,$\kappa_1(10) = \mathsf{E}[X_1\mid X=10]$
2108,$\bar q(s)=(k/q)^{1/\alpha}$
2109,$Y_n\to Y$
2110,$\rho(nX)= \rho(X+\cdots + X)=\rho(X)+\cdots +\rho(X)=n\rho(X)$
2111,$I^\star$
2112,$\mathsf{Q}(\Omega_a) >0$
2113,$a/X$
2114,$q_1(t)=t$
2115,$\mathbf{B}'(1) = -3\mathbf{P_2}+3\mathbf{P_3}$
2116,$k\ge 1$
2117,$X_{1}(a)$
2118,$\Delta(X\wedge a)$
2119,$P = S + M$
2120,$(0.304-0.2)/(1-0.304) = 15$
2121,$\omega_2$
2122,$\mathsf{E}[h(X_i)L(X)]$
2123,$P/S-1$
2124,$g(s)/s$
2125,$C(t)$
2126,"$h(x)=\sup_{s\in[0,1]} g(s)-sx$"
2127,$t=4$
2128,$\rho(X)=\max_\mathsf{Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
2129,$i^*$
2130,$g(1)=1$
2131,$C'_1+\cdots + C'_n$
2132,$s_1$
2133,$BY \succ AR$
2134,$0.8 \times 1.2 = 24/25$
2135,$(g(s)-s)/(1-g(s))$
2136,$a = 8.1484$
2137,$Y\circ T_i$
2138,$p=0.9999$
2139,$Z_X$
2140,"$X_{0,1},X_{0,2},\dots, X_{0,N}$"
2141,$Z=0$
2142,$-k$
2143,$v(A)=g(\mathsf{P}(A))$
2144,"$\bar P_i(\mathbf{v}, a)$"
2145,$B_p$
2146,$a_i=x_i(\partial a/\partial x_i)$
2147,$N$
2148,$\sup$
2149,$q_X(p)\le q_Y(p)$
2150,$S(x)=s$
2151,$X\preceq_n Y$
2152,"$y,z\in X$"
2153,$\Omega_0 \times \Omega_1$
2154,$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[((X-\tau)^+)^p]^{1/p}$
2155,$df/dx=f$
2156,$\mathsf{TVaR}_p(X)$
2157,$X=8$
2158,$\mathbf {\mathsf{P}(X_2)}$
2159,$Q\in\mathcal{Q}$
2160,$0.125$
2161,$s < p$
2162,$P(X_{-1}\wedge a)$
2163,"$n=1,2,\dots, m-1$"
2164,$S(x)\approx 1$
2165,"$X_2=(0,1,2,3,4,8,6,4,0,9)$"
2166,$1.5$
2167,$q_X(p) = X(T(p))$
2168,$1-m\le 1$
2169,$v_f(\mathsf{E}_Q[X_i] - \dfrac{\mathsf{E}_Q[X_i]}{\mathsf{E}_Q[X]}\mathsf{E}_Q[(X-A)^+])$
2170,"$k=1,\dots, n-1$"
2171,$\rho_g(X)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]$
2172,$X_{-1}+X_{0}$
2173,$p<0.05$
2174,$\delta$
2175,"$\gamma([0,p])=C(p)$"
2176,$10$
2177,$T(U)$
2178,$\rho_a(X+c) = \rho((X+c)\wedge a(X+c)) = \rho((X+c)\wedge (a(X)+c)) = \rho((X\wedge a(X))+c) = \rho((X\wedge a(X))) + c=\rho_a(X)+c$
2179,$\bar M_t$
2180,"$x~\text{Unif}[0,1]$"
2181,$g'(S(X))$
2182,$\tilde Z=\mathsf P(X=\sup(X))^{-1}1_{X=\sup(X)}$
2183,$\bar P(a+da) -\bar P(a)$
2184,$X(x)=1/x$
2185,$x=\mathsf{VaR}$
2186,$\beta_2g(S)dX$
2187,$\sigma(X_d)$
2188,$\mathsf Q(X>a)/\mathsf P(X>a)$
2189,$\mu(dp)$
2190,$c=(g-s)/(g(1-g))$
2191,$X\wedge a=a=90$
2192,$\sigma(W)$
2193,$1\le p\le \infty$
2194,$X=4$
2195,"$\sigma(L^\infty, L^1)$"
2196,$\mathsf{E}[X^n]$
2197,$p_0\not= p_1$
2198,"$a_{0,0}'=a_{0,0}$"
2199,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i \mid X=x] = \mathsf{E}[X_ig'(S_X(X)) \mid X=x]/\mathsf{E}[g'(S_X(X)) \mid X=x] = \mathsf{E}[X_i \mid X=x]$
2200,$\mathbf {K}$
2201,$\{\omega\mid X(\omega) > x\}$
2202,$P_i$
2203,$\lambda_2\not=1$
2204,$p>0.9$
2205,$E(X^k)=E(Y^k)$
2206,$\mathsf{E}[X_i \mid X=q(p)]$
2207,$\mathsf{E}[Z \tilde X]$
2208,$\bar P_t$
2209,"$\Omega=\{ 1,2,3,4,5,6 \}$"
2210,$p<0.7$
2211,"$a=10,20,40,50,60$"
2212,$-\infty+\lambda=-\infty$
2213,$\mathbf {g(s)}$
2214,$x=y$
2215,$d=0.1/1.1$
2216,$\beta_2>\alpha_2$
2217,$k(h):=\log\mathsf{E}[e^{hX}]$
2218,$=\displaystyle\int_0^\infty x dF(x)$
2219,$\mathcal Q=\{\mathsf Q_k\}$
2220,$a(f + (1-f)/q)$
2221,$\lfloor x \rfloor$
2222,$A\in\mathcal F$
2223,$v(A)=\lambda(\pi_1(A))$
2224,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X - a)^+] = \rho((X - a)^+)$
2225,$n\to\infty$
2226,$\mathsf{EPD}$
2227,$\Longleftarrow$
2228,"$\eta_{p,\alpha}$"
2229,$\Omega$
2230,$\mathsf{QCX}$
2231,$\omega=\omega'$
2232,$\mathbf {M_{1}\Delta X}$
2233,$g(S_{\mathsf{j}(a)})(a-X_{\mathsf{j}(a)})=(0.5)(80-11)=34.5$
2234,$z_p=\Phi^{-1}(p)$
2235,$g_1(s)=s^{0.4}$
2236,"$1-e^{-\lambda S(\mathsf{PML}_{n, \lambda})}=1/n$"
2237,$q^-(U)$
2238,$s=\exp(-a/b)$
2239,$F(x)\ge p\iff q^-(p)\le x$
2240,$(P-L)/L=P/L-1$
2241,"$[p,1]$"
2242,$F_2$
2243,"$\{H,T\}$"
2244,$a(1-p) + \mu p - \sigma\phi(z_p)$
2245,$\rho(b-X)=b+\rho(-X)$
2246,$s<1$
2247,$g''(s)=-s^{3/2}/4$
2248,$D^n\rho_X(X_1)=6.2048$
2249,$\Delta X\wedge a$
2250,$v=1/(1+r)$
2251,$(1-p)^{-1/2}/4$
2252,$T(X):=y\wedge (X-r)^+$
2253,$x=S^{-1}(g^{-1}(u))$
2254,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X\mid A]$
2255,$\mathsf{Q}(\{\omega_i\})=0$
2256,$A(X+c)=A(X)+c$
2257,$P \le \dfrac{S}{\lambda} \approx \dfrac{\mathsf{E}[X]}{\lambda}$
2258,$\mathit{EGL}_{gc}(a)$
2259,"$c\in[0,1/2]$"
2260,$\mathbf {X_{1c}}$
2261,$\sigma=2.58$
2262,$dp=\exp(-t)dt$
2263,$a_x=4$
2264,"$\beta_i(a) = \dfrac{\sum_{j:X_j>a} (X_{i,j}/X_j) \Delta g(S_j)}{\sum_{j:X_j>a} \Delta g(S_j)}$"
2265,$X = X\wedge a + (X - a)^+$
2266,$(1-p)/(p\nu_p^2)$
2267,$u$
2268,$\omega$
2269,$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X+tX_1)$
2270,"$\rho_g(X)= \sum_j X_j\,\Delta g(S_j)$"
2271,"$X_1,\dots,X_n$"
2272,$D\rho_{X}(Y) \subset D\rho_{X\wedge a}(Y)$
2273,$\lambda=\dfrac{1}{1+\rho}$
2274,$q^-(s)=\mathsf{VaR}_s(X)$
2275,$v_i$
2276,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X\wedge a] \le \rho(X\wedge a)$
2277,"$p=0.01, 0.02, \dots, 0.99$"
2278,$\mathsf{VaR}\_p(X)$
2279,$a_0$
2280,$0\le b\le 1$
2281,"$A=(a,b]$"
2282,$a(\mathbf{v}) =\mathsf{TVaR}_p(X(\mathbf{v}))= (1-p)^{-1}\int_p^1 q_{\mathbf{v}}(s)ds$
2283,$-g$
2284,$q^-(p) := \sup\ \{x \mid F(x) <   p \} = \inf\ \{ x \mid F(x) \ge p \}$
2285,$p(\omega)\ge 0$
2286,$D/L>1$
2287,$-m_2/(1-s_2)$
2288,$g(1-F(x))=1-p$
2289,$h(1_{X\le a})$
2290,$E(\pi)$
2291,$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)$
2292,$b-X\ge 0$
2293,$Z = \sum_j X_j$
2294,$X+Z$
2295,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X\wedge a] = \rho(X\wedge a)$
2296,$\mathsf{VaR}_{0.75}(X)=90$
2297,$\mathsf{E}[X_0] + \mathsf{VaR}_p(X_1)$
2298,$QR_Q = aR_A + PR_L$
2299,$x=\lambda y + (1-\lambda)z$
2300,$dS=-dF$
2301,$s \to 1$
2302,$\tilde M(a)=\bar M(a)-\tau a$
2303,$\kappa_i(x)=\mathsf{E}[ X_i \mid X = x]$
2304,"$(ccc.south |- mcc.south)+(0,-0.5)$"
2305,"$[0,1]\to[0,1]$"
2306,$p=\infty$
2307,$\bar P(a) = \rho_g(X\wedge a)$
2308,$0<p<1$
2309,$\rho_1(X)>\rho_2(X)$
2310,$s(t)$
2311,$\rho(W_1\wedge a_0)$
2312,$0.8 \le p < 0.9$
2313,$\epsilon_2$
2314,$k=0$
2315,$1-2c\mathsf{Pr}(Z>\mathsf{E} Z)$
2316,$\Delta X_j=X_{j+1} - X_j$
2317,${X}_p=\mathsf{E}[|X|^p]^{1/p}$
2318,$\iota:1$
2319,"$x_{2,1}$"
2320,$Y_{d}=\sum_{s>d} X_{s}$
2321,"$\phi(x_1,...,x_n)$"
2322,$Z\in\mathcal Q$
2323,$\iota^\ast$
2324,$X-P$
2325,$g(s)q=0.1839$
2326,$X_2=x-t$
2327,"$X_{t+2,1}$"
2328,$\mathsf{MON}$
2329,$G(x)= 1-g(1-F(x))$
2330,$g'(s)\to\infty$
2331,"$\mathbf {g(S)\, \Delta X}$"
2332,"$j \in \{5,\dots,8\}$"
2333,"$\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$"
2334,$e^{-r_Dt}$
2335,$\rho((X-a)^+)$
2336,$Q_t$
2337,$X_0 < \dots < X_{N-1}$
2338,$\mathbf {Z_6}$
2339,"$B_4 = [\epsilon_1, \epsilon_2]$"
2340,$a(w_1X_1+w_2X_2;X)=w_1a(X_1;X)+w_2a(X_2;X)$
2341,$(P-L) / (A-P)=$
2342,$AR\succ BR$
2343,$a(x)=xa(1)$
2344,$X(\mathbf{v})$
2345,"$x_{1,1}$"
2346,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i\mid X\le a](1-g(S(a))) + a\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i/X\mid X >a]g(S(a))$
2347,"$d, r>0$"
2348,"$\phi(s)= g'(1-s) = \frac{1-w}{1-p_0}1_{[p_0, 1)}(s) + \frac{w}{1-p_1}1_{[p_1, 1)}(s)$"
2349,"$S\subset \Omega=\{1,\dots,N\}$"
2350,$x\le 0$
2351,$S_0=1$
2352,$0=\mathsf{Pr}(X<1)<\mathsf{Pr}(X\le 1)=1/6$
2353,$f(x)=|x|$
2354,$\mathbf {\mathsf{P}(X)}$
2355,$S_t \ge 0$
2356,$p=F(a)$
2357,$\Psi^{-1}(t)=\log(-\log(t))$
2358,$\mathsf{E}[e^{X_t}]=e^{\mu t + \sigma^2t /2}$
2359,$q(U_X) > m$
2360,$\mathsf{var}(\sum C_i)=\sum (m_i v_i)^2 = n(mv)^2$
2361,$Y_s=(Y\mid Y\le y_c)$
2362,$\mathsf{P}(d\omega)$
2363,$h(0)$
2364,$P_i/v_i$
2365,$\mathsf{E}[X_1\mid X_1+X_2=x]=mx/(m+n)$
2366,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_1]$
2367,$\lambda > 0$
2368,"$c(1,2) - c(2)$"
2369,"$(0,1]$"
2370,$t<0$
2371,$\mathsf{COMON}$
2372,$\beta_i(x)/\alpha_i(x)> 1 > g(S(x)) / S(x)$
2373,$\int_0^\infty (1-F(x))dx=\int_0^\infty xdF(x)$
2374,$(dW_t)^2=dt$
2375,"$\mathbf {\Delta\,g(S)}$"
2376,$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)=3699$
2377,$g(0^+) = r/(1+r)$
2378,$x\mapsto 1/x$
2379,$m\in\mathbb{R}$
2380,$\mathsf{VaR}_{0.7}(X_i)=-\log(0.3)=1.204$
2381,$-S(a)+\tau=0$
2382,$\rho(c)\ge c$
2383,$\beta_i(X)$
2384,$0.8\le p<0.9$
2385,$\mathsf P(X \le q_X(p)) > p$
2386,$1/X$
2387,$\displaystyle\int_0^1 X(p)dp$
2388,$\mathsf{E}[X\tilde Z]$
2389,$\rho_c\leftrightarrow\mathcal Q$
2390,$U(X)\ge U(Y)$
2391,$\lambda X_1 +(1-\lambda) X_2$
2392,$\mathbf {a_{1}'}$
2393,$\mathsf{E}[X\mid t+d]$
2394,$MV = \bar Q + \mathit{NPV}_{\infty}$
2395,$g(s)=1-(1-s)^m$
2396,$g(0.05)=0.05\nu + \delta=0.1364$
2397,$\mathbf {pK}$
2398,$\min_{\eta\in \mathbb{R}} \eta + \alpha \mathsf{E}[(X-\eta)^+] -\beta\mathsf{E}](X-\eta)^-]$
2399,$g(S(x)) = 1 - h(F(x))$
2400,$\mathsf{E}[X]=k/(k+\beta)$
2401,$g(s)\le s$
2402,$L_1$
2403,$X_1=1000$
2404,$S$
2405,$x < y$
2406,$\mathsf{Pr}(E)$
2407,$p>0.5$
2408,$\mathsf{E}[p] \le 1$
2409,$\mathsf{E}[1_A]$
2410,$x=(y-\mu)/\sigma$
2411,$a\to\infty$
2412,$X+tX_1$
2413,$M = \beta g(S)-\alpha S$
2414,$0 < \nu = 1-\delta < 1$
2415,$d=(\log(a/S_0)-(r-\sigma^2/2)t)/\sigma\sqrt{t}$
2416,$X(\omega)=1/\omega$
2417,$1/n$
2418,$H(X)>-H(-Y)$
2419,$s/(1-p) \wedge 1$
2420,$\mathbf {\beta_{1}}$
2421,$\Phi$
2422,$\lambda y=x$
2423,$\mathsf{MON'}$
2424,$g'(S_X(X))$
2425,$b<1$
2426,$X\mapsto \mathsf{E}[XZ]$
2427,$w < s$
2428,$m_2$
2429,$\mathsf{Pr}(X\in A)=0$
2430,$\le c$
2431,$n-1$
2432,$qX$
2433,$\bar P_2$
2434,"$(4,3)$"
2435,$(X_i)_i$
2436,$20+10t$
2437,$s=1-\alpha$
2438,$Z=d\mathsf Q / d\mathsf P\ge 0$
2439,$X_i(a) = aX_i/X$
2440,"$c(1,2,3)-c(2,3)$"
2441,$\sum_i q_iX_i$
2442,$\mathsf{Pr}({\omega})=1/6$
2443,"$\mathbf {X'\,\Delta g(S)}$"
2444,$\kappa_j(x)/x > \alpha_j(x)$
2445,$a_i'$
2446,$-\int xdS=\int Sdx$
2447,$c\ge 1$
2448,$f(P)=\mathsf{E}[f(X)]$
2449,$\mathbf{B}(1)=\mathbf{P_3}$
2450,"$\bar Q_{0,0}:=a_{0,0}-\bar P_{0,0}$"
2451,$p_- < p_0 < p_+$
2452,$\mathbf {\Delta gS}$
2453,$g'(t)=1-r_0$
2454,$q(p)=\mathsf{VaR}_p(X)$
2455,$g(0+):=\lim_{s\downarrow 0}g(s)$
2456,$z\ge 0$
2457,$\mathsf{E}[W]$
2458,$      \& $
2459,$A\setminus B$
2460,$(k_1!)(k_2!)\dots$
2461,$Q(x)=1-P(x)$
2462,$\sup(X)$
2463,$\mathbf {F(x)=\mathsf{Pr}(X\le x)}$
2464,$1=\delta+\nu$
2465,$=1/\lambda-1=(1-\lambda)/\lambda$
2466,$U_X$
2467,$\mathsf{Pr}(X_n=0)=1-1/n$
2468,$q_X$
2469,$\mathit{EGL}_{ro}(a)$
2470,$\mathsf{E}[\cdot\mid X]$
2471,"$i=1,2,\dots,10000$"
2472,$Z=z(X)$
2473,$\{X > x \}$
2474,$X_{\mathsf j(a)+1}>a$
2475,$g_j<1$
2476,$\rho(X)=0$
2477,$\sum_i x_iX_i$
2478,$Xq$
2479,$\phi(p)=g'(1-p)=b(1-p)^{b-1}$
2480,$N=1000$
2481,$A\subseteq \mathbb{R}^n$
2482,$a=90$
2483,$S_m=\mathsf{P}(X>X_m)=0$
2484,"$g:[0,1]\to [0,1]$"
2485,$q(p)$
2486,$g(s)=\nu s+\delta$
2487,$m=$
2488,"$q(p)\phi(p)\,dp$"
2489,$q^+(p)=\sup\ \{ x\mid \mathsf{Pr}(X < x) \le p \}$
2490,$x>\mathsf{VaR}_p(X)$
2491,$a(\mathbf{v})=\mathsf{TVaR}_p(\mathbf{v})=\mathsf{E}[X\mid X > q_{\mathbf{v}}(p)]$
2492,$\hat x > x$
2493,$\text{VaR}_{0.99}$
2494,$P_X\{X=M\}=0$
2495,$X=X_0+X_{-1}+X_{-2}+X_{-3}$
2496,$x>0$
2497,"$X_{i,j}$"
2498,$a_1=\int_0^1 (\partial a/\partial x_1)dt=\partial a/\partial x_1$
2499,$1=\bar\nu+\bar\delta$
2500,$(1-p)/p=1$
2501,$s=S(a)$
2502,$\partial\rho(Z)$
2503,$\mathbf X$
2504,$\rho(W_1\wedge a_1 \wedge (a_0-X_1))=\rho(W_1\wedge a_1)$
2505,$\sum_i \kappa_i(x)=x$
2506,$g(s)=s^{0.4}$
2507,$(g(s_0)-g_0)/s_0 \ge g'(s_0)$
2508,$X_n(0)=1$
2509,"$X_{t,2}$"
2510,$W=Z$
2511,$\phi(x):=(2\pi)^{-1/2}\exp(-x^2/2)$
2512,$g(s)=\sqrt{s}$
2513,$1-p=S(x)$
2514,$p(\delta_p-il_p)$
2515,$\alpha(X)$
2516,$=1$
2517,$g''$
2518,$f=f_X$
2519,$dW_t\approx W_{t+dt}-W_t$
2520,$X(\omega_1) > Y(\omega_1)$
2521,$H_g(X) \le H_g(Y)$
2522,$M:=\max(X)$
2523,"$0,10,20$"
2524,$1/9=0.11\dot 1$
2525,$a=80$
2526,$n-2$
2527,"$((0, x), (1-p, p))$"
2528,$P=D=L/(1+R_L)$
2529,$w(A)\le v(A)$
2530,$2^{20}\approx 1$
2531,$^{**}$
2532,$\mathsf{LI}\iff\mathsf{SSD}$
2533,$p_j$
2534,$P$
2535,$s_0<s<s_1$
2536,"$\mathsf{E}[X_i] + \pi(X)\mathsf{cov}(X_i, X)/\mathsf{SD}(X)$"
2537,$0.97$
2538,$s_j\Delta_j$
2539,$\rho_g(X)=$
2540,$kX$
2541,"$s=(0.02, 0.3)$"
2542,"$\{f' \in L_q \mid f'=1+f-\mathsf{E} f,\  \|f\|_q\le c \}$"
2543,$\sup X=\mathsf{E}[XZ]=\int XZ$
2544,$\rho(W_1\wedge a_0)-\bar P_0$
2545,$f(x)=2$
2546,$F(X) - F(X-)$
2547,$v(A)$
2548,"$\mathsf{P}(\omega', \omega''_0)=\mathsf{P}(\omega',\{\text{any }\omega''\})\mathsf{P}(\{0,1\}, \omega''_0)$"
2549,$\alpha=$
2550,$u = \beta_i(x)S(x)$
2551,$b=0.53$
2552,$\bar\delta(a)=\bar\iota(a)/(1+\bar\iota(a))$
2553,$a(X_i;X) \ge 0$
2554,$\kappa_i$
2555,$\kappa_i(t)/t$
2556,$g''_\tau(s)=g''(s)/(1+\tau)\le 0$
2557,$\omega\mapsto Z(\omega)=g'(S(X(\omega)))$
2558,$x_2$
2559,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i] = \mathsf{E}_\mathsf{Q}[\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i \mid X]]$
2560,$a_i=\mathsf{E}[X_i\mid X\ge \mathsf{VaR}_{p^**}(X)]$
2561,$\mathsf{TVaR}(0)$
2562,$\mathcal Q(X)$
2563,$s < s_0$
2564,$\mathsf{E}[Z \mid X]$
2565,$\mathcal M_\rho=\{ m \}$
2566,$f(p)=\alpha(1-\alpha)(1-p)^{\alpha-1}$
2567,"$L_a^{a+y}(x)=\min(y, \max(x-a,0))$"
2568,$(X-a)^+$
2569,$\omega''$
2570,$0.20$
2571,$g(X_n)=1$
2572,$M_i\Delta X$
2573,$p=0.01$
2574,$w=0$
2575,$\mathsf{E}_\mathsf{Q_k}[X_j]$
2576,$f'_-(x)=\lim_{h\uparrow 0} (f(x+h)-f(x))/h$
2577,$B_1 \succ A_1$
2578,$1-f$
2579,$v_f(\mathsf{E}_Q[X_i] - \mathsf{E}_Q[X_i/X(X-A)^+])$
2580,$X_0 < X_1 < \dots < X_{n'}$
2581,$F(a)=\mathsf{P}(1_{X\le a}=1)$
2582,$a=$
2583,$Q_{2}\Delta X$
2584,$\kappa_i'(x)=1$
2585,$X'\Delta S$
2586,$a=\alpha(X)$
2587,$X_2=1000$
2588,$\alpha(\mathsf P)=0$
2589,"$h(p)=p/(1+\iota(p))=\nu(p)\, p$"
2590,"$s,p$"
2591,$F(x)=u$
2592,$a_i = \mathsf{VaR}_p(X) - \mathsf{VaR}_p(\sum_{j\not=i} X_j))$
2593,$z(X)$
2594,$n_s\ge 0$
2595,$x_6^1+x_6^2=10+1=11=x_6$
2596,$g(S(x)$
2597,$0\le \lambda \le 1$
2598,$(\mu-\sigma^2/2)t$
2599,$(\delta^{\star}-d)\sqrt{S(x)F(x)}$
2600,"$\alpha_p = 1- (\| (X-\eta_{p,\alpha})^+\|_{p-1} / \| (X-\eta_{p,\alpha})_- \|_{p})^{p-1}$"
2601,$\alpha (1-s)^\alpha/(1-s)$
2602,$d\to\infty$
2603,$p(\nu_p-l_p)$
2604,$g(s)=s^2$
2605,$a=a(\mathbf{v})$
2606,$\int_0^1 1-g(s)ds=1-\int_0^1 g(s)ds < 0.5$
2607,$X_i>0$
2608,$i= \alpha/(1-\alpha)$
2609,$\rho(X_0) = \mathsf{E}[X_0Z]$
2610,$X\ge x$
2611,$Z(x)=g'(S(x))$
2612,"$c = 1.0, 1.5$"
2613,$a_{d}=a(Y_{d})$
2614,$\mathsf{SD}(X)$
2615,$-A(-X)$
2616,$t\ge 0$
2617,"$\Omega=\{0,\dots,99\}$"
2618,$g'(S(x))\ge 0$
2619,"$p~\text{Unif}[0,1]$"
2620,$R_A=R_f$
2621,$\mathsf{VaR}_p(X)=q^-(p)$
2622,$E(u(X)) \le E(u(Y))$
2623,$\rho_g(V)= g(F(x^*)) \ge F(x^*)=\mathsf{E}[V]$
2624,$\mathsf{E}[X]+\lambda\sigma(X)$
2625,$\mathsf{Pr}(\{\omega \})= 1/100$
2626,"$(2,-\x*0.75)$"
2627,$\mathsf{Pr}(A\le t)= 1/2 + \mathsf{Pr}(U\le t) /2 = 1/2 + t/2$
2628,$a \ge 1$
2629,"$\mathsf{biTVaR}_{0,p}^w(X)$"
2630,$\iota^\ast = (g(s^\ast)-s^\ast) / (1 - g(s^\ast))$
2631,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i]$
2632,$g'(s)\ge 0$
2633,$\mathsf{E}[X]+k\mathsf{Var}(X)=a(X)$
2634,"$X:\Omega\to [0,\infty]$"
2635,"$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)=\int_0^{1000}g(S(x))\,dx$"
2636,$\rho(X_n)\to \rho(X)$
2637,$\lambda_{obj}$
2638,$W_0$
2639,$cv=0.287$
2640,$0=q(0)=q(Y+(-Y))\le q(Y) + q(-Y)$
2641,$g_\tau(0)=0$
2642,$\mathsf{P}(X=1)$
2643,$\mathsf{Pr}(X\le y) < p$
2644,$0.41$
2645,$\mathsf P(X=q_X(p))>0$
2646,$p=0.8$
2647,$\kappa_1(10)$
2648,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X+tY]$
2649,"$[0,p)$"
2650,$a_1'$
2651,$S(x)=1-\Phi((x-\mu)/\sigma)=\Phi(-(x-\mu)/\sigma)$
2652,$X_{t+1}$
2653,$X=0$
2654,$p\mapsto g(1-p)$
2655,$\downarrow$
2656,$X\wedge 20$
2657,$\mathsf{TVaR}_1( X )$
2658,"$x_1, x_2$"
2659,$\bar P_{2}$
2660,$\Sigma$
2661,$B\subset A$
2662,$\bar P=\mathsf{TVaR}_{p^\ast}(X)$
2663,$\bar P^a_g(X_i\subseteq X)$
2664,"$\mathcal{M} = \{ f \mid \|f\|_q\le c, f\ge 0 \}$"
2665,$X \preceq_m Y$
2666,$qX_i$
2667,$\mathsf{E}[X_i\tilde Z]=\rho_g(X)/2$
2668,$X \prec_n Y$
2669,$\bar\iota=0.10$
2670,$a=18000.0$
2671,$\mathsf{TVaR}_{0.95}(X)=1000$
2672,$s_0/2^{n+1}$
2673,$\delta(x)$
2674,$H[X]$
2675,"$x_1,x_2$"
2676,$>100$
2677,$\mathsf{Pr}(X\ge q(p))>1-p$
2678,$dh - h_x dx = (r_h-\mu_L)(h-h_x x)dt$
2679,$\alpha<1$
2680,$2.576\times 6.258$
2681,$\mathsf{TVaR}_{p*}(X)=a$
2682,$\kappa_i(X) = X_i$
2683,$a_i = a(X_i; X)$
2684,$\rho(X_n(t))+t\pi$
2685,$\mathsf{TVaR}_{p}$
2686,$g(A)/p=59.142$
2687,$Z(S_X(x))=-(x-\mu)/\sigma$
2688,$\nu=1-\delta$
2689,$\{\omega\in\Omega\mid X(\omega)\le x\}$
2690,$X_n= X_g-X_c$
2691,$s^*$
2692,$\bar P_{0}$
2693,$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{SD}(X)$
2694,$\rho(X_0+\epsilon Y)=\mathsf{E}[(X_0+\epsilon Y)Z_\epsilon ]$
2695,$X\wedge 30$
2696,$k+1/2$
2697,$X'=\mathsf{E}[X\mid A]$
2698,$\mathsf{Pr}(X_i>\bar q(s))=s$
2699,$\lambda=5$
2700,$D_3$
2701,$\ge c$
2702,$\kappa_i(X)$
2703,"$\mathsf{PH,SA,CX}$"
2704,$\phi:=\rho\circ F$
2705,$u_j(x) = 1 - exp(-\lambda_j x)$
2706,$M_{1}$
2707,$X-V$
2708,"$\bar P_i = \sum_{j} X_{i,j}\Delta g(S_j)$"
2709,$f(t)$
2710,"$[0, \epsilon_1]$"
2711,$\pi=1$
2712,$a_l \le 1$
2713,$\rho=\mathsf{E}$
2714,$P_g\not\ll P_X$
2715,$\delta_i=\delta$
2716,$\mathbf {X_1pK}$
2717,$p_Y>0.5$
2718,$-g'(1-p)<0$
2719,$\rho(X+Y) = \rho(X) + \rho(Y)$
2720,"$(0.5,1]$"
2721,$F(x_0)=p_+$
2722,"$(X_i, X)$"
2723,$\mathsf{E}[X_i\sum_j w_jZ_j]=\sum_iw_j\mathsf{E}[X_i Z_j]$
2724,$\beta_i(x) =\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X_i/X\mid X>x]=\mathsf{E}[(X_i/X)g'S(X))\mid X>x]$
2725,$l(kX)=k\rho(X)$
2726,$\int udv = uv - \int vdu$
2727,$\mathbf {Q_2\Delta X}$
2728,"$\mathcal F_0=\{\mathsf{var}nothing, \Omega\}$"
2729,$r_P-\mu_L$
2730,$\bar P(a)=\displaystyle\int_0^a g(S(x))dx$
2731,$g(x) = (x-\mu)^2$
2732,$\mathsf{biTVaR}(Y)=\mathsf{TVaR}_{p^\ast}(Y)$
2733,$\mathsf{E}[(X_i/X)g'(S(x)) \mid X > x]$
2734,$0$
2735,$p=1-g(1-F(x))$
2736,$\bar S_i(3463)$
2737,$X=X(\omega)$
2738,$\int_0^1$
2739,$D/L=\mathsf{E}[A\wedge L]/\mathsf{E}[L]$
2740,$\esssup(X)g(0-)$
2741,$\tilde p$
2742,$\bar P'$
2743,$\sum_i E[X_i|anything]\le _{cx} \sum X_i \le_{cx} F_{X_i}^{-1}(U)$
2744,$\bar{\mathbf  M}$
2745,$\lambda = \lambda_0+\lambda_1$
2746,$X_{-2}=C_1 + \cdots + C_n$
2747,$X_{0}$
2748,$\rho_g = \int g(S)$
2749,$a={{break_even}}$
2750,$x=q(1-g^{-1}(1-\tilde p))$
2751,$\mathsf x\mathsf{TVaR}_p(X):= \mathsf{TVaR}_p(X)-\mathsf{E}[X]$
2752,$0.5\le p^* \le 0.75$
2753,$X(\omega)=1$
2754,$P(a)=S(a)+\delta F(a)$
2755,$\mathsf{TVaR}_{1-c\epsilon}(X) = \mathsf{VaR}_{1-\epsilon}(X)$
2756,$q(p)=S^{-1}(1-p)$
2757,$d_i= i/(1+i)$
2758,$P=\sum_i P_i$
2759,$B_i$
2760,$a_1=a(W_1)$
2761,$\rho=\esssup=\mathsf{TVaR}_1$
2762,$\sigma(X)^2$
2763,$g'(s)=1/(1-p)$
2764,$0.4$
2765,$f'_+(x)=\lim_{h\downarrow 0} (f(x+h)-f(x))/h$
2766,$g'(1)=1$
2767,$\mathcal Q_1$
2768,$X\le m$
2769,$dt^2$
2770,$q=p$
2771,$\sigma_d = \mu_d/5$
2772,$Q_0$
2773,$X_t=X_{t+1}$
2774,$g(s)=0.1995$
2775,$\log(0)=-\infty$
2776,$\mathsf{VaR}_p(X_1)$
2777,$W_t$
2778,$Z_{\tilde X}$
2779,$U<u$
2780,$\mathsf{P}(A\mid B)=\mathsf{P}(A\cap B)/\mathsf{P}(B)$
2781,$\mathcal{A}$
2782,$1/q$
2783,$\mathsf{E}[X_i]/x$
2784,$M=\sup(X)\le\infty$
2785,$B(X)=-A(-X)$
2786,"$N_1=m, N_2=n$"
2787,$g(0+)$
2788,$X(\omega)= 1-\sqrt{1-\omega^2}$
2789,$M(a)=\delta F(a)$
2790,$Q_t=\rho(\mathsf{E}[X\mid t])$
2791,$\mathsf P(X=\max(X))>0$
2792,"$\{4,5\}$"
2793,$h(x)=f(x)/S(x)$
2794,$S\Delta X\wedge a$
2795,$r_U$
2796,$(c(S\cup \{i\})-c(S))$
2797,$\mu(dp)=f(p)dp$
2798,$X\preceq_2 Y$
2799,$\mathbf {\min a}$
2800,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]=\infty$
2801,$v(E)$
2802,$\{Z\circ T\mid T:\Omega\to\Omega\text{\ PPT}\}$
2803,$6/6$
2804,$\Phi(\Phi^{-1}(s) + \lambda)$
2805,"$[0, -k]$"
2806,$\rho(X)=\mathsf{E}[f_X X]$
2807,$\mathsf P(X=\mathsf{VaR}_p(X))>0$
2808,$\rho(W_0\wedge a_0)=\bar P_0 +\bar P'$
2809,$U(t)$
2810,"$\sum_i a(X_i, p^*)=a$"
2811,$p=1-s$
2812,$q_{X_1}(p)+q_{X_2}(p)=q_{X_1+X_2}(p)$
2813,$\mathsf{E}[X_i\mid X\le a]F(a) + a\mathsf{E}[X_i/X\mid X >a]S(a)$
2814,$8.5$
2815,$M_{1}\Delta X$
2816,$\bar P_i(a)$
2817,$T_i$
2818,$L_0^y$
2819,"$\mathbf {g(S)\,\Delta X'}$"
2820,$\mathsf{E}_Q\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge A)\right] + \delta A \mathsf{E}_Q[X_i/X\mid X > a]$
2821,$2$
2822,$\rho(c)=\rho(0+c)=\rho(0)+c$
2823,$U_X(\omega)=F(X(\omega)-) + V(\omega)(F(X(\omega)) - F(X(\omega)-))$
2824,$s = 1-10^{-15}$
2825,$s/g(s)$
2826,$\bar F(a)=\int_0^a F(x)dx = a-\bar S(a) = \bar Q(a) + \bar M(a) = \mathsf{E}[(a-X)^+]$
2827,$a(W)=\mathsf{E}[W] + 4\sigma(W)$
2828,$\alpha f$
2829,$\{\omega\in\Omega \mid X(\omega)=x\}$
2830,"$[0,1]$"
2831,$1/(1-p)$
2832,"$(0,0),\ (1,0),\ (1,1)$"
2833,$\omega_i\in B$
2834,$g'(1)=\alpha$
2835,$\mathsf{E}[Xe^{\pi X}]/\mathsf{E}[e^{\pi X}]$
2836,$\le 1$
2837,$-\rho(-X)$
2838,$f_{opt} = 1-s/g$
2839,$g(S(x_i-))-g(S(x_{i-1}))$
2840,$\Delta \mathit{MV}_{ro}(a)$
2841,$Q_i=a_i-P_i$
2842,$0.0476/(1-0.0476)=0.05$
2843,$q=0.9215$
2844,$c\ge \mathsf{E}[cZ]$
2845,$f(x)dx$
2846,$\mathcal F'$
2847,$p=\Phi((a-\mu)/\sigma)$
2848,$\nu (1-s)$
2849,$g'(1-s)$
2850,$P(X_{-1}\wedge a_{ro})=9196.39$
2851,$\omega_0$
2852,$g_2(s) = 2s/3 + 1/3$
2853,"$\mathbf {X_{i,j}}$"
2854,$x^\ast$
2855,$2/3$
2856,$\iota(s)=w/(1-w)$
2857,$\kappa_i(x) = \mathsf{E}[X_i \mid X=x]=\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i \mid X=x]$
2858,$\phi(0)=0$
2859,$\log(S) =\mu t$
2860,$a\le (P(1+\iota)-S)/\iota$
2861,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[\cdot]$
2862,$g'(s_1) \ge (1-g(s_1))/(1-s_1)$
2863,"$U, V$"
2864,$s^{0.642}$
2865,$\kappa_i(x)=mx/(m+n)$
2866,$\mathbf {n}$
2867,$C\mathsf X$
2868,$s_0=1$
2869,"$\Omega=\{1,2\}$"
2870,$\kappa_i(x) = \mathsf{E}[X_i \mid X=x]$
2871,$x' - \mathsf{E}_\mathsf{P}[X]$
2872,$\rho(X_0)=\mathsf{E}[X_0Z]$
2873,$X\mapsto\int X(\omega)Z(\omega)\mathsf(d\omega)$
2874,$\rho(X_0+\epsilon Y)-\rho(X_0)$
2875,"$\sigma_A,\sigma_L$"
2876,$P(a)=g(S_X(a))$
2877,$Z_\epsilon\to Z$
2878,$a\beta_1g(S)$
2879,"$\mathsf{biTVaR}_{p,1}^w$"
2880,"$(s^\ast, g(s^\ast))$"
2881,$a^\star$
2882,$\beta_i(x)$
2883,$\mathbf {\alpha_2S\Delta X}$
2884,$\rho(X)=1.169$
2885,$U(\omega)=\omega$
2886,${X}$
2887,$D^f\rho_{X;\tilde X}(X_i)$
2888,"$d(g(S(x)))/dx=-g'(S(x))\,dF/dx$"
2889,$S(x+a)$
2890,$\rho(0)=0$
2891,$\succeq^2$
2892,$\rho(\lambda X)=\lambda \rho(X)$
2893,$q(p) \times \phi(p)dp$
2894,$E(X_{-1}(a))=\bar S_0(a)$
2895,$q_2(t)=t^2$
2896,$\sigma^2=\sigma_A^2 + \sigma_L^2 - 2\rho\sigma_A\sigma_L$
2897,"$(0.5, 0.5)$"
2898,$a_l<b_l$
2899,$\rho(W_2)$
2900,$\lambda\in\mathbb R^+$
2901,$\mathsf{E}[(X-a)^+]/\mathsf{E} X$
2902,$a_i:=\bar Q_i(a)$
2903,$\mathbf {X_2/X}$
2904,"$, if $"
2905,$M = rK$
2906,$g'(1)=\phi(0)$
2907,$b< \alpha$
2908,$x=A/L$
2909,$-\rho(-X_i)$
2910,$q^+$
2911,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X\wedge a]$
2912,"$t,t'$"
2913,$\rho=\mathsf{VaR}_p$
2914,$g(0+)=0$
2915,$a_{ro}$
2916,"$\mathsf{E}_{P_g}[\mathsf{E}[X_i\mid X]]=\int_{[0,\infty]} \mathsf{E}[X_i\mid X=x]Z(x)P_x(dx)$"
2917,$2.576\times 11$
2918,"$j=7,8,9$"
2919,$1_{U>p}$
2920,$\int X=0$
2921,$\mathsf{j}(0)=0$
2922,$0<\alpha\le 1$
2923,$g'(S(x))>1$
2924,$r_f /(1+ r_f)$
2925,$X_c$
2926,$-q(-Y)$
2927,"$[1,\infty)$"
2928,$4.75$
2929,$D_c$
2930,"$X_{t-2,1}$"
2931,$L<d$
2932,$\mathsf P$
2933,$22.75$
2934,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X\wedge a] + \tau a$
2935,"$w,N,K$"
2936,$\mu = \sum \mu_i$
2937,$x\le y$
2938,$x_{(j)}$
2939,$\mathsf{Pr}(X>\mathsf{VaR}_p(X))>1-p$
2940,$\mathsf{E}[X\wedge a] = (1-e^{-a\beta})/\beta$
2941,$(r-i)\sum_t Q_t$
2942,$\gamma(ds)$
2943,$Z=20\cdot1_A$
2944,$X_n(\omega)= 1$
2945,$F_0 = P_{act}-\mathsf{E}_{rn}[U]$
2946,$\mathsf{Var}(X)$
2947,$f=(1-p)^{-1}1_{W}$
2948,$\rho(X_n)=0$
2949,$1_{X\le a}$
2950,$af\le 1$
2951,$ for estimates $
2952,$X+W$
2953,"$\mathsf{biTVaR}_{0,1}^w(X)=(1-w)\mathsf{E}[X]+w\sup(X)$"
2954,$\mathsf{TVaR}_p(X)=\mathsf{E}[X\mid X >\mathsf{VaR}_p(X)]$
2955,$gS$
2956,$-\rho(-X)\le \mathsf{E}[X] \le \rho(X)$
2957,$\Delta X_7$
2958,$Z=\tilde X_2$
2959,$a\alpha_i(a)=\kappa_i(a)$
2960,$\mathsf{Pr}(X < x)\le 0.99 \le \mathsf{Pr}(X\le x)$
2961,$\mathsf{E}[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)]\ge 0$
2962,$B-p(\nu(p) + il(p))$
2963,"$(0,0,0,0,0,0,5,0,0,5)$"
2964,$\mathsf{VaR}_p(X)=q_X^{-}(p) = \sup \{ x\mid F_X(x) < p \}$
2965,$\omega\in\Omega$
2966,$g=0$
2967,$\bar P(a)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}(X\wedge a)$
2968,$L_0^a$
2969,$-5.91$
2970,$\bar q_{X_1+X_2}(s)=q_{X_1+X_2}(1-s)$
2971,$\Pi=B-p\nu(p)$
2972,"$Y_{2,1}$"
2973,$U(a)=-s$
2974,$\rho(X+Y) = \rho(\lambda(X/\lambda) + (1-\lambda)(Y/(1-\lambda))))$
2975,$\mathsf{E}_G(X)$
2976,$\mathbf {\beta_{2}}$
2977,$P(x)$
2978,$r=(1+\bar\iota)/(1+\tau)-1$
2979,$\rho(-X)=-\rho(X)$
2980,$R_L=-k R_f + \beta_L(R_M-R_f)$
2981,$\mathbf {\Sigma}$
2982,$g(t)$
2983,$N := \lceil (1-p)M \rceil$
2984,"$a_i=\mathsf{E}[X_i] + k\mathsf{cov}(X_i, X)$"
2985,$\mathsf{Pr}(X\le x)=0$
2986,$\{2\}$
2987,"$(\nu,\delta)$"
2988,$p\to\infty$
2989,$1\le\lambda$
2990,$P_1=\mathsf{E}[X_1g'(S_X(X))]$
2991,$\rho E/(1-\tau) - rA$
2992,$x\mapsto x^{1/2}$
2993,"$j=0,\dots,m=8$"
2994,$\beta_i(a)/\alpha_i(a) > 1$
2995,$=\displaystyle\int_0^\infty x f(x)dx$
2996,$a_l-1<0$
2997,$F_X(x):=\mathsf{Pr}(X\le x)$
2998,$F_Y^{-1}(V)=q_Y(V)$
2999,$Z_{\mathit{lin}}$
3000,$\mathsf{E}[f(X-\pi P)] = f((1-\pi)P)$
3001,$0\le p_0\le p^*\le p_1\le 1$
3002,$log(x)$
3003,$\mathsf{P}(A) = \mathsf{E}[1_A]$
3004,$\rho(X)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X]$
3005,$\nu=\nu(a)<1$
3006,$X_1$
3007,$X(\cdot)$
3008,"$Z=(0,0,0,0,0,0,0,0,5,5)$"
3009,$Z_{\mathit{lift}}$
3010,"$\mathbf{B}:\left [0,1 \right ] \ni t \mapsto (x(t),y(t)) \in \mathbb{R}^2$"
3011,$\mathcal Q(X)=\{ \mathsf Q\in\mathcal Q\mid \rho(X)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X] \}$
3012,"$(\Omega, P)$"
3013,$0 \le p<1$
3014,$\mathsf Q_X$
3015,$\mathbf {M_{1}}$
3016,$\mathsf{E}[X]=1/\beta$
3017,$n < N-1$
3018,$\bar P(x)=\int_0^x P(t)dt$
3019,$\mathsf{E}[g'(S(X))]=1$
3020,$F(x_0)\ge p$
3021,$X-a$
3022,$Z\not=0$
3023,$\rho(\cdot)$
3024,$p = (1-s)$
3025,$p=0.417$
3026,$(j)$
3027,$\mathsf{E}[X_1\mid X=x]$
3028,"$\int_{[0,1]}$"
3029,$y^{\ast}:=\min(y)$
3030,$\mathsf{E}|X|<\infty$
3031,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X] = \rho(X)$
3032,"$ (MA.south)+(0, -1) $"
3033,$q^-(U(\omega))$
3034,$Q_2\Delta X$
3035,"$\mu=0.1, \sigma=0.15$"
3036,$\mathsf{Pr}(X > q_{\mathbf{v}}(p))=1-p$
3037,$P_X(dx)$
3038,$Y_{2}$
3039,$Q_1dX$
3040,${}^nS_X(t)\le {}^nS_Y(t)$
3041,$(0.5)(20)+(0.5)(30)=25$
3042,$\rho(X)\not=\sum_i\rho(X_i)$
3043,"$M\subset \{1,\dots, n\}\setminus \{i, j\}$"
3044,$u(x)=(1-e^{-\pi x})/\pi$
3045,$55+0.675\times 3.807=57.572$
3046,$D \rho(X_0)$
3047,$\alpha(1-f)$
3048,$90$
3049,$L_{250}^{\infty}(x)$
3050,$\mathsf{Pr}(X < x) \le 0.1 \le \mathsf{Pr}(X\le x)$
3051,$d\mathsf{Q}/d\mathsf{P} = g'(S(X))$
3052,$\mathsf{E}[XZ_\epsilon]\to \mathsf{E}[XZ]$
3053,$q(1)=\infty$
3054,"$(p,q(p))$"
3055,$\prec_2^*$
3056,$1/r$
3057,"$\mathbf{v}=(v_1,\ldots,v_n)$"
3058,$\rho(X+X_i)=\rho(X)+\rho(X_i)$
3059,$\displaystyle\int$
3060,$\mathsf{E}[X1_{U_X\ge p}]\ge \mathsf{E}[XB]$
3061,$\alpha_i(x)<\kappa_i(x)/x$
3062,$\mathbf {\mathsf{E}[X_i\wedge a_i]}$
3063,"$\{1,2,3,4,5,6\}$"
3064,"$(X_1,\dots, X_n)'$"
3065,$1_A(x)=0$
3066,$X_{-4}=x$
3067,$\mu-\sigma^2/2$
3068,$s(1)=s_3=1$
3069,$g(x)=0$
3070,$L_0^{a+y}=L_0^a+L_a^{a+y}$
3071,$x_{#4}$
3072,$\mathsf Q(A)=\mathsf{E}[Z1_A]$
3073,$n\ge 1$
3074,$\mathsf{E}[X_m\mid X_{m+n}=x]=mx/(m+n)$
3075,$\mathsf{E}[X]=28$
3076,$2.576$
3077,$Q_j=1-g(S_j)$
3078,"$B_2=[0,0]$"
3079,$\sum c_i^2$
3080,$X_i(v_i)$
3081,$\alpha_i(a)S(a)$
3082,$X(\omega)=0$
3083,$\lambda=(1-\alpha_p)^{-1}$
3084,$g_i$
3085,$U \ge U_s$
3086,$\bar P = a - \bar Q$
3087,$p(1-\nu(p)-il(p))$
3088,$Z_{a}(x)=g(S_X(a))/S_X(a))$
3089,$X(\omega_1)<X(\omega_2)$
3090,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]\le \mathsf{E}_\mathsf{Q}[Y]$
3091,$\mathsf{E}[Y\mid \mathcal F']=\mathsf{E}[Y\mid X]=\mathsf{E}[X+Z\mid X]=X +\mathsf{E}[Z\mid X]=X$
3092,$x>a'$
3093,"$0.1, 0.4, 0.5,\dots, 0.9$"
3094,"$I(q,p) \ne I(p,q)$"
3095,$k=-\log(p)/u$
3096,$S(x_{i-1})-S(x_{i})=S(x_i-(x_i-x_{i-1}))-S(x_i)=-S'(x'_i)(x_i-x_{i-1})=f(x'_i)(x_{i}-x_{i-1})$
3097,"$x,y\in C$"
3098,$g^{-1}(x)\le s$
3099,$\mathsf{Q}(A)=2\mathsf{P}(A\cap B)$
3100,$f(x) < f(y)$
3101,$\bar S(a):= \mathsf{E}[L_0^a(X)]=\mathsf{E}[X\wedge a]$
3102,$\iota^{\star}$
3103,$\zeta_{s} = \Phi^{- 1}(s)$
3104,$Z(\omega)=\dfrac{1}{1+r}\dfrac{\mathsf Q(\omega)}{\mathsf{P}(\omega)}$
3105,$\iota$
3106,$\mathsf{E}[X_ih(X)]$
3107,$d^* = D/L^*$
3108,"$\rho(X) = \max\{\rho_c(X), \mathsf{TVaR}_{0.8}(X) \}$"
3109,$S(x)=1$
3110,$g(s)=\Phi(\Phi^{-1}(s)+\lambda)$
3111,$\rho_g(X)<\infty$
3112,$M=\iota Q$
3113,$q + 2pq + 3p^2q+\cdots=q(1+2p+3p^2+\cdots)=1/q$
3114,$g'(1-p^* )=1$
3115,$-1$
3116,"$ In general, define $"
3117,"$(4,2)$"
3118,$\alpha=1$
3119,$\mathsf{E}[X \mid X \ge x] = \mathsf{E}[X 1_{X \ge x}] / \mathsf{Pr}(X \ge x)$
3120,$\alpha_{Cat} \le \beta_{Cat}$
3121,$\rho(X)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
3122,$R_S$
3123,$dt$
3124,$\mathsf{Pr}(X\ge x_0)=p_-$
3125,$E_i\in\mathcal F$
3126,"$\bar P_{0,0}:=\rho(Y_{0,0})$"
3127,$a_1 < a_0-X_1$
3128,$ is different from the contact function $
3129,$t < 2/3$
3130,"$\omega\in[0,1]$"
3131,"$h(x):=H(x, 1, t)$"
3132,$g(s)=3s$
3133,$\mathbf {X_1/X}$
3134,$\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)^+]$
3135,$\{ Z\mid \rho(X)=\mathsf{E}[XZ] \}$
3136,$\mathsf{E}[X_iZ]=\rho_g(X)/2$
3137,$\rho(X) \ge \mathsf{E}[X]$
3138,$p=0.5$
3139,"$\lambda\rho(X) + (1-\lambda)\rho(Y) \le \max(\rho(X),\rho(Y))$"
3140,$\{n_s\}$
3141,$S(X_0)$
3142,$r_m$
3143,$X_i=X_i(a)$
3144,$\bar Q_{act} = \bar Q - F_0$
3145,$\beta_i/\alpha_i$
3146,$\mathsf{E}[X_i/X \mid X > x]$
3147,$\bar P(a)= (1-e^{-a\alpha\beta})/(\alpha\beta)$
3148,$S(x)=e^{-x/\mu}$
3149,$m_i\ge0$
3150,$M(x)/(1-S(x))$
3151,$\mathsf{E}[X \mid \mathcal F_0]$
3152,"$(r,c)$"
3153,$r\le 0$
3154,$\mathsf Q\in\mathcal Q$
3155,"$X\,\Delta S$"
3156,$Z=(1-p)^{-1}1_{X>q_X(p)}$
3157,$\mathsf{E}[X]=\sum_{\omega\in\Omega}  X(\omega)\mathsf{Pr}(\omega)$
3158,$d(g(S(x))/dx=g'(S(x))f(x)$
3159,$p={{p}}$
3160,"$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[Y]=\mathsf{E}[Y\,g'(S(X))]$"
3161,$v\in V$
3162,$\rho(\tilde X_1)=\rho(X_1) + \mathsf{E}[X_2]$
3163,$\mathsf{E}[B]=p$
3164,$\iota=0.10$
3165,$\hat p > p$
3166,"$C(S_0, a, t)$"
3167,$c = 0.5(0.5)2.5$
3168,$M = 0.603$
3169,$A/(A-P)$
3170,"$A,B,C,D$"
3171,$h=\sin(77 s)$
3172,$g(s)=1-(1-s)^3$
3173,$\mathsf{CTE}_{p_0}=\mathsf{E}[X \mid X \ge x_0]$
3174,$\phi\in \mathcal E$
3175,$F_1 \prec_1 F_0$
3176,$\mathsf{E}[u(w-X)] = u(w-c)$
3177,$\lim_{s \downarrow 0}1/g'(s)$
3178,$\Delta_j =g'(s_j-)-g'(s_j+)=\phi((1-s_j)+)-\phi((1-s_j)-)$
3179,$\Omega_0:=\{\omega\in \Omega\mid X(\omega)=\max(X)\}$
3180,$f(s)\le s$
3181,$\bar\iota(a)$
3182,$h(X)=(X-\mathsf{E} X)$
3183,$j>0$
3184,$n=1$
3185,$S_0$
3186,$g(S(x))=g(S(x-))=1$
3187,$\mathsf{E} X + c\mathsf{E}[((X-\mathsf{E} X)^+)^p]^{1/p}$
3188,$\mathsf{E}[hY]$
3189,$A\subset\mathbb{R}$
3190,$f(p)=(1-p)\phi'(p)=-(1-p)g''(1-p)$
3191,$\mathsf{TVaR}_0( X )=\mathsf{E}[X]$
3192,$ then $
3193,$\epsilon_1$
3194,$i>0$
3195,"$0, 1, 90$"
3196,$\beta_1<\alpha_1$
3197,$\nu p$
3198,"$n=1, p=1/{{p}}={{pf}}$"
3199,$q(U)=F^{-1}(U)$
3200,$\sqrt{0.1}=0.316$
3201,$L(X)=e^{kX}/\mathsf{E}[e^{kX}]$
3202,$\ge 0.95$
3203,$\mathsf{E}[X_i \mid X=x]$
3204,$vL + da$
3205,$g'(s)=\nu$
3206,$b=0.5$
3207,$a < b_h$
3208,"$(-\x*.8, 2*2)$"
3209,$L>d$
3210,"$a_{0,2}$"
3211,$\mathbf {s_0}$
3212,$\mathsf{E}[Z\mid X>a]=g(S(a))/S(a)$
3213,$a_i=a(X_i; X)$
3214,$\dot f(t)=a(x)$
3215,$A^c$
3216,$P_i \ge \mathsf{E}[X_i]$
3217,"$\mathsf P((a,b])=b-a$"
3218,$\mathbf {g_1(s)=s^{0.4}}$
3219,$1-p$
3220,$\lim_{s \downarrow 0} s/g(s) = \lim_{s \downarrow 0}1/g'(s)$
3221,$\rho_\mu$
3222,$\mathsf{EPD}_\pi(X)$
3223,$\bar F(a)$
3224,$\mathsf{E}[Z_i\mid X] \ne \mathsf{E}[Z_j \mid X]$
3225,$\mathbf {Q_1\Delta X}$
3226,$P(X_{0}(a_{gc}))$
3227,$20+8t>20+10t$
3228,$b=1$
3229,$p_0 = p^\ast = p_1$
3230,$Z\in L^1$
3231,$Y$
3232,$g(S(x))=u$
3233,$\phi'(s)\ge 0$
3234,$x\mapsto (x-d)_+^{n}$
3235,$\{X \le x^*\}$
3236,"$X_1=0,0,0,0,1,1,2,3,20, 400$"
3237,$m_1=m_2$
3238,"$\dfrac{\partial\rho}{\partial P} = \dfrac{0.4^2 P}{\rho(P,R,a)}$"
3239,$\mathbf {t+3}$
3240,$u = g(S(x))$
3241,$\mathsf{E}[X_2Z]$
3242,$\rho(X)=g(q)$
3243,$\bar M=\bar P-\bar S$
3244,$(1-p)^{-1} \min_x x(1-p) + \mathsf{E}[(X-x)^+]$
3245,$q_Y(1-U)$
3246,$h(s)$
3247,$f^{-1}(A)\in\mathcal B$
3248,$(1-p)^{-1}\mathsf{E}[X_i1_{X\ge x_p}(X)]$
3249,$\beta_1g-\alpha_1S$
3250,$X_2(a)$
3251,$g'(s)=bs^{b-1}$
3252,$\mathsf P(A)=1-p$
3253,$dF(x)$
3254,"$(0,g_0)$"
3255,$\kappa_1(X)$
3256,$x \mapsto -x$
3257,$A(1_{X>x_1} + 1_{X>x_2})= A(1_{X>x_1}) + A(1_{X>x_2})$
3258,${Z}_p \le c$
3259,$X:\Omega\to\mathbb{R}$
3260,$C_1+\cdots + C_n$
3261,$\mathsf{E}[Y_d]$
3262,$\mathbf {\alpha_1}$
3263,$\tilde X\wedge a$
3264,$d+v=1$
3265,"$\Omega=[0,1]$"
3266,$q_Y$
3267,$D\rho_X(\cdot)$
3268,$\mathbf {X_2}$
3269,$g^{-1}(u)$
3270,$\sum_{i}X_{i} = X$
3271,$g_{ROE}$
3272,$>1-p$
3273,$\mathsf{Pr}(X < x)$
3274,$a=\mathsf{VaR}_{1-\tau}(X)$
3275,$\mathsf{Pr}(X < x) \le 1/6 \le \mathsf{Pr}(X\le x)$
3276,$h(x):=f(x)/S(x)$
3277,$X_n(\omega)=1$
3278,$\mathbb{R}$
3279,$S_Y$
3280,$\chi^2$
3281,$X=X' + X''$
3282,$(X\wedge a)\Delta g$
3283,$\rho(X)=\mathsf{E}[h(X)L(X)]$
3284,$f(x)\approx 0$
3285,$ but if $
3286,$Q=(a-EL)/(1+r)$
3287,$a\ge 0$
3288,$N=5$
3289,$\mathsf{Pr}(E')=1-\mathsf{Pr}(E)$
3290,"$D_n,D_n^*$"
3291,$\{ X=x \}$
3292,$X_d$
3293,$P=g(s)$
3294,$\int xdF(x)=\int xf(x)dx$
3295,$X({\mathbf{v}})$
3296,$g(s)=s^{0.9}$
3297,"$X_{t,1}$"
3298,$x=X(p)$
3299,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i]=\mathsf{E}[X_ig'(S(X))]$
3300,$\hat s$
3301,$\sigma_i^2$
3302,"$(1-s, 1-g(s))$"
3303,$\ge$
3304,$h(p)$
3305,$\kappa_1(x)=\mathsf{E}[N_1/(N_1+N_2)]x$
3306,$\max(X)=1$
3307,$R_f$
3308,$\phi(s)=0$
3309,$\mathsf{E} X + c{ X-MX }$
3310,$\mathsf{Var}(X+c)=\mathsf{Var}(X)$
3311,$\mathsf{TVaR}_{0.975}$
3312,$l^\infty$
3313,$x_p=\mathsf{VaR}_p(X)$
3314,$\sum v_iX_i$
3315,$\mathsf{E}[X] + c\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)^21_{X>\mathsf{E}[X]}]$
3316,$R$
3317,$s=0.5$
3318,"$(1-S(x),x)=(p,q(p))$"
3319,$0!=1$
3320,$\rho(U)=1$
3321,$x=1000$
3322,$\mathsf{E}[YZ]\le 0$
3323,$\mathsf{Pr}(X<2)=1/6<\mathsf{Pr}(X\le 2)=1/3$
3324,$m(1)=0$
3325,$a_{t} = a_{t-1}$
3326,$\mathsf{E}[\phi] = 1$
3327,$A=\{X(\omega) > x\}$
3328,$\mathbf {X_2(a)}$
3329,$0.1 < s < 0.2$
3330,$p < 1$
3331,$g(0+)\ge 0$
3332,"$3.129=\lambda \sigma(Y_{0,0})$"
3333,$\beta_i(x)/\alpha_i(x)> 1 > S(x) / g(S(x))$
3334,$S(x)\approx k x^\alpha$
3335,"$\mathit{EGL}_{gc}(a)>\max(0, \mathit{EGL}_{ro}(a))$"
3336,$\alpha_1(99)=0.1$
3337,$\mathsf{TVaR}_p(X)=80$
3338,$m\ge n$
3339,$(a-X)^+$
3340,$M_1dX$
3341,$(X\wedge l)(\omega)=X(\omega)\wedge l$
3342,$a=a[X]$
3343,$\mathsf Q_k(B_k)=\mathsf{P}(B_k)/\mathsf{P}(B_k)=1$
3344,$\mathsf{E}_\mu[\phi(\mathsf{E}_\pi u\circ f)]$
3345,$a^{\star}(X)-a(X)$
3346,$\mathit{PV}_{r_X}(X) + \mathit{PV}_{r_f}(\text{UW profit tax})$
3347,$A-A\Phi(d^*)=A\Phi(-d^*)$
3348,"$j=0,\dots, m-1$"
3349,$(P-S)/(a-P)\ge \iota$
3350,$S=\mathsf{Pr}\{X>x\}$
3351,$\mathsf{E}[p]$
3352,$r^*$
3353,$F(x)=\P(X\le x)$
3354,$\mathsf{P}_X$
3355,"$\int |X_n(\omega) - X(\omega)| \,\mathsf{P}(d\omega)\to 0$"
3356,$\bar Q(x)$
3357,"$(a,b] \subset [0,1]$"
3358,$\mathbf {\omega_i}$
3359,$\mathsf{Pr}(X< q(p))\le p \le \mathsf{Pr}(X\le q(p))$
3360,$\iff$
3361,$\exp$
3362,$D>L$
3363,"$\mathsf{biTVaR}_{0,1}^{0.0476}$"
3364,$\iota(0.5)=\iota^{\star}$
3365,$n \ge 1$
3366,$\kappa_{2}$
3367,$Y\in L^\infty$
3368,$\{ X=\mathsf{E}[X] \}$
3369,$\mathsf P(f^{-1}(A))=\mathsf{Pr}(A)$
3370,$0 \ge \rho(-X+a)=\rho(-X) + a \ge -\rho(X) +a$
3371,$\mathsf{E}[X^k]$
3372,$a>0$
3373,$1\le p \le \infty$
3374,$Z>\mathsf{E} Z$
3375,$\mathit{PFL}$
3376,$X_i(a)=X_i\dfrac{X\wedge a}{X}$
3377,$g'(1)$
3378,$0\le \alpha\le 1$
3379,$g(S(x))=0$
3380,$\rho\ge 0$
3381,$\nu(p)=1/(1+\iota(p))$
3382,"$[0,\infty)$"
3383,$\uparrow$
3384,$a_i + b_i\ \mathit{EL}$
3385,$\mu t + \sigma dW_t -\sigma^2 dt /2 +o(dt)$
3386,$F(x):=\mathsf{Pr}(X\le x)$
3387,$h$
3388,$4/6$
3389,$X_2=c_2+2Y$
3390,$-Y\ge 0$
3391,$S(x_2)(x_3-x_2)$
3392,$0\le\lambda \le 1$
3393,$x \ge x^\ast$
3394,$1/4 < s\le 1$
3395,$A_X = 5.976$
3396,$\rho(X+Y)\ge$
3397,$M = r K$
3398,$X_n(\omega)=n$
3399,$r = 0.6565$
3400,$\nu^{\star}$
3401,$-\rho(-X) =b-\rho(b-X)$
3402,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}$
3403,$\alpha_1SdX$
3404,"$a(\cdot, p)$"
3405,$\tau \ge t+d$
3406,$\mu(\{p\})=1$
3407,$c\approx -\sigma^2u''(w)/u'(w)$
3408,$\|Z\|_p = \mathsf{E}[| Z|^p]^{1/p}$
3409,$X\wedge a=\sum X_i(a)$
3410,$\kappa_i(x)=E[X_i \mid X=x]$
3411,$\lambda_0$
3412,$\epsilon /2^{n+1}$
3413,$\nu(x)$
3414,$S(x)=\exp(-\int_x^\infty h(t)dt)$
3415,$g(P)$
3416,$2x$
3417,$P(a) = g(S(a))$
3418,$[F(x)](\cdot)$
3419,"$\Omega=\{\omega_1, \ldots, \omega_6\}$"
3420,$\mu-\sigma^2/2=0.0992$
3421,$F(p)=0.6$
3422,$\rho(X_j)$
3423,$S(a)=\mathsf{E}[1_{X>a}]$
3424,$\mathsf{E}[X_ie^{kX}]/\mathsf{E}[e^{kX}]$
3425,$y=a$
3426,"$\mu,\sigma$"
3427,$g_i=g^{-1}(u_i)$
3428,$u=0.1$
3429,$1_{U>s}$
3430,"$\rho(X)=\int g(S(t))\,dt$"
3431,$\mathbf {t}$
3432,$\{ x \mid F(x) \ge p \}$
3433,$g(s)q$
3434,$\mathsf{VaR}_1(X)$
3435,$\sigma_L$
3436,$\bar S_i(a)=\mathsf{E}[X_i(a)]$
3437,$Q=1-g$
3438,$L_a^{a+y}(X)$
3439,$\rho(X)=\mathsf{SD}(X)$
3440,"$\int_{[a,b]} h(x)dF(x)$"
3441,$\bar\nu(a)=1/(1+\bar\iota(a))$
3442,$-g''(1-p) = \phi'(p) = (1-p)^{-1}f(p)$
3443,$g(S_X(X))$
3444,$d\mathsf{Q}/d\mathsf{P}$
3445,"$(\Omega, \mathcal F, \mathsf P)$"
3446,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[Y \mid X] = \mathsf{E}[Y \mid X]$
3447,$0\le p\le 1$
3448,$1/(1+r_f) = \mathsf{E}[p]$
3449,"$D^f\rho_{X\wedge a,X}(\cdot)$"
3450,$V^{\ast}(1)=p/(1+r-p)$
3451,$H_k(X)=H_{g_k}(X)$
3452,$f(x)/S(x)$
3453,$\partial\bar P/ \partial a$
3454,"$X_{t,d}$"
3455,$\Delta S=0$
3456,$\mathsf{E}[X_i(1) \mid  X(\mathbf{v}) = q_{\mathbf{v}}(p)]$
3457,$s_3=1$
3458,$0< a\le 1$
3459,$B(1_{X\le x})$
3460,$2^{-t+1}$
3461,$\beta < \alpha$
3462,"$\bar P_i(\mathbf{v},a)$"
3463,$\sum \Delta g(S)_jX_j$
3464,$\rho(0) = \rho(0+0)\le \rho(0)+\rho(0)$
3465,$a<\infty$
3466,$X=Y/\lambda$
3467,$a\alpha_i(a)$
3468,$q(1-s)$
3469,$a_2 = 2.157$
3470,$\mathsf{TVaR}_p = 20(0.55x_{67}+x_{68}+x_{69}+x_{70})/71$
3471,$\mathsf{TVaR}$
3472,$q(\psi)$
3473,$a_{ro}:=\mathit{VaR}_{p}(X_{-1})={{a_x0}}$
3474,$( x_{(j)}-x_{(j-1)} )$
3475,$l(\mathbf X)$
3476,$p\nu(p)$
3477,$w_{0.75}$
3478,$0.7 \ge p < 0.8$
3479,$\omega_1=1$
3480,"$(1-g(S(x)),x)=(p,q(1-g^{-1}(1-p))$"
3481,$v=1/(1+\iota)$
3482,$f$
3483,$a(X_i)=2.665$
3484,$\mathbf{B}'(0) = -3\mathbf{P_0}+3\mathbf{P_1}$
3485,$g_3(s)=s^{0.7}$
3486,$1-\hat p$
3487,$P(A\cup B)\le P(A)+P(B)$
3488,$\iff \rho$
3489,$0\le s\le \epsilon$
3490,$q(p)=25$
3491,$\rho(X)\le c$
3492,$X_n(\omega)\to 0$
3493,"$(0,3)$"
3494,$g(s)=sv+d$
3495,$a=P+S$
3496,"$(x,y)\not=(0,0)$"
3497,$\bar P_0$
3498,$S=1-F$
3499,$-t$
3500,$f(x) = \dfrac{dF}{dx}$
3501,"$\mathbf {D^f\rho_{X\wedge 30,X}(X_2)}$"
3502,$\bar{\mathbf  P}$
3503,$-g''(s)=\alpha(1-\alpha)s^{\alpha-2}$
3504,$p(x) = \mathsf{Pr}(\{\omega\mid X(\omega) = x\})=\mathsf{Pr}(X=x)$
3505,$\sigma=1$
3506,$P(a)=1-Q(a)=1-h(F(a))$
3507,$\delta=\dfrac{\iota}{1+\iota}=\dfrac{M}{a}$
3508,$s\le s^*$
3509,$a' := (1-S)\Delta X$
3510,"$\mathbf{j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)}$"
3511,$\mathbf {Q=1-g(S)}$
3512,$w/s = g'(s-) - g'(s+)$
3513,$e^{\mu_L}-1$
3514,$X=m$
3515,$k(s)$
3516,$\mathsf Q(A)=\int_A f(\omega)\mathsf P(d\omega)$
3517,$(g-S)dX$
3518,"$k, b$"
3519,$\mathsf{E}_\mathsf{P}[X_j]$
3520,$p^*$
3521,$\int_0^\infty xf(x)dx$
3522,$\Delta P$
3523,$\alpha_i(x)=\mathsf{E}\left[\frac{X_i}{X}\mid X > x \right]$
3524,$r$
3525,$s+\delta p = 1-\nu p$
3526,$\mathbf  p$
3527,$\mathsf{Var}(\lambda X)=\lambda^2\mathsf{Var}(X)$
3528,"$m_0, s_1, m_1, s_2, m_2$"
3529,$=\displaystyle\int_0^\infty x \P_X(dx)$
3530,$\mathit{NPV}_1 = \bar Q - \bar Q_{act} = F_0$
3531,$\rho_g(X)=35.2$
3532,$\max_\mathsf{Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
3533,$Z=Y-X$
3534,$\mathbf  r$
3535,$\mathsf{TVaR}_{0.642}$
3536,$g(S(x_B))-g(S(x_B-))$
3537,$u = \alpha_i(x)S(x)$
3538,$\alpha_1 < \alpha_2$
3539,$Z(g(s))=Z(s)+\lambda$
3540,$\mathbf {\rho(X)}$
3541,$\mathit{NPV}_{\infty}=a_xF_0$
3542,"$X_{1,0}=\cdots=X_{m,0}=X_0=0$"
3543,"$\Omega=\{\omega_1, \omega_2 \}$"
3544,$a(X_i+X_j) < a(X_i)+a(X_j)$
3545,$m=0.25$
3546,$\{Y\mid Y\preceq_2 Z\}$
3547,"$(de.east |- lee.north)+(0.375,0.25)$"
3548,$\mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{E}[X]$
3549,$c(\{i\})=c(i)$
3550,$\hat g(s)=1-g(1-s)$
3551,$W_{s+t}-W_s$
3552,$\mathsf{Pr}(X=x)=0$
3553,"$(1,2)$"
3554,$1-s$
3555,$D_2$
3556,$x=200$
3557,$\mathbf{v}$
3558,"$(0,0,0,0,0,5,0,0,0,5)$"
3559,$P=l + \delta(a-l)$
3560,$S/L$
3561,"$\int_0^a F(t)\,dt$"
3562,$\\mathbf {\1}$
3563,$\int_0^s \mu(dt)/(1-t)$
3564,$Z\circ T$
3565,$\mathbf {D^n\rho_{X\wedge 30}(X_2)}$
3566,$=v_f \mathsf{E}_Q\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge A)\right]$
3567,$g(S(a))$
3568,$\mathcal M_\rho$
3569,$P=(1+r)\lambda\mathsf{E}[X]$
3570,$F(a+)=\lim_{x\downarrow a} F(x)$
3571,$f<1$
3572,$\alpha>1$
3573,$\mathcal F_0\times \mathcal F_1$
3574,$\rho(Y)$
3575,$\mathsf Q(\omega)\ge 0$
3576,$\lim_{s \uparrow 1}g'(s)$
3577,$k>2$
3578,$S\to Y$
3579,$\mathsf{E} X$
3580,$s'(t)$
3581,$g'\circ S_X$
3582,$s=0.1$
3583,$g = s/(1-f)$
3584,$g(s)=A(1_{U < s})$
3585,$\Delta g(S_j)=g(S_{j-1})-g(S_j)$
3586,$A\wedge L$
3587,$\mathbf {2\mathsf{VaR}_p(X_1)}$
3588,$g'(1-s)+g(0+)\delta_1$
3589,"$5^{-1},5^{-2},5^{-3},\dots$"
3590,$\mathsf{EPD}_p(X)$
3591,$+$
3592,$c(\alpha)x^\alpha g(x)$
3593,$\mathit{NPV}_{\infty} = a_xF_0$
3594,$\mathsf{E}[X]=\mathsf{E}[Y]$
3595,$v/\sqrt{n}$
3596,$X_h$
3597,$\mathsf{E}[(a-X)^+]=\int_0^a F(x)dx$
3598,$\mathsf{Pr}(X < x)\ge 1/6$
3599,"$\mathsf{cov}(X_i,X)$"
3600,"$(p,t)$"
3601,$e^{-rt}S_t$
3602,$9+1$
3603,$(x-d)^+ \wedge l$
3604,$\mathsf Q(B) = \mathsf P(A\cap B)/\mathsf P(A)=\mathsf P(A\cap B)/(1-p_0)$
3605,$\mathsf{E}[S_t]=e^{\mu t}$
3606,$Y_i$
3607,$\sqrt{x}$
3608,$\rho(X-X)=\rho(X)+\rho(-X)=0$
3609,$dG/dF=g'(S(x))$
3610,$D_m\subset D_n$
3611,"$[0,1]\subset\mathbb R$"
3612,$r-1$
3613,$d_f = r_f / (1+r_f)$
3614,$\hat q(p)=q(1-g(1-p))$
3615,$X=Y$
3616,$\mathsf{Pr}(X_n=1)=1/n$
3617,$U^{1/b}$
3618,$X\preceq_1 Y$
3619,$E(X-q(X))^+$
3620,$X_{-2}$
3621,$t=U_X(s)$
3622,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[Y]$
3623,$3^{30}=2.06\cdot 10^{14}$
3624,$\rho(kX)\ge k\rho(X)$
3625,$M(x)=P(x)-S(x)$
3626,$H$
3627,$a=\mathsf{VaR}$
3628,$\int X_n=1$
3629,"$\displaystyle\int_0^a \kappa_i(x)f(x)\,dx + a\alpha_i(a)S(a)$"
3630,$\kappa_i(x)\approx x -\sum_{j\not=i} \mathsf{E}[X_j]$
3631,$\alpha_1(90) = (0.0816 \cdot 0.0625 + 0.1 \cdot 0.0625)/(0.0625+0.0625)=0.01135/0.125=0.0908$
3632,$c_i$
3633,$0 \le X_i(a) \le X_i$
3634,$\sup_i f_i$
3635,$D\rho_X(X_1)=6.2085$
3636,$+\mathsf{NORIPOFF}$
3637,"$(a,b)$"
3638,$t\downarrow 0$
3639,$\rho_g(X)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
3640,$\{\mathsf{P} \}$
3641,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[Y] = \mathsf{E}[YZ]$
3642,$\mathcal{G}=\sigma(X)$
3643,$\pi$
3644,$h(x)=-d/dx(\log(S(x)))$
3645,$x=8$
3646,"$\displaystyle\int_\Omega g(X(\omega), \omega)\mathsf{Pr}(d\omega)$"
3647,$X\_{2}$
3648,$dS$
3649,$\sum \alpha_i S\Delta (X\wedge a)$
3650,"$g'(s) = \frac{1-w}{1-p_0}1_{[0, 1-p_0)}(s) + \frac{w}{1-p_1}1_{[0, 1-p_1)}(s)$"
3651,$\mathscr{E}$
3652,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i \mid X=x] = \mathsf{E}[X_iZ \mid X=x]/\mathsf{E}[Z \mid X=x] = \mathsf{E}[X_i \mid X=x]$
3653,$pX$
3654,$g(S(a))/S(a)$
3655,$\sum X_i(a)\Delta g(S)$
3656,"$(p,q(1-g^{-1}(1-p)))$"
3657,$0\le \pi\le 0.5$
3658,$\bar\delta=\bar\iota/(1+\bar\iota)$
3659,$q^-(F(x))=x$
3660,$1-g(s)$
3661,$P=L + d(a-L)$
3662,$p\not=0.75$
3663,"$a=0, b=\alpha$"
3664,$\mathsf{E}[X_i\mid X=q(p)]$
3665,$\mathbf {\vert S\vert}$
3666,"$\bar S(a)=\int_0^a S(x)\,dx$"
3667,$X=X\wedge a + (X-a)^+=\sum_i X_i(a) + (X-a)^+$
3668,$r_f = 0.01$
3669,$X_2=X-X_1$
3670,$c_1$
3671,$\max_\mathsf{Q} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X] - \alpha(\mathsf Q)$
3672,$u^{(n-1)}$
3673,$(r-\sigma^2/2)t$
3674,$\tau_i=\tau$
3675,$\tau=\tau_i=0$
3676,$a=a(s)$
3677,$\mathsf{E}[Z\mid X]=Z$
3678,$\mathsf{E}[X_1\tilde Z]=\mathsf{E}[X_2\tilde Z]=500$
3679,$f(L)=L$
3680,$f(L) \le L$
3681,$p=0.283$
3682,$g'(s)=\alpha s^\alpha/s$
3683,$n-4$
3684,$xdF(x)$
3685,$\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)=25$
3686,$X_0=X_1=0$
3687,$Q_X$
3688,$\mathsf{TVaR}_{p^\ast}(X)=\bar P$
3689,$\mathsf{E}[(S_t-a)1_{\{S_t>a\}}$
3690,$P_X(A)=0$
3691,$L > a$
3692,$f=0$
3693,$f(x)dx=dp$
3694,$P_X(A)=\mathsf P(X\in A)= F(b)-F(a)$
3695,$Z(a')=g(S_X(a))/S_X(a))$
3696,"$X_i(\omega), i=1,...,N$"
3697,$\alpha(\mathsf Q)$
3698,$\phi(p)$
3699,$\mu(\{p_1\})=w$
3700,$G\mathsf X$
3701,$\omega=0$
3702,$\displaystyle\int_\Omega X(\omega)\mathsf{Pr}^*(d\omega)$
3703,$P-D$
3704,$X>a$
3705,$\iota=$
3706,$\lim_{t\to 0}a(X_1; X+tX_1)=a(X_1;X)$
3707,$1+Z-\mathsf{E} Z$
3708,$e = P/C$
3709,$t^\star=1/2$
3710,$t+1$
3711,$1-B_p=B_{1-p}$
3712,$\mathsf{Pr}(|X_n(\omega)-X(\omega)|>\epsilon)\to 0$
3713,$\bar M(x)$
3714,$X\not\preceq_n Y$
3715,$0\le x < a$
3716,"$Z_2:=\sum_{t+d=2} Y_{t,d}$"
3717,$ since the contact function $
3718,"$c_1+c_2=(c(1) + c(1,2) - c(2) + c(2) + c(1,2) -c(1))/2=c(1,2)$"
3719,"$(-\infty, \infty)$"
3720,$a(X)\equiv a$
3721,$\mathcal E(X)=c\mathsf{E}[X^2]$
3722,$x^{**}$
3723,"$D^f\rho_{X\wedge a,X}(X_i)$"
3724,$X(p)=q(T(p))$
3725,"$(1-S(x), x)$"
3726,$\tilde X_1+\tilde X_2\succeq^2 \tilde X_1$
3727,$\mathcal D(X)+\mathsf{E}[X]$
3728,$S_{\mathbf{v}}$
3729,$\mathsf{VaR}$
3730,$\mathsf{E}[X]+\mathsf{SD}(X) \le \mathsf{E}[Y]+\mathsf{SD}(Y)$
3731,$\bar S_i$
3732,$\{X(\mathbf{v}) = q_{\mathbf{v}}(p)\}$
3733,$\alpha_iSdX$
3734,$c=0.5$
3735,$K$
3736,$g(p)/p-1$
3737,$a(X_i; X)$
3738,$\log(1+\mu t + \sigma dW_t)=\mu t + \sigma dW_t +o(dt)$
3739,$\max(X)$
3740,$\mathsf{E}[X_1\mid X < 2^{-m}]$
3741,$x>\sup(X)$
3742,$M=\inf\{ x\mid S(x)=0\}$
3743,$\mathsf{VaR}_\pi(X)$
3744,$0=\mathsf{Pr}(X<1)<1/6=\mathsf{Pr}(X\le 1)$
3745,$-k<0$
3746,$X_n=Y_1+\cdots +Y_n$
3747,$^{}$
3748,$\mathsf{CTE}_p(X)=(8+12+25)/3=15$
3749,$p \ge 0.9$
3750,$S_0=1000$
3751,$\lim_{s \to 1}{\mathsf{E}[ r_{s} ] = - 1}$
3752,$1_{U<u}$
3753,$4\nu$
3754,$U(a)$
3755,$c^{-1}\log\mathsf{E}[e^{cX}]$
3756,$\rho_1(X\wedge a)<\rho_2(X\wedge a)$
3757,"$\omega_1,\omega_2\in\Omega$"
3758,$\bigtimes_i X_i$
3759,$(1/4)(1/3)=1/12$
3760,"$\rho(X) = \max\,\{ \mathsf{E}[f X] \mid f=dQ/dP, Q\in\mathcal{Q} \} = \int q_f(s)q_X(s)ds$"
3761,$P(X_{0}(a))$
3762,$p=$
3763,$\mathsf{TVaR}_\pi(X)$
3764,$\omega<0.4$
3765,$\mathsf{E} X + c\mathsf{E}[\vert X-\tau \vert^p]^{1/p}$
3766,$\mu = \delta_{\alpha}$
3767,$(x-a)^+\wedge b$
3768,$F_X\ge F_Y$
3769,$i=0$
3770,"$Y_{t,d>0}$"
3771,$\prod_{n\ge N}(1-\frac{1}{n})=0$
3772,$X\le 0$
3773,$g(s)=s^{0.8}$
3774,$q \cdot X$
3775,$p=0.1$
3776,$\mathsf{E}[X_iX]$
3777,"$(p, q(1-g^{-1}(1-p)))=(p, q(\hat p))=(p, \hat q(p))$"
3778,$\mathsf P(X\le q_X(p))=p$
3779,"$\rho_1,\rho_2$"
3780,$P/(A-P)=P/Q$
3781,$-\rho$
3782,$\alpha_1(98)=0.1$
3783,$\pi=1.2613$
3784,$\gamma=0.421$
3785,$8+11.1667=19.167$
3786,$\mathsf{Pr}(Y_m > y) = 1 - (1 - \mathsf{Pr}(X > y))^n$
3787,$\beta_i(x)/\alpha_i(x) < g(S(x))/S(x)$
3788,$h(p)=s^3$
3789,$\psi$
3790,$\mathsf{VaR}_p(X)=\mu + \sigma \Phi^{-1}(p)$
3791,$B_k$
3792,$\bar P(\infty)=\mathsf{E}[q(U)\phi(U)]$
3793,"$Binomial(s,N)$"
3794,$x=S^{-1}(g^{-1}(s))$
3795,$e^{-rt}$
3796,$\mathsf{VaR}_{p^*}$
3797,$\mathsf{E}[X^2]$
3798,$=\mathrm{MV}(y-T(X))^+$
3799,$\mathsf{E}[YZ_\epsilon]\to\mathsf{E}[YZ]$
3800,$p^{* }$
3801,$\beta_Q=(a/Q)\beta_A + (P/Q)\beta_L$
3802,$r\times n$
3803,$F(2)=0.75$
3804,$(80-11)\times 0.25$
3805,"$S, S^{-1}$"
3806,$\mathsf{Q}'$
3807,$q(0.1)=1$
3808,"$k=0,1,\dots,n-1$"
3809,$q(1-g^{-1}(1-p))$
3810,$\tilde X_j$
3811,$\bar F$
3812,$\pm\infty$
3813,"$c\in[0,1]$"
3814,$dg$
3815,$\rho_c(Y)=\mathsf{E}[Y]$
3816,$p_Y<0.5$
3817,"$\mathsf{E}[W]=\sum_{d\ge 0} \mathsf{E}[Y_{-d,d}]$"
3818,$\mathscr{P}$
3819,"$(\mu,\sigma)$"
3820,"$(brR15 |- lee.south)+(-0.25,-0.25)$"
3821,$\pi=1.2497$
3822,"$\mathsf{E}[(X-a)^+]= p\,\mathsf{E} X$"
3823,$\bar\iota$
3824,$L(X)=(X-\mathsf{E} X)/\mathsf{SD}(X)$
3825,$g(s) \ge  1$
3826,$v(A\cup B) + v(A\cap B)\ge v(A) + v(B)$
3827,$\bar P_\tau(a)=\bar P(a) + \tau(a-\bar P_\tau(a))$
3828,$\nu>0$
3829,$\mathsf{E}[X\mid\mathcal F_0]=\mathsf{E}[X]$
3830,$P_g\{X=M\}=g(0+)>0$
3831,$\mathsf{E}[X_i\mid X = x_p]$
3832,$\Delta=a'-a$
3833,$\alpha_i(x)S(x)$
3834,$r_h-\mu_L=r-r_L$
3835,$-0.0012$
3836,$\rho(X)$
3837,$\mathsf Q$
3838,$+1$
3839,$\implies\mathsf{FATOU}$
3840,$\bar P(a)>\mathsf{E}[X\wedge a]$
3841,$1-w$
3842,$=1/(1-p)$
3843,$Q_j = 1 - g(S_j)$
3844,$A(X)$
3845,$\mathsf Q(\omega)=Z(\omega)\mathsf{Pr}(\omega)$
3846,$X\ge \mathsf{VaR}_p(X)$
3847,$p_+-p_-$
3848,$\mu(\{0\})=\phi(0)=g'(1)$
3849,"$s\in (0,1]$"
3850,"$p\in (0,1)$"
3851,"$\lambda, \iota, \psi$"
3852,$h_{xx}$
3853,$u=x$
3854,$af + a(1-f)/q$
3855,$\bar P_{act}$
3856,$L_d^{d+l}(X)$
3857,$r=0.06$
3858,$x\mapsto x^{3/2}$
3859,$L_0^{500}(x)$
3860,"$A_3,B_3$"
3861,$\mathbf {\beta_{1}g(S)\Delta X}$
3862,"$B_1=[0,0]$"
3863,$f(x)=x^2$
3864,$E_\mathsf{Q}[1]$
3865,$\mathsf{E}[(X-\mu)^2]$
3866,$s\to 0$
3867,$g_0=0$
3868,"$\displaystyle\int_0^1 q(p)\,dp$"
3869,$P(X_{-1}(a_{gc}))=9094.25$
3870,$\phi$
3871,$S;g(S)$
3872,$\kappa_{i^*}$
3873,$\rho_a$
3874,"$\bar P_{0,2}$"
3875,$x=e^{\mu + y\sigma}$
3876,$f(w|s)$
3877,$\mu_U = 15$
3878,"$Y_{2,0}$"
3879,$r_{pq}:=\sqrt{p(1-p)}$
3880,$A\subset B$
3881,$g(s)=s^b$
3882,$S_j=S_{j-1}-p_j$
3883,$\{X = q_X(p) \}$
3884,$X(\omega)=\omega$
3885,$1_A(x)=1$
3886,$g(s)=100s \wedge 1$
3887,$(0.333...)(0.15)$
3888,$\bar P_1$
3889,$v(A\cup B)\le v(A)+v(B)$
3890,$V(1)$
3891,$x^2$
3892,$a_{0}=a(Y_{0})$
3893,$C=1-H$
3894,$Y = NX$
3895,$a_l < b_l$
3896,"$1,9,10$"
3897,$g_0 \le 1-\alpha$
3898,$(1+r)Z=\mathsf Q/\mathsf{P}$
3899,"$\{0, 9, 10\}$"
3900,$\iota^*$
3901,"$t=0,1,2,\dots$"
3902,$0.354 \cdot 8 = 2.83$
3903,$x=z$
3904,$(x+(X-x)^+)^n\not=x^n+((X-x)^+)^n$
3905,$f(R) = \mathsf{E}[f(X)]$
3906,$\delta_i$
3907,$1-2/3=1/3$
3908,$\mathsf{Amb}(X)$
3909,$\rho^{ho}_c$
3910,$X \le Y$
3911,"$\mathsf{cov}(X,M)=\mathsf{cov}(X_i,M)$"
3912,$\mathbf {X'}$
3913,$F(X(\omega))$
3914,$\mathsf{VaR}_{p}( \cdot \mid \mathcal F_t)$
3915,$d$
3916,$\mathsf{E}[X\wedge a]= 2.4982$
3917,$\mathsf{E} X + \inf_x \{\alpha_1\mathsf{E}[(x-X)^+] + \alpha_2\mathsf{E}[(X-x)^+] \}$
3918,$M:=\esssup X$
3919,$g(s)=1-\sqrt{1-s}$
3920,$dF=-d(g\circ S)=$
3921,$E_\mathsf{Q}[X_i]$
3922,"$\mathsf{TVaR}_0,\mathsf{TVaR}_1$"
3923,$f_x$
3924,$s^{-1}(\cdot)$
3925,$X_{1c}$
3926,"$(p, \mathsf{E}[X_i\mid X=q(1-g^{-1}(1-p))])$"
3927,$\mathsf{TVaR}_p(X)=\mathsf{TCE}_p(X)=\mathsf{E}[X\mid X \ge \mathsf{VaR}_p(X)]$
3928,"$\omega\in [0,1]$"
3929,$\mathsf{PH}$
3930,$N=X-L_{r_a}^{r_a+r_l}(X)$
3931,$x_i-x_{i-1}=dx$
3932,$P(\hat s)=\mathsf{E}[\hat s]=s$
3933,$X_i(1)$
3934,$0<\alpha_1<\alpha_2<1$
3935,$v(B)$
3936,$(dX_t)^2$
3937,$L^2$
3938,$g(s)=\Phi(Z(s)+\lambda)$
3939,$|Y_n|\le 1$
3940,$a=0$
3941,$0.25 + U/4$
3942,$F(q^-(p))\ge p$
3943,"$[0,a)$"
3944,$0.909+0.273=1.182$
3945,$\bar P=\bar S+\bar M$
3946,$\rho(X)=\rho(X\wedge a) + \rho((X-a)^+)$
3947,$X\wedge a=30$
3948,$F$
3949,"$(2,1)$"
3950,$X(\mathbf{v})=\sum_i X_i(v_i)$
3951,$\Phi^{-1}(0)=-\infty$
3952,$2/6$
3953,$F_M$
3954,$q_C(p)=\inf C$
3955,$g(S)dX$
3956,$\mu \cdot T_k$
3957,$\rho:\mathcal{S}\to \mathbb{R}$
3958,$F_I^{n*}$
3959,$Q(x)$
3960,$\mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)^+]$
3961,$X_1(v_1)$
3962,"$g\in D_n^*=\{ g \mid  (-1)^{k+1} g^{(k)} \ge 0, k=1,\dots,n-1, (-1)^n g^{(n-1)}\text{ non-increasing} \}$"
3963,$\mathbf {\mathsf{E}[X_i(a)]}$
3964,$\bar Q_{1}$
3965,$h=1+\lambda(f-\mathsf{E} f)$
3966,$\Delta Q(a)$
3967,$t\to 0$
3968,"$i=1,2$"
3969,$\sigma=2.15$
3970,$\mathsf Q\in \mathcal Q$
3971,$\alpha \ge s_0 g'(s_0)/g(s_0)$
3972,$g(s)=s^r$
3973,"$t=1,2,...,\tau$"
3974,$Y(\omega)$
3975,$Sdx$
3976,$s=1/4$
3977,$\int_0^\infty xg'(S(x))dF(x)=\int_0^\infty g(S(x))dx$
3978,$\mathsf{E}[Xe^{\pi Z}]/\mathsf{E}[e^{\pi Z}]$
3979,$X_2' = X_2+\cdots +X_n$
3980,$1_{U>0.95}$
3981,$g=u^2=0.01$
3982,$100$
3983,$X\wedge a \le X$
3984,"$Y_{t,0}$"
3985,$s>s^\ast$
3986,$g(s)-\hat g(s)$
3987,$R:=\bar P_{act}-\bar S$
3988,$Var[T]=s(1-s)/N$
3989,$\sum w_i=1$
3990,$\alpha_i(x) =\mathsf{E}[X_i/X\mid X>x]$
3991,"$\{x_1,...,x_n\mid X < \max(X)-\epsilon\}$"
3992,$z=x$
3993,$F_n(x)\to F(x)$
3994,$c=2.5$
3995,"$\rho(1000, 3000, 3500)$"
3996,$w(x)=e^{kx}$
3997,$\mathsf{Pr}(X>0)$
3998,$1_\omega(\omega')=1$
3999,$g(s)=cs$
4000,$f(t|s)$
4001,$\mathbf {F}$
4002,$\mathsf{E}[(a-X)^+]$
4003,$\displaystyle\int_0^\infty u(x)dF_X(x)$
4004,$\Lambda\dfrac{\mu_{U}}{\sigma_U}   = \dfrac{E( r_{U} ) - r_{f}}{\sigma_{r_{U}}} \left(\dfrac{\mu_{U}}{\sigma_{U}}\right)$
4005,$f'(x_0)$
4006,$\mathsf{E}[X\mid X=x]\equiv x$
4007,$y^{\ast}-x^{\ast} \ge \epsilon$
4008,$(1+\rho)\mathsf{E}[C]$
4009,$1-g$
4010,$g(S(x_{i+1}-))-g(S(x_{i}))$
4011,"$d\,F(X)$"
4012,$Q(a)$
4013,$a_i=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]$
4014,$(1+c)\mu$
4015,$\mathbf {\Delta(X\wedge a)}$
4016,$\mathsf{E}[YZ]$
4017,$\mathsf{VaR}_{0.99}$
4018,$dG(x)=g'(S(x))dF(x)$
4019,$n=100$
4020,$\rho(c) = c$
4021,$\delta_p$
4022,$\sigma$
4023,"$(s(t),m(t))$"
4024,$X>x$
4025,$\mathsf{E}[X_i(a)]$
4026,$\sigma_U = 1$
4027,"$(p,q(p))=(1-S(x),x)$"
4028,$w_i\ge 0$
4029,$\int X_n\to 0$
4030,"$r_f\ge 0, r>0$"
4031,$Z$
4032,"$X_1,X_2$"
4033,$r_L$
4034,$\gamma=\mathsf{Pr}(X>\mathsf{E}[X])$
4035,"$\Omega=[0,1]\times [0,1]$"
4036,$x_i$
4037,$a(X)$
4038,$g(s)+g'(s)(1-s)\ge 1$
4039,$\mathbf {\alpha_1S\Delta X}$
4040,"$\mathsf{cov}(X_i,\sum_j X_j)=\mathsf{cov}(X_i,X_i)=\mathsf{Var}(X_i)>0$"
4041,$\mathsf Q(A)=0$
4042,$0<X<a$
4043,$r_{pq}$
4044,$\bar q(s/2) \ge 2\bar q(s)$
4045,$0 < \mu < \lambda$
4046,$\mathsf{TVaR}(p)=(1-p)^{-1}\int_{p}^1 q(s)ds$
4047,$X_1+X_2$
4048,$dW_AdW_L=\rho\sigma_A\sigma_L$
4049,$s_0/2^n$
4050,$g(S)\Delta X$
4051,$\phi(Y)$
4052,$\sup X = 1$
4053,$\beta g(S)-\alpha S$
4054,$\alpha_2$
4055,$\bar\iota = \dfrac{\bar M(a)}{\bar Q(a)}$
4056,$S_t$
4057,"$k=1,2,\dots$"
4058,$Z=\lambda X$
4059,$P(x)=g(S(x))$
4060,$P_{g}(A)=0$
4061,$P_2\ge (\rho(X_1)-P_1) + \rho(\mathsf{E}[X_2\mid X_1])\ge \rho(\mathsf{E}[X_2\mid X_1])$
4062,$-(1-p)g''(1-p)\ge 0$
4063,$\rho(H)>-\rho(-H)$
4064,"$Y_{0,1}$"
4065,$\mathsf{E}[X_ig'(S(X))]$
4066,$a(X;X)=\rho(X)=\sum_i a_i$
4067,$\displaystyle\int_0^\infty xg'(S(x))f(x)dx$
4068,$A(X)\not= B(X)$
4069,$\lim_{y\uparrow x} f(y)$
4070,$\rho(X)= \mathsf{E}_{\mathsf{Q}_X}[X]$
4071,$\psi^{-1}(p)$
4072,$\mathcal Q\subset\mathcal M(\mathsf P)$
4073,"$a(x_1,\dots,x_n):=a(X(x_1,\dots,x_n))$"
4074,$1-q$
4075,$ds(t)/dt$
4076,$X_{-3}=C'_1 + \cdots + C'_n$
4077,$g(S(M-))/S(M-)$
4078,$\mathsf{VaR}_{p_0}(X)=\sup X$
4079,$p=1/2$
4080,$y\not\in C$
4081,$X_0=C_1 + \cdots + C_N$
4082,"$2^0, 2^2, 2^4, ...$"
4083,$F_I$
4084,$gdX$
4085,$b_l \le 1 \le b_h=2-b_l$
4086,$30+10t$
4087,$m_1$
4088,"$Y_{t,d}$"
4089,$F(x)=\sup\{ p\mid q(p) < x \}$
4090,"$X_{i,j} \leftarrow \kappa_{i}(X_j)$"
4091,$1/g'(0)$
4092,$1-g(1-p)$
4093,$d\Pi = (r_h-\mu_L)\Pi dt$
4094,$q(U_X) = m$
4095,$\alpha_i(t)$
4096,$\mathbf {gS}$
4097,$U=X+Y$
4098,$p^\ast$
4099,"$0,0,0,1,2,5,8,12,23,40$"
4100,$0\le k < 2^m$
4101,"$c=1,2,3$"
4102,$E[s]=0.1160$
4103,"$\lambda([a,b]) = b-a$"
4104,$p^+$
4105,$S_X(t)=S_{X\wedge a}(t)$
4106,$h(X)=X$
4107,$D_1\supset D_2\supset \cdots \supset D_\infty$
4108,$g''(s)=-\phi'(1-s)\le 0$
4109,$\prec_1^*$
4110,$X=100$
4111,$\mathsf{WCE}_p(X) = \mathsf{TVaR}_p(X)$
4112,$X\wedge a(X)$
4113,$\times$
4114,$\bar M(a)$
4115,$\mathsf{LI}$
4116,$(p_0 < p^\ast < p_1)$
4117,"$c = 0.5,1.0,\dots,2.5$"
4118,$\sup X_n=1\not=\sup X=0$
4119,$IL$
4120,$S(x)\leftrightarrow g(S(x))$
4121,$\rho(X) = \mathsf{E}[X] + c\mathsf{E}[X-\mathsf{E}[X]]^+$
4122,$\lambda=\sum_i \lambda_i$
4123,$\mathsf{TVaR}_{0.8}$
4124,$Q = M/\iota$
4125,$\mathsf{Pr}(X>\mathsf{VaR}_p(X))=1-p$
4126,$(a_i)_i$
4127,$g(s)=d+sv$
4128,$p\nu_p$
4129,$f_i$
4130,$\mathsf{P}(X=X_j)=\Delta S_j:=S(X_{j-1})-S(X_j)$
4131,$P\approx \mathsf{E}[A(1)] + k\mathsf{Var}(A(1))/2$
4132,"$X_{0,2}$"
4133,$a<a_{ro}$
4134,$\mathsf{E}[Z]=\mathsf{E}[\mathsf{E}[Z\mid X]] = 0$
4135,$\sigma_i$
4136,$G(x)=\mathsf{Q}(\{\omega\mid X(\omega)\le x\})$
4137,$\hat{s}=0.09297$
4138,$\bar Q_i(a)=a_i - \bar P_i(a)$
4139,$\rho(c)=c$
4140,$\mathsf{V@R}$
4141,$j < \mathsf{j}(a)$
4142,$b\ge 1$
4143,$\mathsf{E} X + c{X-\tau }_p$
4144,$\mathit{NPV}_1 = F_0$
4145,"$q^-(p) = \int_0^M I(F(x) < p)\,dx$"
4146,$(10t+10t)/2$
4147,$\displaystyle\int X(\omega)d\omega$
4148,$r_O=0$
4149,$1/4\le s\le 1$
4150,"$I(q^\star,p)=I^\star$"
4151,$LR = EL/(EL+\iota Q)$
4152,$z(p^+-p^-) + (1-p^+) / (1-p)=1$
4153,$g$
4154,$\lfloor N(1-p)\rfloor$
4155,$L_0^a(X)$
4156,$L_X(v)\le \rho(v)$
4157,$\alpha\beta$
4158,$\{X>q_X(p) \}$
4159,$X_i=\mathsf{E}[X_i\mid X]$
4160,$S(x)>>0$
4161,$q_B \le q_C$
4162,$\mathsf{TVaR}_{0.75}$
4163,$g'(s) < \infty$
4164,$\hat p$
4165,$\kappa_i(q(1-g^{-1}(1-\tilde p)))$
4166,$q^-(p)$
4167,$\rho(X-\rho(X))=\rho(X)-\rho(X)=0$
4168,$g_0$
4169,$\mathsf{TVaR}_p(X)=\mathsf{E}[X\mid X >\mathsf{VaR}_p(X)]=\sum_i\mathsf{E}[X_i\mid X>\mathsf{VaR}_p(X)]$
4170,$dt\to 0$
4171,$\{X\in L^\infty \mid \rho(X)\le c \}$
4172,"$Y_{2,2}$"
4173,"$c_i=\displaystyle\int_0^1\dfrac{\partial c}{\partial x_i}(tx)\,dt$"
4174,$\rho(X_{-1}\wedge a_{ro})={{mvp_ro}}$
4175,$\bar \iota = \dfrac{\bar M(a)}{\bar Q(a)}$
4176,$\mathcal{N}_{X\wedge a}(X_i(a))$
4177,$f'>0$
4178,"$\bar M_{t,0}$"
4179,$E$
4180,$p^\ast = 0.48732$
4181,$r_P$
4182,$\mathbf {t+1}$
4183,$S=g(S)=1$
4184,$\mu_d = (6-d)^2$
4185,$g(s)=0.9s + 0.1$
4186,$\left( g(S(x_{(j)}))-g(S(x_{(j-1)})) \right) / ( x_{(j)}-x_{(j-1)} )$
4187,$t^\star$
4188,$1_Z$
4189,$\omega < p^-$
4190,$q = s$
4191,$\bar F(a):=\int_0^a F(x)dx=a-\mathsf{E}[X\wedge a]$
4192,"$s\in (0,1)$"
4193,$\mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{E}[((X-\mathsf{E}[X])^+)^2]^{1/2}$
4194,"$\omega\in [0,0.1)\cup [0.25, 0.35) \cup [0.5, 0.6) \cup [0.75, 0.85)$"
4195,$80-11=69$
4196,$g'$
4197,$\rho(X)+c$
4198,$S(x)=(1+x)^{-\alpha}$
4199,$r_M$
4200,$U(2)=0$
4201,$\alpha_i(x)$
4202,$\sup X\le \sup Y$
4203,$\sigma(X)=\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)^2]^{1/2}$
4204,$S(x)=\Phi((-x+\mu)/\sigma)$
4205,$\tilde X_1 + \tilde X_2 \succeq^2 \tilde X_1$
4206,$p=F(a)=1-S(a)$
4207,$v\mathrm{EL}+da\ge \mathrm{EL}$
4208,$X=X_s + X_c$
4209,"$\mathsf{VaR}_{0.995}=64,861$"
4210,$P = 3.1035$
4211,$x=q(1-g^{-1}(1-p)))$
4212,"$d=1,2,\dots$"
4213,"$(\x*1.2, 2)$"
4214,$h=1$
4215,"$k_1, k_2$"
4216,$p=0.95$
4217,"$s^{\ast}=1/2, \lambda^{\ast}=0$"
4218,$\esssup(X)=1$
4219,$1-p \ge g^{-1}(1-p) \implies 1-g^{-1}(1-p) \ge p \implies q(1-g^{-1}(1-p))>q(p)$
4220,"$x+y\wedge aX =\min(x+y,aX)$"
4221,$H(X)<H(Y)$
4222,"$(X,Y)$"
4223,$p_0=0$
4224,$\hat x=q(\hat p)$
4225,$\mu = t \nu$
4226,$(1)(0.25)+(90)(0.25)=22.75$
4227,$W = 0$
4228,$\rho(X)=51.3887$
4229,"$\{1,2 \}$"
4230,$d=i/(1+i)$
4231,$\beta_2$
4232,$Q=\nu a'$
4233,$\{ X >q(p) \}$
4234,"$g'>0, g''<0$"
4235,$Y=c\in \mathbb R$
4236,$h(u)=1$
4237,$\lim_{\epsilon \downarrow 0} (f(x+\epsilon)-f(x))/\epsilon$
4238,$\omega_1$
4239,$r>0$
4240,"$\alpha_i(\mathbf{v}, x)$"
4241,$\omega\ge 0.4$
4242,$\mathsf{Pr}(B)=0$
4243,$\bar q_{X_1+X_2}(s) \le 2\bar q(s)$
4244,$\mathsf{E} X +\lambda_1 {(X-\lambda_2 \mathsf{E} X)^+}_1$
4245,$f(t)=\rho(tX)$
4246,$X_n\uparrow 1$
4247,$\int S(x)dx$
4248,$A\subset \Omega$
4249,$(A-L)^+$
4250,$P(x)/Q(x)$
4251,$\mathsf{Pr}(X=x_i)=\mathsf{Pr}(X>x_{i-1})-\mathsf{Pr}(X>x_i)=S(x_{i-1})-S(x_i)$
4252,$\mathsf{E}[WX] \le \rho(X)$
4253,$r_U \Delta A - \Delta P$
4254,"$\bar Q_{0,0}$"
4255,$s_0=0$
4256,$g(S_{\mathsf{j}(a)})=0.5$
4257,$-g''(s)=\alpha(\alpha-1)s^{\alpha-2}$
4258,$\bar Q(a) =a-\bar P_g(a)$
4259,$\exp(a)$
4260,$s\mapsto g(s)$
4261,$\alpha X$
4262,$\mathsf{E}[XM]$
4263,$c(S)\le c(T)$
4264,$(1-\lambda)(1+\gamma)$
4265,$\mathsf{E}[X] = \displaystyle\int_\Omega X(\omega)\mathsf{Pr}(d\omega)$
4266,$1-\beta_i(t)g(S(t))$
4267,$\mathsf{Pr}(X>x)$
4268,$\mathsf{E}[X\mid X>2000]-2000=\mathsf{TVaR}_{F(2000)}(X)-2000=624$
4269,"$(p, \mathsf{E}[X_i\mid X=q(p)])$"
4270,$L_a^{a+da}$
4271,"$a_{0,t}' := a_{0,t-1}-X_{0,t}$"
4272,$-Y$
4273,$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{Var}(X)$
4274,$\rho(X)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]-\alpha(\mathsf Q)$
4275,$W_{t}$
4276,$2^n$
4277,$(1 - \nu F(a))$
4278,$<$
4279,$g'\left (S_X(X)\right )$
4280,"$X_1=(0,0,0,0,0,0,2,4,8,0)$"
4281,$R_L=R_f + \beta_L(R_M-R_f)$
4282,$cv=0.137$
4283,$\mathsf{E}[(X-x)^+]$
4284,$\mathsf{Pr}(X>a)$
4285,"$(2,2)$"
4286,$1/x$
4287,$A(1_{X_1>x_1}+1_{X_2>x_2}) \le A(1_{X_1>x_1}) + A(1_{X_2>x_2})$
4288,$\Delta=\Phi(d^*)$
4289,$F_g(x) = 1- g(S_X(x))$
4290,$Z(1000)=(1-0)/(0.1-0)=10$
4291,$\tilde X_1=X_1 + \mathsf{E}[X_2\mid X_1]$
4292,$\tau=1$
4293,$\rho(X_1) \ge D\rho_X(X_1)$
4294,"$\mathcal Q =\{ \mathsf Q \mid \mathsf Q\ll \mathsf P,\ \alpha(\mathsf Q)=0 \}$"
4295,"$X_j=\sum_i X_{i,j}$"
4296,$\mathsf{SD}$
4297,$n>1$
4298,$-\phi(d^*)<0$
4299,$\rho(\tilde X+X)=\rho(\tilde X)+\rho(X)$
4300,$a(\mathbf{v})$
4301,$P(dx)$
4302,$\mathsf Q(X>a)/P_X(X>a)=g(S(a))/S(a)$
4303,$\rho(X-P)=\rho(X)-P$
4304,$a+da$
4305,$r_pq$
4306,"$m\ge 1, n\ge 0$"
4307,$(1-g)$
4308,$x=2$
4309,$T_k$
4310,$X\le c$
4311,$X \succeq Y$
4312,$t$
4313,$x=a$
4314,"$\mathsf{biTVaR}_{p_0,p_1}^w(X)=\bar P$"
4315,$\log(X)$
4316,$\mathsf{E}$
4317,$\mathsf{P}(X=X_j)$
4318,"$[0, 1-p)$"
4319,$\mathsf{VaR}_{0.95}(X)$
4320,$S_t=a_0 + (1+c)\mu t - X_t$
4321,$1/(1+r) = 0.893$
4322,$D^n\rho_X(X_i)$
4323,$A\subset \mathbb{R}$
4324,$\mathsf{E}[X_1]=\mathsf{E}[Y_{0}]$
4325,$\bar P_t = \rho(Y_{t})$
4326,$W_1$
4327,$s/(1-s)$
4328,$E_1$
4329,"$f:[0,1]\to[0,1]$"
4330,$A\cap B$
4331,"$(p,q(1-g^{-1}(1-p)))=(1-g(S(x)),x)$"
4332,$X_1=0$
4333,"$\beta = \mathsf{cov}[r,r_M]/ \sigma^2_{r_M}$"
4334,"$f(x, \cdot)\in L_p(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$"
4335,$\bar P(a)=\rho_g(L_0^a(X))$
4336,$S_t=\exp(\mu t + \sigma W_t)$
4337,$P_i(x)=\beta_i(x)g(S(x))$
4338,$1-L/P = (P-L)/P$
4339,"$x_{1,2}$"
4340,$\mathsf{Q}\in\mathcal Q$
4341,$w/(1-w)$
4342,$\sup_\Omega |X_n - X| \to 0$
4343,$\beta_i(a) g(S(a))$
4344,$\prec_n^*$
4345,$2^{-t}$
4346,$\mathsf{Pr}(p(\omega)=0)=0$
4347,$X_2/X$
4348,$\Delta X=80-11=69$
4349,$g(S(x))=\exp(-\alpha H(x))$
4350,$\rho(\lambda X + (1-\lambda)\rho(X))$
4351,$X\le Y+\Vert X-Y\Vert$
4352,$(1-p)/(p\nu(p)^2)$
4353,$\mathsf{E}[X_2\mid X_1]$
4354,$I(F(x) < p)=\begin{cases} 1 & F(x)< p \\ 0 & F(x)\ge p\end{cases}$
4355,$g(s)=1$
4356,$\mathsf{Pr}(X = q(p)) > 0$
4357,$x < x^\ast$
4358,$X\wedge a(X)\le Y\wedge a(Y)$
4359,$t\uparrow 0$
4360,"$\eta_{p,\alpha_1}(X) < \eta_{p,\alpha_2}(X)$"
4361,$\mathsf{Pr}(\{\omega \mid X_n(\omega)\to X(\omega) \})=1$
4362,$a_{\min}$
4363,$\phi(t)=\int_0^t (1-p)^{-1}\mu(dp)$
4364,$\mathsf{E}_\mathsf{Q_r}[X_j]$
4365,$\mathsf{EPD}_s(X)$
4366,$\mathsf{E} X + c{X-\mathsf{E} X}_p$
4367,$x\ge a$
4368,$N=r_a$
4369,$\int S(x)dx = \int xdF(x)$
4370,$\mathsf{VaR}_{0.7}(X)=$
4371,$\mathsf P(X=\sup(X))>0$
4372,$L(X)=(1-p)^{-1}1_{X\ge x_p}(X)$
4373,$\mu = w \delta_{\alpha_1} + (1-w) \delta_{\alpha_2}$
4374,$A(-X)$
4375,$\mathsf{j}(90)=6$
4376,$a - P$
4377,$q^-_X(0.95)$
4378,$1100 \le x \le 1250$
4379,$\sigma\sqrt{t}$
4380,$(L-A)^+$
4381,"$\int Zd\mathsf P = \int d\mathsf Q/d\mathsf P\, d\mathsf P = \int d\mathsf Q =1$"
4382,$\mathcal A$
4383,$d\mathsf Q/d\mathsf P$
4384,$\rho(X) = \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X] = \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X\wedge a + (X-a)^+] = \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X\wedge a] + \mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X-a)^+] \le  \rho(X\wedge a) + \rho((X-a)^+) = \rho(X)$
4385,$t_f$
4386,$\hat q(p)$
4387,$\mathbf {a_{2}}'$
4388,$p<1$
4389,$r < n$
4390,$\mathcal S(X)=\mathsf{VaR}_p(X)$
4391,"$(\omega',\omega'')$"
4392,"$u\in[0, 1-p]$"
4393,$k_i=a_i/v_i$
4394,"$(s_j, g_j)$"
4395,"$(3,3)$"
4396,$T(p)$
4397,$D/C$
4398,"$s\in[0, 1-p]$"
4399,$p=1$
4400,$a_{d}' = a_{d-1}-X_{d}$
4401,$g'\left (S(X)\right )$
4402,$p=0.75$
4403,$\mathbf {X_{1}/X}$
4404,$\bar M(a) = \bar P(a) - \mathsf{E}[X\wedge a]$
4405,$\{\omega\mid X(\omega) = x_1\}$
4406,$\tau a_i$
4407,$d\downarrow 0$
4408,$p\ge 1$
4409,"$g(s)=\min(s/(1-p),1)$"
4410,$\mathit{ROE}(s) = r_f + Ck(s)$
4411,$\phi'(p)\ge 0$
4412,$q(p)\phi(p)$
4413,$\mu_0=\mu_1$
4414,$w_l=1-c\gamma$
4415,$0.7 \le p < 0.8$
4416,$\int_\Omega X(\omega)\mathsf \mathsf{Pr}(d\omega)$
4417,"$j=1,\dots, n$"
4418,$x=q_X(1-s)=\mathsf{VaR}_{1-s}(X)$
4419,$\{p \ge p_-\}$
4420,$(1-p)^{-1}$
4421,$\alpha_i(x) = \mathsf{E}[X_i /X \mid X> x]\not=\mathsf{E}[X_i\mid X> x]/\mathsf{E}[X\mid X>x]$
4422,$\omega<1/n$
4423,$\tilde X = (x_{ij})$
4424,$\mathbf {\mathsf{VaR}_p(X_1+X_2)}$
4425,$q(p)=c$
4426,$a(X_i;X)\le \rho(X_i)$
4427,$\rho(0) \ge 0$
4428,$g'(s-)\ge 0$
4429,$\mathbf {\max a}$
4430,$\exists$
4431,$^1$
4432,$x^{-\alpha}$
4433,$k>1$
4434,$D\rho_X(X_2)=45.1801$
4435,$\mathsf{E}_\mathsf{Q_2}[X_j]$
4436,$\mathsf{E}[X_i (X\wedge a)/X]$
4437,$V(2)$
4438,"$\rho_g(X)=\int_0^\infty g(S(x))\,dx$"
4439,$c(1)$
4440,$\mathsf{E}[(X-x_l)^+]$
4441,$X=X_{-1}+X_{0}$
4442,$\mathsf{E}[Z_A]=1$
4443,$xf(x)dx$
4444,$t=0.06405$
4445,$Y_{0}=\sum_{d>0} X_{d}$
4446,$a=Q+P$
4447,$Y\preceq Z$
4448,"$a_{0,0}:=a(Y_{0,0})$"
4449,$X_1+X_2\sim 2X$
4450,$l$
4451,$r_h=r+\pi$
4452,$\Delta  Q_{ro}(a)$
4453,$\bar Q_{0}$
4454,$=1-\nu F(a)$
4455,$X \le 0$
4456,$X^{-1}(A)\in\mathcal F$
4457,$\sup(X\wedge a)=a$
4458,$\mathbf{P_i} \in \mathbb{R}^2$
4459,$\mathsf{E}[\kappa_i(X)g'(S(X))]$
4460,$\mathsf{E}[X_i(x)]$
4461,$\bar\nu=1/(1+\bar\iota)$
4462,$\rho(X/n)=\rho(n(X/n))/n=\rho(X)/n$
4463,$1_{U_X\ge p}=0$
4464,$\mathsf x\mathsf{TVaR}$
4465,$F(X) - F_X(X-)=0$
4466,$\tilde X$
4467,$m'(0) = (m_1-m_0)/s_1$
4468,$B \in\mathcal B_p$
4469,$1/16$
4470,$\tilde X_1 = X_1  + \mathsf{E}[X_2]$
4471,$\bar\iota(a)=\bar\iota$
4472,$\mathsf{TVaR}_p(X)-\mathsf{E}[X]$
4473,$\mathsf P(X=X(\omega_0))>0$
4474,$X=X_i + (X-X_i)$
4475,$X(\omega)\mathsf{Pr}(\omega)$
4476,$\rho(X_1+X_2) \le \rho(X_1)+\rho(X_2)$
4477,$(0)$
4478,$\mu_i$
4479,$\mathsf{E}[kX]$
4480,$\mathsf{VaR}_1=\esssup$
4481,$#4$
4482,$v=x$
4483,$\phi(p)=g'(1-p)\ge 0$
4484,"$(0,0)$"
4485,$s_2$
4486,$\mathbf {a_1'}$
4487,$F(x) < p \iff q^-(p) > x$
4488,"$\mathbf {g(S)\,\Delta X}$"
4489,"$g(S)\,\Delta X$"
4490,$E'$
4491,$\delta+\nu$
4492,$\mathsf P(X\ge x_p)=1-p$
4493,$\mu=7.8044$
4494,$a_{2}'$
4495,$p>0$
4496,$z$
4497,$\mathsf{j}(91)=7$
4498,$\zeta_s = 8$
4499,$ag(0+)$
4500,$\rho-\iota g>0$
4501,$R = P-L$
4502,$\mathrm{sgn}(z)|z|^{1/(q-1)}/\|z\|_p^{q/p}$
4503,$o(dt)$
4504,$q^-$
4505,$A_4 = [0; \epsilon_1 + \epsilon_2]$
4506,$\mathsf{E}[q(U_X)1_{U_X\ge p}]$
4507,$\mathsf{Var}(Y) \ge \mathsf{Var}(X)$
4508,$0\le \omega\le 1$
4509,$q(p)=e^{\mu+z_p\sigma}$
4510,"$[f'_-(x_0), f'_+(x_0)]$"
4511,$p/\mathsf{E}[p]=p(1+r_f)$
4512,$a(\cdot)$
4513,$\mathsf{E}[X_i \mid X]$
4514,$L_p$
4515,"$X\ge 0,(\tilde X-X)\ge 0$"
4516,$\rho(\lambda X)$
4517,$\mathbf {j}$
4518,$Pr(X_{-1} > a)$
4519,$X\wedge a / X$
4520,$\tau=-1$
4521,$\mathsf{TVaR}_{p^*}$
4522,$X\ge x_p$
4523,$A(1_{U>0.95})=A(1_{U\le 0.05})=g(0.05)=0.3017$
4524,$\mathsf{TVaR}_{0.9}$
4525,$2.576\sigma_d$
4526,$\mathbf {Z_7}$
4527,$\mathsf{TVaR}_1$
4528,$\mathsf{E}[X\mid X>x]/\mathsf{Pr}(X>x)$
4529,$X_1=\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_1]$
4530,$\bar P_n$
4531,$\mathit{MV}_{gc}(a_{gc})=a_{gc}-\rho(X\wedge a_{gc})={{mv_gc}}$
4532,$\mathsf{Pr}(X_n\in A)=1$
4533,$1\wedge \cdot$
4534,"$g(s)= \displaystyle\int_0^s \phi(1-p)dp = \min(s/(1-\alpha), 1)$"
4535,$\ll$
4536,$0\le \alpha \le 1$
4537,$\bar P=\mathsf{E}[W]+\lambda\sigma(W)$
4538,$j=8$
4539,$\rho(X)=\mathsf{E}[Xe^{kX}]/\mathsf{E}[e^{kX}]$
4540,$\int_{\mathsf{E}[X]}^\infty (x-\mathsf{E}[X])^2 f(x)dx$
4541,$S_0=1-p_0$
4542,$\mathsf{E}[\cdot]$
4543,$\mathbf {Z_\mathit{lift}}$
4544,$g_{ROC}$
4545,$\rho_1(X)$
4546,$f(s) \ge s$
4547,$Q(a)=h(F(a))$
4548,$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[((X-\mathsf{E}[X])^+)^p]^{1/p}$
4549,$\mathbf {a=1}$
4550,"$\bar P_i(v_1, v_2, a) / v_i$"
4551,$q_C\le q_A$
4552,$. Thus $
4553,$k\mapsto k\rho(-X)$
4554,$\mathsf{TVaR}_1=\sup$
4555,$\lambda = \dfrac{E( r_{M} ) - r_{f}}{\sigma_{rM}}$
4556,$g'(1)<1$
4557,$u'''' \le 0$
4558,$\mathbf {g_3(s)=s^{0.7}}$
4559,$-X_i$
4560,$ROE=(g-s)/(1-g)=m/(1-s-m)$
4561,$X > a$
4562,"$f(0,0)=0$"
4563,$\mathsf{Var}$
4564,$l(kX)\le\rho(kX)$
4565,$\lambda \ge 0$
4566,"$0, 1/p$"
4567,$X\ge m$
4568,$E(X_{0}(a))$
4569,"$(0,1)$"
4570,$i=1\dots N$
4571,$-(1-s)g''(1-s) + g(0+)\delta_1 + \sum_s s\Delta_s \delta_{1-s} + g'(1)\delta_0$
4572,"$\mathsf{E}[X_{t,d}\mid \mathcal F_0]=\mathsf{E}[X_{t_d}]$"
4573,$\phi(0)=\mu(\{0\})$
4574,$X_1=X_2=10$
4575,$80=9.56 + 70.44$
4576,"$\kappa_{i}(x) = \dfrac{\sum_{j:X_{j} = x} X_{i,j} p_j}{\sum_{j:X_{j} = x}p_j}$"
4577,$S(p)=1-p$
4578,$x=q(\hat p)$
4579,$g(s)\le 1$
4580,$N\times d$
4581,$X=a$
4582,$P_{g}$
4583,$x=q_{\mathbf{v}}(s)$
4584,$dW_t$
4585,$a_x=2$
4586,$f(x)=\exp(-x/\mu)/\mu$
4587,$\bar M_i(a)$
4588,$Z\in \mathcal Q$
4589,$U=4$
4590,$f(x)=e^x$
4591,$X_{-1}=C_1 + \cdots + C_N$
4592,$M_i(x)+Q_i(x)$
4593,$V=1_{X\le x^\ast}$
4594,$\bar Q_{2}$
4595,$\bar P_g(a)=\rho(X\wedge a)$
4596,$g''(s)=0$
4597,$\mathsf x\mathsf{VaR}_p(X):=\mathsf{VaR}_p(X)-\mathsf{E}[X]$
4598,$K=3$
4599,$a\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[...]$
4600,$g(s)=\sqrt s$
4601,"$\bar P_{0,0}$"
4602,"$(x,-x)$"
4603,$n=9$
4604,$\hat q(p)=q(1-g^{-1}(1-p))$
4605,$A(0)=0$
4606,$\rho(X)\le\liminf \rho(X_n)$
4607,$c$
4608,$p^*=48.25/71=0.6796$
4609,$\mathsf{E}[X]+k\mathsf{Var}(X)$
4610,$d\tilde p=g'(1-p)dp=\phi(p)dp$
4611,$BC$
4612,$1 in a layer with loss probability $
4613,$d=1$
4614,$s/g(s)\le 1$
4615,$1/\lambda$
4616,$1-\alpha_i(x)S(x)$
4617,$Z=Z_X$
4618,$E[Z]$
4619,$\rho(\tilde X_1)=\rho(X_1)+\rho(\mathsf{E}[X_2\mid X_1])$
4620,$\sum_i X_i(a)=X\wedge a$
4621,$\mathsf{P}(\{X\in A\})$
4622,$M(x)/Q(x)$
4623,$d\omega$
4624,$\mathcal{Q}$
4625,"$(x_B, g(S(x_B-))$"
4626,$X=q(U)$
4627,$q_A(p) = \sup A$
4628,$\lambda > 1$
4629,$a \in \mathbb{A}$
4630,$y\le q_C(p)$
4631,$\rho(kX)$
4632,$u=ug(1)=ug(1)+(1-u)g(0) \le g(u)$
4633,$\Delta Q_{ro}(a) = a-a_{ro}$
4634,$x_A=\partial x/\partial A$
4635,$\mathsf{TVaR}_0$
4636,$\lambda=0.73$
4637,$Q^* > S$
4638,$c\le 1$
4639,$\omega=1$
4640,$\tau=0.03$
4641,"$\mathbf {S\,\Delta X}$"
4642,$p<0.9$
4643,"$\beta, \kappa$"
4644,$a=a_0+(1+c)\mu$
4645,$f_{\mathbf{v}}$
4646,$(d\mathsf{Q}/dP)(x) = (1-p)^{-1}1_{x >\mathsf{VaR}_p(X)}$
4647,$\frac{1}{1-p}\int_{1-p}^q \mathsf{VaR}_s(X)ds$
4648,"$\bar L, \bar P, \bar M$"
4649,$\mathsf{E}(X)=$
4650,$\nu$
4651,$\tau$
4652,$x_l < x=\mathsf{VaR}$
4653,$0\le p < 1$
4654,$Z\mid X$
4655,"$X:\Omega\to[0,\infty)\subset \mathbb R$"
4656,"$[a, a+da]$"
4657,$f>0$
4658,$S(x-)=0.1$
4659,$\rho(X)\le b$
4660,$s=0.45$
4661,$(1-p)$
4662,$Z(X(\omega))$
4663,$\mathsf{E}[X_i]$
4664,$\mathit{MV}_{ro}(a) = a-P(X_{-1}\wedge a)$
4665,$9+1=10+0=10$
4666,$\mathbf {\mathsf{VaR}_p(X_1)}$
4667,$g \circ S$
4668,$1+2c(1-\mathsf{Pr}(Z>\mathsf{E} Z))$
4669,$\mathsf{P}(\{\omega_i\})=1/4$
4670,"$\bar S_i(\mathbf{v}, a) := \mathsf{E}[X_i(\mathbf{v}, a)]$"
4671,$r_f>0$
4672,$\sum_\omega Z(\omega)\mathsf{P}(\omega)=\mathsf{E}[Z]$
4673,$X\wedge a$
4674,$NT$
4675,$p\ge p_0$
4676,$-\rho(-H)=\rho(H)$
4677,$\mathbf {X'\Delta S}$
4678,$L_X(X)=\rho(X)$
4679,"$\{(s_j, g_j)\} \cup \{(0,0), (1,1)\}$"
4680,$\displaystyle\int_0^\infty xdF(x)$
4681,$g = s^{0.4}$
4682,"$0.06 \times (64,861 - 7,500)=3,442$"
4683,$a_1'=a_0-X_{1}$
4684,$N(t)$
4685,$\rho(X)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]=\mathsf{E}[XZ]$
4686,$v=S$
4687,$\mathsf{VaR}_p(X)$
4688,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[Y] = \mathsf{E}[Yg'(S_X(X))]$
4689,$u^{iv}<0$
4690,$\lambda_1$
4691,$X_1=c_1-Y/2$
4692,$\alpha < 1$
4693,$Y+W$
4694,$\bar q(s)=q(1-s)$
4695,$P=\mathsf{E}[X]$
4696,$L-f(L)$
4697,$X=MX_2$
4698,$a=a(X)$
4699,$\alpha_i(a)$
4700,$\bar\iota : 1$
4701,$a < kP$
4702,$\rho(X)=\sum_n X(n)\mathsf{P}(n)$
4703,$X_i/X$
4704,$\partial a/\partial v_i$
4705,$U(-X)\ge U(-Y)$
4706,$\rho(X)\le \lim\rho(X_n)$
4707,$wq_Y(p)+(1-w)q_Z(p)$
4708,$\mathsf{var}(\sum C'_i)=v_{res}^2 \sum c_i^2$
4709,$p^-$
4710,$h(0)=0$
4711,$0\le p^\ast\le 1$
4712,$\alpha\ge A(n)=\sum_s n_s(1-g(s))$
4713,$af=1$
4714,$N=n$
4715,$q=1-p$
4716,"$\{x_1,\dots,x_N\}$"
4717,"$(0,0,0,0,0,0,0,0,5,5)$"
4718,$X_n(\omega)=0$
4719,$1-s_j$
4720,$c(1)-c(\mathsf{var}nothing)=c(1)$
4721,$\mathsf{TVaR}_p(X)-\mathsf{VaR}_p(X)=\sigma(\phi(\Phi^{-1}(p))/(1-p) - \Phi^{-1}(p))\to 1$
4722,$\alpha_j'(x)<0$
4723,$\mathsf{E}[X_1h(X)]$
4724,$P=D$
4725,$f(w) = \exp(-w)$
4726,$1+r^*=(1+r)(1+\tau)$
4727,$a=P+Q$
4728,$X\wedge 10$
4729,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[Y\mid X]\mathsf{E}[Z\mid X] = \mathsf{E}[YZ \mid X]$
4730,"$u\in[0,1]$"
4731,$L_0^l(X)$
4732,$j=1$
4733,$g(s)=\mathsf{TVaR}_{.99}$
4734,$m+1$
4735,$\rho_h(X):=\mathsf{E}[X_h]$
4736,$S(x):=\mathsf{P}(X>x)$
4737,$9.67$
4738,$\|\cdot \|_\rho=\rho(|\cdot |)$
4739,$L^*$
4740,"$(x_{2,1}, x_{2,2})$"
4741,"$(x,y)$"
4742,$p>1$
4743,$\mathsf{VaR}_1$
4744,$p=\Phi^{-1}(4)=3.17\times 10^{-5}$
4745,$g(s)=s^a$
4746,$X_i\Delta g(S)$
4747,$x'$
4748,$\mathsf{E}[g'(S(X))]=\int_0^\infty g'(S(x))dF(x)=\int_0^\infty -\frac{d}{dx}g(S(x))dx=g(S(0))-g(S(\infty))=g(1)-g(0)=1$
4749,$\rho_g(X)=51.156$
4750,"$(s,g(s))=(0.2, 0.36)$"
4751,$\delta^{\star}$
4752,$\mathsf Q^t\cdot X$
4753,$\mathsf{Pr}(\Omega)=1$
4754,$s(0)=s_0=0$
4755,$dS=-f(x)dx$
4756,$1_{\{X>x\}}$
4757,$\ge x$
4758,$g'(1-p)$
4759,$Z(x)$
4760,$0.495(r-i)$
4761,$\tau(a-\bar P_\tau(a))$
4762,"$\bar Q_{0,2}$"
4763,"$u'>0, u''>0$"
4764,$Y(\omega)=0$
4765,$g(S(x))=s$
4766,$P/S$
4767,"$p\in[0,1]$"
4768,$X=F^{-1}(U)$
4769,$>1$
4770,$r\times m$
4771,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[(X-a)^+] \le \rho((X-a)^+)$
4772,$\mathbf {D^n\rho_{X\wedge 30}(X_1)}$
4773,$s=0$
4774,$\hat q(p)=x$
4775,$\mathscr{O}(f)$
4776,"$1/2,1/4,1/4$"
4777,$n-5$
4778,$q(1-g^{-1}(1-p))/q(p)$
4779,$Z-X$
4780,$s>0$
4781,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i \mid X=x]=\mathsf{E}[X_i g'(S(X))1_{\{X=x\}}] / \mathsf{E}[g'(S(X))1_{\{X=x\}}] = \mathsf{E}[X_i1_{\{X=x\}}]/\mathsf{E}[1_{\{X=x\}}]=\mathsf{E}[X_i\mid X=x]$
4782,"$\pmb{j, p, S, \kappa_1, \Delta X, \Delta(X\wedge a)}$"
4783,$S(x)$
4784,$0\le x < 1/6$
4785,$K = \mathsf{E}[\exp (\lambda x)]^{-1}$
4786,$Y=\mathsf{E}[Z\mid\mathcal G]$
4787,"$\omega=0,1,\dots, 99$"
4788,${}^2S(t)=\mathsf{E}[(X-t)_+]$
4789,"$0,0,1,2,3,6,10,18,36,52$"
4790,$\mathbf {X_{n}}$
4791,$t=0$
4792,$p=0.791$
4793,$\ge \mathsf{E}[X]$
4794,$f(x+)$
4795,$X_{2c}$
4796,$\mathsf{E}_{QQ'}[X_i(a)] \ne \mathsf{E}_{QQ}[X_i(a)]$
4797,$\mathcal S$
4798,$\mathbf {M_{2}}$
4799,$q_{\mathbf{v}}(p)=\mathsf{VaR}_p(X(\mathbf{v}))$
4800,$p(\omega)$
4801,$0\le p^*\le 1$
4802,$r_N$
4803,$\rho(X_g)-\rho(X_n)=51.1560-49.8986=1.2574$
4804,$\sum_i x_i\mathsf{Pr}(X=x_i)$
4805,"$\mathsf{Q}_2(A)=2\mathsf{P}(A\cap (0.5, 1])$"
4806,$S(x)=0$
4807,$5/6$
4808,$\bar S(a)=\mathsf{E}[X\wedge a]$
4809,$s^\ast=1/2$
4810,"$a_{0,t}:=a(Y_{0,t})$"
4811,$0\le p_0 \le p_1\le 1$
4812,$0.2$
4813,"$X_1,X$"
4814,$(1-r_0)\delta_1$
4815,"$[0,1-p)$"
4816,$\mathcal Q_2$
4817,$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_{t+1}]$
4818,$\mathsf{Pr}(\mathsf{var}nothing)=0$
4819,$\rho\mapsto a^\rho(\ \cdot\ ;\ \cdot\ )$
4820,$\lambda\rho(X)$
4821,$\mathcal D(X)=c\mathsf{Var}(X)$
4822,$\le$
4823,$u''' \ge 0$
4824,$\rho(X\wedge a)$
4825,$Y_2$
4826,$X=X_1+...+X_n$
4827,$\mathsf{E}[X\mid A]$
4828,$g_j$
4829,$\mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{SD}(X)$
4830,$1 < \alpha < 2$
4831,$\Delta  \mathit{MV}_{ro}(a)$
4832,$\phi(s)$
4833,$p\cdot X$
4834,$\mathsf{E}[U]=\mathsf{E}[X]$
4835,$\mathbf {Z_\mathit{lin}}$
4836,$\beta_i(x)=\mathsf{E}_\mathsf{Q}\left[ \dfrac{X_i}{X}\mid X > x\right]$
4837,$p_0 \le p^\ast \le p_1$
4838,$D\rho(\cdot)$
4839,$\lambda=0.25$
4840,$u'''>0$
4841,${}^nS^{-1}_X(q)\le {}^nS_Y(q)$
4842,$S_X$
4843,"$(\Omega, \mathcal{F})$"
4844,$S\subset\Omega$
4845,$\hat q(p) > q(p)$
4846,$\mathsf j(a)$
4847,$X+c$
4848,$S(y_j-)-S(y_j)$
4849,$\mathbf {Z_3}$
4850,$\Phi^{-1}(0.995)=2.576$
4851,$g(p)/p$
4852,$\alpha_2(99)=0.9$
4853,$\alpha_iS\Delta X$
4854,$L_0^a(X)=X\wedge a$
4855,$\mathsf{E}[v^T] \ge v^{\mathsf{E}[T]}$
4856,$g(s)=s^{0.7}$
4857,${}^2S^{-1}(t)=q\mathsf{TVaR}_q(X)$
4858,$\bar P_{0}=\rho(Y_{0})$
4859,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[\mathsf{E}[X_i \mid X]]$
4860,$g'(s)=\phi(1-s)\ge 0$
4861,$\mathsf{MONO}$
4862,$\bar M_i(a)>0$
4863,$g(S(0-))=1$
4864,$\rho(0)=\rho(0+0)=\rho(0)+\rho(0)$
4865,$\rho(X_0)$
4866,$\delta_p/\nu_p = \iota_p$
4867,$\mathcal{Q}=\mathcal{M}$
4868,$\rho \ge \mathsf{E}[X]$
4869,"$d=1,\dots,N$"
4870,$x=0$
4871,$\mathsf{j}$
4872,$\mathsf{E}[X] + c\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)_+^2]$
4873,"$E_1,\dots,E_N$"
4874,$\mathsf{E}[Z\mid X]=0$
4875,$(1-p)x_0$
4876,$U\le p$
4877,"$(x_1-\epsilon,x_1]$"
4878,$\sigma=0.15$
4879,$pl(p)$
4880,$g'(0)$
4881,$P = \mathsf{VaR}_\pi(X)$
4882,$C_i$
4883,$x\mapsto (x-a)^+$
4884,$\beta_L$
4885,$D\rho_X(X_i)$
4886,"$\alpha_1,\alpha_2$"
4887,$\{X>x\}$
4888,"$x_{2,2}$"
4889,$w=1$
4890,$\mathbf  n$
4891,$\mathsf{E}[Z\mid X]$
4892,$F_2\prec_2 F_1$
4893,$Z_8$
4894,$T^{-1}(A)$
4895,$\mathsf{TVaR}_{0.95}(Y)=0.8\mathsf{E}[X]=2000$
4896,$g'(s) = rs^{r-1}$
4897,$\mathsf{Q}\in\mathscr{M}$
4898,$\mathsf{P}_X(A) :=\mathsf{Pr}(X\in A)$
4899,$\rho(X)/2$
4900,$ro$
4901,$\alpha(\mathsf Q) < \infty$
4902,$x_p$
4903,$X\Delta S$
4904,$S=e^{\mu t}$
4905,$\Delta gS$
4906,$s^{th}$
4907,$\mathsf{E}[(X-\mu)^n]$
4908,$X=X_0+Y$
4909,$20$
4910,$\mathsf{TI}$
4911,$b-a$
4912,$\sigma(Z)=\sqrt{\mathsf{var}(Z)}$
4913,"$\tau(a-\rho_{a,\tau}(X))$"
4914,$\rho(X) < \infty$
4915,$Y=c$
4916,$\rho(W_0\wedge a_0)$
4917,$g(0.01)=0.1$
4918,$f(x)=(x-d)^+1_{\{x \le m \}}$
4919,$X\circ T$
4920,$\mathsf{E}[X\wedge 0]=0$
4921,"$(\x*.75, -2)$"
4922,"$\mu=8.7, \sigma=2.5$"
4923,$p=0.05$
4924,$\mathit{RV}$
4925,$n=7$
4926,$X_4=X_5=10$
4927,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[.]$
4928,$n\to \infty$
4929,$i\not=j$
4930,$H(x)$
4931,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i \mid X]$
4932,$a\le \rho(X)\le b$
4933,$EL$
4934,$\alpha_i'(x)<0$
4935,$q_Z$
4936,$dp=f(x)dx$
4937,$v_{res}\sqrt{(1+v^2)/n}\approx  v_{res}v/\sqrt{n}$
4938,$\rho(X_i)\le 0$
4939,$s=s_1+s_2$
4940,$\displaystyle\int_0^1 X(1-g^{-1}(1-\tilde p))d\tilde p$
4941,$F(x_0)= p_+>p_0$
4942,$g''(s)<0$
4943,"$(s,m)$"
4944,$U = A = 8.149$
4945,$P(a)da$
4946,$B(p)$
4947,$Q=a-P$
4948,"$2^1, 2^3, ...$"
4949,$c(S)= \rho\left( \sum_{i\in S} X_i \right)$
4950,$\partial f_{\bar x}/\partial x_i$
4951,$\log(x)$
4952,$L_d^{d+l}$
4953,$\alpha(\mathsf Q)\not=0$
4954,$X\le a$
4955,$\kappa_i(x)/x$
4956,$\bar P_{d}=\rho(Y_{d})$
4957,$D^n\rho_X(X_2)=45.1838$
4958,$f(x)=1$
4959,$X_0+\epsilon Y$
4960,$g_\tau$
4961,$\phi'(s)ds$
4962,$S\approx \mathsf{E}[X]$
4963,$g'(1)>0$
4964,$A=8.13$
4965,$\mathbf {\kappa_1}$
4966,$X_n$
4967,$a=P+Q=EL+M+Q$
4968,$\mathit{MV}_{ro}(a_{ro})$
4969,$g(0-)f(\esssup(X))$
4970,$S(x)=d/dx(\mathsf{E}[X \wedge x])$
4971,$g_1$
4972,$g'(1-p)=\nu$
4973,$\mathbf {\rho(X\wedge a)}$
4974,$X_1+X_2=X$
4975,$|t|$
4976,$\prec_n$
4977,$P(X\wedge a)=\bar P(a)$
4978,$\bar x$
4979,$x_h>x=\mathsf{VaR}$
4980,$1+\gamma$
4981,$S/P$
4982,$X_0$
4983,$b_h$
4984,$\mathsf P(X>a)>0$
4985,$(1+\gamma)^{t-x}$
4986,$n > 2$
4987,$=\displaystyle\int_0^\infty x \P(\{X \in dx \})$
4988,$\mathbf {a_2'}$
4989,$\phi'(p)=f(p)/(1-p)\ge 0$
4990,$\mathsf{VaR}_{0.98}$
4991,$\sup X$
4992,$h_f$
4993,$\lambda>0$
4994,${10\choose 5} = 252$
4995,$T$
4996,"$i,v$"
4997,$a_i':=\sum \alpha_i(1-S)\Delta (X\wedge a)$
4998,$F:\mathbb{R}^n \to \mathcal{X}$
4999,$u_i$
5000,$N=40$
5001,$Pr(X > a)$
5002,$X_i(a')$
5003,$t\mapsto s(t)$
5004,$a_{1}$
5005,$\int_0^1 f(p)dp = 1 - \alpha < 1$
5006,$X=q(U_X)$
5007,$t=w$
5008,$E[X_2 | X]$
5009,$B=\Omega$
5010,"$1 million auto accident, a $"
5011,$3^{20}$
5012,"$(-\x*0.75, -2)$"
5013,$\bar S_i(x)$
5014,$dX$
5015,$D\rho_X(X_1)$
5016,"$\int_0^\infty z(x)\,dF(x)=1$"
5017,"$X_{t+1,1}$"
5018,$\log$
5019,$(1-g(s))q$
5020,"$(0,0,\dots,0,10)$"
5021,"$\iota, \iota(p)$"
5022,$\mathsf{Var}^+(X) = \int_{\mathsf{E}[X]}^\infty (x-\mathsf{E}[X])^2 f(x)dx$
5023,$\mathsf{TVaR}_{0.5}(X_2)=45.5$
5024,$t-2$
5025,$Z_2$
5026,$\prec_2$
5027,$0\le x < X_1$
5028,$\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[X] \le \rho(X)$
5029,$a=\sum_i a_i$
5030,$s<0.1$
5031,"$a(x_1,x_2)=\sqrt{3x_1^2 + 4x_2^2}$"
5032,$\mathsf{E}[XZ_j] = (5)(1/10)(8)+(5)(1/10)(9)=8.5=\mathsf{TVaR}_{0.8}(X)$
5033,$E[u_j(W_j - X_j + Y_j - H[Y_j])]$
5034,$0\le \mathsf{Pr}(E)\le 1$
5035,$1-p=0.9$
5036,$h(s)=1-g(1-s)$
5037,$(P-L)/A$
5038,$X_1(10)$
5039,$AR\succ BY$
5040,$w_0$
5041,$q_X\le q_Y$
5042,$0 < \alpha\le 1$
5043,"$\mathsf{biTVaR}_{0,1}^w$"
5044,"$a_i=\rho(X_i, p^*)$"
5045,$\mathsf{E}[1_{U_X\ge p}]=\mathsf{E}[B]$
5046,$\phi(p)=g'(1-p)$
5047,$1/(1+r)$
5048,$\dfrac{1}{1+\iota} p$
5049,$p(1-p)$
5050,$\rho(X) = \int_0^\infty g(S(x))dx$
5051,$\sum S\Delta(X\wedge a)$
5052,$V^*$
5053,$\partial a/\partial v_1$
5054,"$A_1=[-k,-k]$"
5055,$p=0.25$
5056,$a^{\star}(X)$
5057,$0.8 \ge p < 0.9$
5058,$\mathcal{G}$
5059,$g'(s-)$
5060,$k$
5061,$\rho(X_n) \downarrow \rho(X)$
5062,$q_X(U)$
5063,$wq_X(p)+(1-w)q_Z(p)$
5064,"$p\in  [0,1]$"
5065,$g(s) \approx m_0+(1+m'(0))s$
5066,"$Y_{0,0}:=\sum_{d>0} X_{0,d}$"
5067,"$Y_m=\max(X_1,\dots,X_m)$"
5068,$\mathsf{VaR}_{0.99}(X_1)=150$
5069,$0.01$
5070,"$t^\star \in [0,1]$"
5071,"$\{1,2,\dots, n\}$"
5072,$a < \max(X)$
5073,$\mathcal N_X(X_i)$
5074,$x^{\ast}:=\min(x)$
5075,$0.5L_{250}^{500}(x)+0.75L_{500}^{750}+L_{750}^{1000}$
5076,"$x_0, x_1, x_2$"
5077,$\sum (1-S)\Delta (X\wedge a)$
5078,"$[0,\infty)\subset\mathbb{R}$"
5079,$\mathsf{Pr}(X=\mathsf{VaR}_p(X))=0$
5080,$\mathsf{E}[(X-a)^+]/\mathsf{E}[X]$
5081,$\bar Z = F(\bar x)$
5082,$^2$
5083,$q_{X}(p)=\sqrt{2}\Phi^{-1}(p)$
5084,$a = a(\mathbf{v}) = a(X(\mathbf{v}))$
5085,$s=1$
5086,$S\cdot dX$
5087,$s$
5088,$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F']$
5089,$S(x)=u$
5090,$\sup_{\omega\in\Omega} (f(\omega)+g(\omega)) \le \sup_{\omega\in\Omega} f(\omega) + \sup_{\omega\in\Omega} g(\omega)$
5091,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[0]=0$
5092,"$0,1,1,1,2,3, 4,8, 12, 25$"
5093,$\triangleright$
5094,$\mathsf{TVaR}_p(X)=51.156$
5095,"$A\subset [0, \infty)$"
5096,"$\Delta\,g(S)$"
5097,$f(x)\le f(y)$
5098,$\rho(X) = \mathsf{E}[X] + \lambda \mathsf{E}[(X-\mathsf{E}[X])^+]$
5099,$da$
5100,$\mathsf{E}[X]=0.6$
5101,$S=1$
5102,$L_{250}^{\infty}$
5103,$\mathcal S(X)=\mathsf{E}[X]$
5104,$0 = x_0< x_1<\cdots < x_n < \cdots$
5105,"$\nu p\,da=\nu F(a)\,da$"
5106,$X=\mathsf{E}[Y \mid \mathcal F']$
5107,$\hat p:=1-g^{-1}(1-p)$
5108,"$X(x_1, x_2)=(x_1+x_2)Y$"
5109,$1-F(x)=1-p$
5110,$\mathcal F_t$
5111,$\rho(X)=\rho(X-Y+Y)\le \rho(X-Y) + \rho(Y)$
5112,$c \le 0$
5113,$S(x_{(j)})(x_{(j+1)}-x_{(j)})$
5114,$p=0.9$
5115,$\rho(X+Y) \le \rho(X) + \rho(Y)$
5116,$e^{X_t}$
5117,$n\times r$
5118,"$f'_\omega (\bar x, h)$"
5119,"$Y_{t,d+1}$"
5120,$F(b)-F(a)$
5121,$\rho(X)\ge\rho(X+Y)\ge \rho(X)+\mathsf{E}[YZ]$
5122,$a_{ro}:=\mathit{VaR}_{p}(X_{-1})=10743.5$
5123,$\rho(X) - (-\rho(-X))=\rho(X)+\rho(-X)$
5124,$Z_\epsilon$
5125,$(\beta_i g(S))'(x)=-\mathsf{E}[X_i\mid X=x]g'(S(x))f(x)/x=-\kappa_i(x)g'(S(x))f(x) / x$
5126,$\{3\}$
5127,$\lim_{\epsilon \downarrow 0} (f(x-\epsilon)-f(x))/\epsilon$
5128,$\max_{\mathsf{Q}} \mathsf{E}_\mathsf{Q}[0] -\alpha(\mathsf Q) =\max_{\mathsf{Q}} -\alpha(\mathsf Q)= -\min_{\mathsf{Q}} \alpha(\mathsf Q) = 0$
5129,"$1,9,4,4,2,$"
5130,$g(S)$
5131,$\mathsf{WCE}_p(X) := \sup\ \{ \mathsf{E}[X \mid A] \mid \mathsf{Pr}(A) > 1-p \}$
5132,$\mathsf{TVaR}_p( X )$
5133,$\mathsf{MON}'$
5134,$\mathsf{TVaR}_{p_1}(X)$
5135,$1_{X < q(1-s)}-(1-g)$
5136,$g(x)=e^{2\pi i x\theta}$
5137,"$\mathsf{E}[Y_{0,0}]+\lambda\sigma(Y_{0,0})=58.129$"
5138,$f=f(s)$
5139,$l=a$
5140,"$H(A, L, t)$"
5141,$\mathsf{TVaR}_{0.75}=4\left( \frac{90}{8}+\frac{98}{16}+\frac{100}{16}\right)=94.5$
5142,$\mathit{NPV}$
5143,$E_k$
5144,$g(s)=s^\rho$
5145,$X\ge 0$
5146,$1.2\times 10^9$
5147,$p=F(x)=\mathsf{Pr}(X\le x)$
5148,$\mathsf{Pr}(X > \mathsf{VaR}_p(X))$
5149,$f'(a)$
5150,$y\in A$
5151,$0 < \lambda \le 1$
5152,"$\mathsf{cov}(X_i,X)/\sigma_X$"
5153,$s=S(x)=\mathsf{Pr}(X>x)$
5154,$t_1$
5155,$\lambda>1$
5156,$g(S(x))=g(0)=0$
5157,$D^n\rho_{X\wedge a}(X_i)$
5158,$\mathsf{E}[X\mid \mathcal F_t](\omega)$
5159,$\tau < t+d$
5160,$s_2=1$
5161,$\mathsf{E}[X_i\mid \{X=X(\omega)\}]$
5162,$\mathsf j(a)=\max \{ j:X_j < a \}$
5163,$g'(S(x))\ge 1$
5164,$1-\tilde p=g(S(x))$
5165,$F_m\succ_m F_0$
5166,"$X_{t,d+1}$"
5167,$A(-X)=-B(X)\not=-A(X)$
5168,$g=1$
5169,$0.99$
5170,$f_t$
5171,$\mathsf{Var}^+(X)$
5172,$E[YZ]$
5173,$1-r_0$
5174,$\lambda=0$
5175,$\mathsf{E}[X_i\mid X]$
5176,$\beta_2g-\alpha_2S$
5177,$\rho(X)=\mathsf{E}[Xg'(S(X))]=\mathsf{E}[\sum_i X_i g'(S(X)))]=\sum_i \mathsf{E}[X_ig'(S(X))]$
5178,$\mathsf{E}[X_i\wedge a_i]$
5179,$x^*$
5180,$\lambda t$
5181,$\{X > \mathsf{VaR}_p(X)\}$
5182,$r_f = 0.02$
5183,$x=1$
5184,"$[s_0, s_1]$"
5185,$(\beta g(S))'(x)=-\kappa_i(x)g'(S(x))f(x)/x$
5186,"$a_{0,1}$"
5187,$X_{d}$
5188,$q(p)=\inf\{x \mid F(x)\ge p \}$
5189,"$([0,1], \mathcal B, \mathsf P)$"
5190,$\alpha(\mathsf{Q})=\infty$
5191,$\rho_a(0) = \rho(0 \wedge a(0)) = \rho(0 \wedge 0) = \rho(0) = 0$
5192,$\rho(X)\le \rho(\lambda X)/\lambda$
5193,$c(\sum_{i\in S} X_i)$
5194,$g(0)=0$
5195,$\alpha_{1}$
5196,$0 < b \le 1$
5197,$pX + (1-p)Z$
5198,$\pi(X)$
5199,${}^nS^{-1}(q)$
5200,$\sup X=\inf$
5201,$Q^*$
5202,$v-\nu^{\star}=(\iota^{\star}-i)/v\nu^{\star}$
5203,$_{ro}$
5204,$\iota=\delta/\nu$
5205,$m'(1) = -m_2/(1-s_2)$
5206,$D^n\rho_{X\wedge a}(\cdot)$
5207,$P_i=\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i]$
5208,$(M-N)\times d$
5209,$S(x_0)=1$
5210,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X1_A] / \mathsf{E}_\mathsf{Q}[1_A]$
5211,$10/11$
5212,$f(L)=(L-a)^+$
5213,$\tilde Z_X:=\mathsf{E}[Z\mid X]$
5214,$\mathsf{j}(a) = \max\{ j:X_j < a \}$
5215,"$3.807=\lambda \sigma(W_{0,0})$"
5216,$h(x)=\sqrt x$
5217,$ for $
5218,$S(x-)=1$
5219,$\{ Z\not=0 \}$
5220,$\iota=(g(s)-s)/(1-g(s))$
5221,$\tau=0$
5222,$\mathsf{E}[X_iZ]$
5223,$(r-i)Q_t$
5224,$\delta p$
5225,$\mathsf{TVaR}_p = q(p)$
5226,$\mathsf{E}[Z]=g(1)-g(0)=1$
5227,$\sigma=0.1980$
5228,$X_1> x_1$
5229,$\mathsf{E}[X_1\mid X=20]= 14$
5230,$1/(1-p)>1$
5231,$\mathbf {\mathcal Q}$
5232,$\lambda\mathsf{E}[X]$
5233,$q_V(p)=0$
5234,$(1-s)^{-1/2}/4$
5235,$g(0-)$
5236,$(s+\iota) / (1+\iota)$
5237,$k = 1.4 + 1.8s$
5238,$\Psi(x)=1-\exp(-e^x)$
5239,$=\displaystyle\int_0^\infty S(x)dx$
5240,$dp$
5241,$da\to 0$
5242,"$(lee.east |- lee.north)+(0.25,0.25)$"
5243,$G$
5244,$X'=0$
5245,$\rho_g$
5246,$\mathsf{E}[X_i/X\mid X>x]$
5247,$s > 0.5$
5248,$\rho=0.12$
5249,$\beta_1g(S)dx$
5250,$X(x)=x$
5251,$g(S(x)) = S(x) + \delta(F(x))F(x)$
5252,$L_X \in \mathcal L_\rho$
5253,$g-S$
5254,$x_0$
5255,$0=\rho(0)$
5256,$Xm1=X_{-1}$
5257,$1-g^{-1}(1-p')$
5258,$B(1_{U>0.95})=B(1_{U\le 0.05})=h(0.05)=1-g(1-0.95)=0.0203$
5259,$\mathcal D(X)=\rho(X)-\mathsf{E}[X]$
5260,$\phi(p)\ge 0$
5261,$E(X_{-1}\wedge a)$
5262,$n=8$
5263,$R/Q$
5264,$q < p$
5265,$x=wy + (1-w)z$
5266,"$B_3=[-k, \epsilon]$"
5267,$Q = 5.0449$
5268,$n'=7$
5269,$g'(t)>0$
5270,"$j=0,\dots, N-1$"
5271,$0\ < p < 1$
5272,$(S_t-a)^+$
5273,$\alpha+\beta = \iota^\ast/(1+\iota^\ast)$
5274,$\sin(x)$
5275,$\mathbf{P_i}$
5276,$a_{gc}:=\mathit{VaR}_{p}(X)={{a_x}}$
5277,$\mathsf{VaR}_{0.995}$
5278,$P(X_{-1}(a_{gc}))={{mvp_gc}}$
5279,$\rho''(x)=-U''(x)>0$
5280,$\{\omega\mid X(\omega)=x\}$
5281,$\kappa$
5282,$e$
5283,$\omega'=\omega$
5284,$0.3 < s <0.4$
5285,$\mathbf {d=2}$
5286,$g(s)=s^\alpha$
5287,$X_1-X_2$
5288,$\mathbf {g(S)\Delta X}$
5289,$a = \sum_i a_i$
5290,$\rho(X)=1$
5291,$H(X)\le H(Y)$
5292,$Y=X$
5293,$\{\omega\in \Omega \mid (X\wedge a)=a \}$
5294,$X\ge x_0$
5295,$r=1$
5296,"$\bar Q_{0,1}$"
5297,$Y\preceq_2 X$
5298,$\rho(X)=k\mathsf{Var}(X)$
5299,$\delta = \iota\nu$
5300,$g'(1-s)=\phi(s)$
5301,$q(U_X) < m$
5302,$\alpha_1$
5303,$A(X+Y)\le A(X)+A(Y)$
5304,"$a_{0,t}' = a_{0,t}$"
5305,"$j=5,6$"
5306,$\mathsf Q_k$
5307,$\lambda < 1$
5308,$\mathcal E:=\{Y \circ T \mid T \text{ PPT} \}$
5309,$Xp$
5310,$F(x)=\mathsf{P}(\{X\le x\})$
5311,"$(lee.east |- lee.south)+(0.375,-0.25)$"
5312,$p_j=\mathsf{P}(X=X_j)$
5313,$dF=-dS=$
5314,$m(s) := (1-s)\wedge m(s)$
5315,$\mu_{rU} = M/K = 0.133$
5316,$y \wedge (x-a)^+$
5317,$\mathcal A=\{X\mid \rho(X)\le 0 \}$
5318,"$Y_{0,0}$"
5319,$\bar P_{1}$
5320,$\alpha_1+\alpha_2=\beta_1+\beta_2=1$
5321,$a_l>b_l$
5322,$X_0=0$
5323,$\Delta Q_{gc}(a)$
5324,$P_j=\sum_{i=0}^j p_i$
5325,$\{y_j\}$
5326,$X=3$
5327,$\mathsf{Pr}(q^-(F(X))\not=X)=0$
5328,$\rho(X)=\bar P$
5329,$\alpha(\mathsf Q)\ge 0$
5330,$a_l$
5331,$A$
5332,$v(AB) + v(ABCD) =  3/2 > v(ABC) + v(BCD) = 4/3$
5333,$\sum p_jX_j$
5334,$0.5+U/4$
5335,$n=3$
5336,$\bar\nu$
5337,$p^*=1$
5338,$r_K = \exp (\lambda) - 1$
5339,$v(\mathsf{var}nothing) =0$
5340,$n\mathsf{Pr}(Y > y_c)$
5341,$x<1$
5342,$a(X)=a(\sum_i X_i) = \sum_i a_i$
5343,$P(X_{-1}(a))=\bar P^a_0$
5344,$\kappa_{1}$
5345,$\{\omega\in\Omega \mid X(\omega) \le x\}\in\mathcal F$
5346,$\mathsf{TVaR}_{0.6975}$
5347,$F(q^-(p))=p$
5348,$\mathsf{E}[X]+\mathsf{var}(X)/\mathsf{E}[X]$
5349,$B_2 \succ A_2$
5350,$\hat{s}$
5351,$\rho(X+\rho(X))=\rho(X)-\rho(X)=0$
5352,$\mathsf{NORM}$
5353,$Y\succeq X$
5354,$\lim_{x\to\infty} xg(S(x))=0$
5355,$\int xdF$
5356,$\mathbf {M_1\Delta X}$
5357,$t > 2/3$
5358,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]=\mathsf{E}[XZ]$
5359,$p=1-s_j$
5360,$\mathsf{E}[\mathsf{E}[X_iZ\mid X]]\not=\mathsf{E}[\mathsf{E}[X_i\mid X]\mathsf{E}[Z\mid X]]$
5361,"$d,v\ge 0$"
5362,$X_1\le X_2$
5363,$r_D$
5364,$x=\max(X)$
5365,$c=0$
5366,$1/\lambda = \sum_j 1/\lambda_j$
5367,$>0$
5368,$\rho_a(X)>2\rho_a(X_1)$
5369,$Z(200)=0$
5370,$A=\{X>x\}$
5371,$n\ge 0$
5372,$\bar P(a)\le a$
5373,$\mathsf{Pr}(X < x)=p=\mathsf{Pr}(X\le x)$
5374,$\displaystyle\int_0^\infty g(S(x))dx$
5375,$M(x)$
5376,$\mathbf {M\Delta X}$
5377,$\rho(\tilde X)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}}[\tilde X]$
5378,$\int_0^1 F^{-1}(p)dp$
5379,$e_x=\sum_t {}_tp_{x}$
5380,$g'\left (S_{X\wedge a}(X\wedge a)\right )$
5381,$0 < g' \le 1$
5382,$\mathit{NPV}_1$
5383,$w(Z)/\mathsf{E}[w(Z)]$
5384,$0.75+U/4$
5385,$g_2$
5386,$r_D=0$
5387,$\displaystyle\int_\Omega X(\omega)\P(\omega)$
5388,$p:=1-s$
5389,$\bar\delta=\bar\iota\bar\nu$
5390,$\rho(aX)=a\rho(X)$
5391,$f(x-)$
5392,$\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X_i(a)]$
5393,$A_i\cup A_i^c$
5394,"$(s_0,g(s_0))$"
5395,$Q_0=0.25$
5396,$3$
5397,$X=\sum_t B_t/2^i$
5398,$\iota(s)=(1-s)/(1-1)=\infty$
5399,$Z_A=(1-p)^{-1}1_A$
5400,$Q\circ T\in\mathcal{Q}$
5401,$\mathsf{Pr}(B\le t) = 1/2 + 1_{t>1/2}(1/2)$
5402,$\mathcal Q$
5403,$\Delta X_j=X_{j+1}-X_j$
5404,$w$
5405,$t>\tau$
5406,$1-g(S(t))$
5407,$ to be the set of all sample points where the insurance event $
5408,$1-1_{X>a}=1_{X\le a}$
5409,$s=1-p$
5410,$f(x)=x$
5411,$s \approx 0$
5412,$j=9$
5413,$\mathsf{E}[Z(X)]=1$
5414,$k\le m$
5415,$\{\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X_i] \mid \mathsf Q\in\mathcal Q(X)\}$
5416,$\mathsf{E}[|X|]<\infty$
5417,$\epsilon$
5418,$\mathsf{E}[X_i (X\wedge a)/X \mid X=x] = \mathsf{E}[X_i\mid X=x]  (x\wedge a)/x$
5419,$\bar Q(a)=a-\bar P(a)$
5420,$#2$
5421,$\rho(X) = \mathcal{N}_{\tilde X}(X)$
5422,$p$
5423,$\mathbf {a=0.93}$
5424,$3/4 \pm 1/4$
5425,$10^{-2}$
5426,$\mathsf{E}[X\wedge a] + d(a - \mathsf{E}[X\wedge a])$
5427,$\mathcal B$
5428,"$(\Omega,\mathcal F, \mathsf{P})$"
5429,$\epsilon>0$
5430,"$g(s) = \nu s + \delta, s>0$"
5431,$X(\omega)\ge a'$
5432,$\mathsf{E}[Xe^{hX}]/\mathsf{E}[e^{hX}]$
5433,$r=0.025$
5434,$\mathsf{E}[1_{X>a}]=\mathsf{P}(1_{X>a}=1)$
5435,$\{X=q_X(p)\}$
5436,$m$
5437,$\mathcal F_0$
5438,$L_0$
5439,$m\le 4$
5440,$\mathsf{TVaR}_1(X)=\sup(X)$
5441,$\mathbf {d=0}$
5442,$q(p)=\mathsf{VaR}_{p}(X)$
5443,$\rho(X-Y)\le 0$
5444,$P_{i}(a)$
5445,$\rho(X)=\mathsf{TVaR}_p(X)$
5446,"$\mathbf{v}=(v_1,v_2)$"
5447,$\kappa_i(t)=E[X_i \mid X=t]$
5448,"$(s, g(s))$"
5449,"$(-1,1)$"
5450,$n\times 1$
5451,$g'(S(x))<1$
5452,$X_{1}$
5453,$\rho(X)\le\lim \rho(X_n)$
5454,$q^+(p) := \sup\ \{x \mid F(x) \le p \} = \inf\ \{ x \mid F(x) >   p \}$
5455,$M-N$
5456,"$i=2,3,4,5$"
5457,$\mathsf{Pr}(X_n=Y)=\mathsf{Pr}(X=Y)=0$
5458,$X_i(v_i)=v_iX_i(1)$
5459,$X\le Y$
5460,$S\Delta X'$
5461,$t\mapsto \rho(X) + t\mathsf{E}_{\mathsf Q_X}[Y]$
5462,$\rho(X\wedge a)=0.909$
5463,$(1+\gamma)F_0$
5464,$\sigma=\sqrt{s(1-s)/N}$
5465,$\iota(s)$
5466,$a-\bar P(a)$
5467,$\mathbf {\mathsf{P}(X)=\Delta S}$
5468,$F^{-1}$
5469,$\rho(X) = \max_{\mathsf Q\in \mathcal Q} \ \mathsf{E}_\mathsf{Q}[X]$
5470,$\mathbf {X'p}$
5471,$\kappa_2(X)$
5472,$U$
5473,"$Y_{t,1}$"
5474,"$k=1,2,\dots,n-1$"
5475,$g(S(x-))=1$
5476,$X_0 + \epsilon Y$
5477,"$\displaystyle\int_0^a \kappa_i(x)g'(S(x))f(x)\,dx + a\beta_i(a)g(S(a))$"
5478,$m(s)$
5479,$x_0 \ge q^-(p)$
5480,$X(\mathbf{v}) = \sum_i X_i(v_i)$
5481,$a=9532.0$
5482,$L_{250}^{1000}(x)$
5483,"$\sigma=13,108$"
5484,$\mathsf{E}[r] = \mu_r = M/K = 0.132$
5485,$T_2 := ((n+1)-pN)x_n$
5486,$\{ X>x \}$
5487,$\rho(X)=\mathsf{E}[X] + c\sigma(X)$
5488,$\iota = \dfrac{g(s)-s}{1-g(s)}$
5489,$\mathsf{E}[|X_1|]<\infty$
5490,$S_{\mathbf{v}}(t)=\text{Pr}(X({\mathbf{v}})>t)$
5491,$g(s) = s^r$
5492,$\Delta X$
5493,$=$
5494,$R^2$
5495,$\mathsf{E}[X(1_{U_X\ge p}-B)]=\mathsf{E}[(X-m)(1_{U_X\ge p}-B)]\ge 0$
5496,$S(x_4)$
5497,$\kappa\ge K(n)=\sum_s n_s(1-g(s))k(s)$
5498,$X+100$
5499,"$\Omega=\{0,1,2,\dots \}$"
5500,$S_X(x) \ge S_{X_1}(x)$
5501,$R(X)$
5502,$g(S_6)\Delta X'_6$
5503,$\rho(X-\rho(X))=0$
5504,$\alpha_i(x) = \mathsf{E}[X_i /X \mid X> t]\not=\mathsf{E}[X_i\mid X> t]/\mathsf{E}[X\mid X>t]$
5505,$P = \mathsf{E}[X] + \pi \mathsf{E}[(X-\mathsf{E}[X])^+]$
5506,$g(0+) > 0$
5507,"$X_i,X$"
5508,$p=0$
5509,$r_h=\mu_L=0$
5510,$g(0^+)>0$
5511,$\mathrm{Pr}_{rn}\{P_{act}>P\}$
5512,"$(I, \mathcal B, \mathsf P)$"
5513,$\mathbb{R}^3$
5514,$ is not continuous and $
5515,$\mathsf{Pr}(X=1)=s$
5516,$E'=\Omega\setminus E\in\mathcal F$
5517,$a_x$
5518,"$\{1,2,\dots,10000\}$"
5519,$\Pi$
5520,$ipl(p)$
5521,$a'(x)=a(1)$
5522,$-g''(t) = w \delta_{\alpha_1}/\alpha_1 + (1-w) \delta_{\alpha_2}/\alpha_2$
5523,$a=\infty$
5524,$\bar P_g$
5525,$\sum_i a_i=\sum_i a(X_i;X)=\rho(X)$
5526,$a^\rho$
5527,"$(\Omega,\mathcal F,\mathsf{P})$"
5528,$p_{\mathit{cl}}$
5529,$h(1)=1$
5530,$\Delta_{1}$
5531,$p^+=\mathsf P(X\le q_X(p))$
5532,$\rho=\dfrac{M}{l} = \dfrac{1-\lambda}{\lambda}$
5533,$\rho_1$
5534,$S_{\mathbf{v}}(a)$
5535,$^\circledR$
5536,"$g(s)=\min(g_1(s), g_2(s))$"
5537,$a(X)=\mu+4\sigma$
5538,$\mathsf{Pr}(X < x) \le 0.4 \le \mathsf{Pr}(X\le x)$
5539,$pq$
5540,$\rho(X+Y)=\rho(X) + \rho(Y)$
5541,$g'=2/3$
5542,$\mathsf{VaR}_p(X) = \mathsf{E}[X] + \pi(X)\mathsf{SD}(X)$
5543,$X\wedge a\Delta g$
5544,$P=80$
5545,$\rho(-H)=\rho(C)-1=-0.05$
5546,$i$
5547,$S_i(x)=\alpha_i(x)S(x)$
5548,$X'(\omega) \le Y'(\omega)$
5549,$B_t(\omega)=\omega_t$
5550,$S(x)/P(x)$
5551,"$\int_0^s g'(t)\,dt=\nu s$"
5552,$L_X(v)=l(v)$
5553,$\mu=\log(\theta)$
5554,$\mathsf{E}[X] + \pi\mathsf{Var}^+(X)$
5555,$T_{(1)}=W$
5556,$t\in\mathbb{R}$
5557,"$(x_{1,i}, x_{2,k(i)})$"
5558,$\rho_g(X\wedge a)=\bar P(a)$
5559,$g'>0$
5560,$X\wedge a = \sum_i X_i(a)$
5561,$t=-\log(1-p)$
5562,$\mathsf{E}[X]$
5563,$S_X(y)$
5564,$n=2^m+k$
5565,$\mu t$
5566,"$1/2, 1/4$"
5567,$\mathsf{CX}$
5568,$\sigma^2 = \sum \sigma_i^2$
5569,$\iota=M/Q$
5570,$\sup_\mathsf{Q} (\mathsf{E}_\mathsf{Q}[X] - \alpha(Q))$
5571,$AB$
5572,"$\displaystyle\int_0^a \beta_i(x)g(S(x))\,dx$"
5573,$\bullet$
5574,$366.4$
5575,"$\tilde X:[0,\infty)\to[0,\infty)$"
5576,$1-\alpha_i(t)S(t)$
5577,$F_1$
5578,$a=\mathsf{VaR}_p$
5579,$(a'-X)^+$
5580,$\mathbf {X_3}$
5581,$\mathsf{FSD}$
5582,$a={{a_x}}$
5583,"$(0.2, 0.304)$"
5584,$e^{\mu_A}-1$
5585,$\mathsf{E}[(X-\mathsf{E} X)^+]={(X-\mathsf{E} X)^+}_1$
5586,$-\rho(X-Y)\le \rho(Y)-\rho(X)$
5587,$\mathsf{Pr}(X > a) \le \epsilon$
5588,$\mathsf{E}[Z_A\mid X]$
5589,$B^c_k$
5590,$-$
5591,$d+l$
5592,$0.1005$
5593,$\mathsf{E}[X\wedge a]$
5594,$r_i$
5595,$=v_f \mathsf{E}_\mathsf{Q}\left[\dfrac{X_i}{X}(X\wedge a)\right]$
5596,$\bar\delta a$
5597,$c > 1/2$
5598,"$\mathsf{PML}_{n, \lambda}(X)=\mathsf{PML}_{n, \lambda}$"
5599,$f(x)$
5600,$h(1-p)=1-g(p)=1-\sqrt{0.9}=0.051$
5601,$\mathsf{E}[X_i\mid X](x)$
5602,$\mathsf{P}(B)=0.5$
5603,$Gn$
5604,$\mathcal F$
5605,$g_2(s)=\sqrt{s}$
5606,$v_f=1/(1+r_f)$
5607,$B\subset \Omega$
5608,$\bar S(x)$
5609,"$s_j,g_j\in[0,1]$"
5610,$\mu=21.315$
5611,$a_{gc}=P(X_{-1}(a_{gc}))+P(X_{0}(a_{gc}))+\mathit{MV}_{gc}(a_{gc})$
5612,$X0=X_{0}$
5613,$X=(X\wedge a) + (X-a)^+$
5614,$(\mathsf{TVaR}_p - q(p))/(1-p)$
5615,$X \preceq_n Y$
5616,$\lambda_i$
5617,$\mathsf{Pr}(X_n>\epsilon)\to 0$
5618,$\mathsf{VaR}_{0.95}(X)=3395$
5619,"$W_2=\sum_{t+d=2} Y_{t,d}$"
5620,$\mathsf{E}[X\mid X\ge \mathsf{VaR}_p(X)]$
5621,$a\ge \sup(X)$
5622,$\mathsf{E}[\log(X)]$
5623,$a=Q+R$
5624,$p/q-1=(p-q)/q>0$
5625,$\alpha_1\ge \beta_1$
5626,"$c_1=(c(1) + c(1,2)-c(2))/2$"
5627,$Z\in D\rho(X_0)$
5628,$\cdots$
5629,$\mathsf{E}[Xw(X)]/\mathsf{E}[w(X)]$
5630,$d\bar S(a)/da$
5631,$\mathsf{P}(X=X_j)=S_{j-1}-S_j$
5632,$\omega'=0$
5633,$\rho(Y)=g(pq)$
5634,"$\phi(s) = (1-p)^{-1}1_{[p, 1]}(s)$"
5635,$S(x_i-)-S(x_i) =\mathsf{Pr}(X=x_i)$
5636,$dg/ds$
5637,$T_1 := X_{n+1} + \cdots + X_{N-1}$
5638,$\displaystyle\int_0^\infty xd(g\circ F)(x)$
5639,$\mathsf{E}[X \mid X \ge q^+(p)]$
5640,$\mathsf{POS\ LOAD}$
5641,$\mathsf{E}[X_iZ]=500$
5642,$R_x$
5643,$t\mapsto W_t$
5644,$\mu+\lambda\sigma$
5645,$\rho(X)\le\rho(0)=0$
5646,$\kappa_2$
5647,$k(i)$
5648,$\mathsf{E}[X^k]\le \mathsf{E}[Y^k]$
5649,$\chi( s ) = p - \log(s)$
5650,$C$
5651,$0\le x\le 1000$
5652,"$\Omega=(0,1)$"
5653,$D(t)$
5654,$\mathsf{Pr}[X > a]$
5655,$w(x)=x$
5656,$\mathsf{E}_{\mathsf Q}[\kappa_i(X)]$
5657,$Z(X)$
5658,$1 < x < 2$
5659,$P/A$
5660,$\mathsf{TVaR}_{p^*}(X_1)+\mathsf{TVaR}_{p^*}(X_2)=80$
5661,$g(S(x))$
5662,$s<0.20$
5663,$M_i = \beta_ig-\alpha_iS$
5664,"$[0,1,\dots,n]$"
5665,$X\Delta g(S)$
5666,$\mathsf{E}[X^k] \le \mathsf{E}[Y^k]$
5667,$\mathbf {M}$
5668,$\mathsf Q\not\ll \mathsf P$
5669,$q(p')=q(p)$
5670,$100G$
5671,$g(x)$
5672,$c-1$
5673,$\lambda$
5674,$S(x)=\mathsf{Pr}(X>x)=1-F(x)$
5675,$C^1$
5676,$q^-(F(x))\le x$
5677,$\mathsf{E} X + c\mathsf{E}[\vert X-\mathsf{E} X  \vert^p]^{1/p}$
5678,$\alpha_i(a)S(a)=\mathsf{E}[(X_i/X)1_{X>a}]$
5679,$h(p)<p$
5680,$0.1$
5681,$\hat p>p$
5682,$a=f=1$
5683,$R_L=(L-P)/P$
5684,$\omega\mapsto \psi=F(X(\omega))$
5685,$\tilde M_i(a) = \bar P_i(a) - \mathsf{E}[X_i(a)]$
5686,$r-i$
5687,$\sigma=0.4$
5688,$y$
5689,$d>0$
5690,$\mathsf{TVaR}_p(X)= \sum_i X_iZ_i / 10$
5691,$F_0=2$
5692,$\rho(X+c) = \rho(X)+c$
5693,$X\ge X+Y$
5694,$X > x$
5695,$c(X(\mathbf v))$
5696,$\beta-\alpha$
5697,"$(1+t)(1), (1+t)(2),\dots,(1+t)(10)$"
5698,$q = 1-p$
5699,$\rho_g(X)=g(s)$
5700,$\kappa_1$
5701,$\Delta_d=a_{d}'-a_{d}$
5702,$_{gc}$
5703,$\mathbf {p}$
5704,$q(p')$
5705,$f_i(x+y)=f_i(x)+f_i(y)$
5706,$=\mathrm{MV}(T(X))$
5707,$F(a-)=\lim_{x\uparrow a} F(x)$
5708,$g(S(x))>S(x)$
5709,$s_0/2^{n}$
5710,$\alpha f/(1-g)$
5711,"$a_i=a(X_i, p^*)$"
5712,$\mathsf{E}[X_1]=\mu$
5713,$\Delta X=X_1$
5714,$V(U)$
5715,"$f(x)=\int_0^1 f'(tx)\,dt$"
5716,$9$
5717,$\rho(X_0)\ge \mathsf{E}[X_0 Z_\epsilon]$
5718,$S_{X_{-1}}(a)$
5719,$g(S_4)=0.5$
5720,$S(x)>0$
5721,$\mathsf{E}[YZ\mid X]=Z\mathsf{E}[Y\mid X]$
5722,$q(1)$
5723,$x_{max}$
5724,$a \ge 0$
5725,$E[s|t]=0.08353$
5726,$ag(S_{\mathsf{j}(a)})=(80)(0.5)=40$
5727,$\rho(\tilde X\wedge a)\le a$
5728,$\mathsf{E}[X](1+\pi)$
5729,$\preceq$
5730,$X'$
5731,"$\mathsf{NORM,TI}$"
5732,"$X^+=\max(X,0)$"
5733,$h(s) < s$
5734,$g(s)>s$
5735,$1_{U<s}$
5736,"$(s,g)$"
5737,$x\mapsto x^k$
5738,$0 = s_0 < s_1 < s_2 < s_3 = 1$
5739,"$a_{0,0}$"
5740,$\rho(X_n)=1$
5741,$Q_1=\rho(V_1)$
5742,$A/L=1.5$
5743,$\mathit{EGL}_{ro}(a)=P(X_{-1}\wedge a) - \rho(X_{-1}\wedge a_{ro}) \ge 0$
5744,$\mathbf {\kappa_2}$
5745,$p=0.99$
5746,$\mathsf{TR}$
5747,$D\rho_X(X_i)=\mathsf{E}_{\mathsf{Q}_X}[X_i]$
5748,$S=\mathsf{E}[X\wedge a]$
5749,$\mathsf{Pr}(X\wedge a > a)=0$
5750,$f(p)=(1-p)\phi'(p)$
5751,$gc$
5752,$\mathcal F_1$
5753,$\kappa/x$
5754,$r_0$
5755,$=\exp(8.7103 + \Phi^{-1}(0.995)\times 1)$
5756,$\rho(X)=\mathsf{E}_{\mathsf Q}[X]$
5757,$(1-f)$
5758,$1+V^{\ast}(1) > V(2)$
5759,$\mathsf{E} X + c{(X-\tau)^+}_p$
5760,$D = L^* - L$
5761,$Z_\mathit{lift}$
5762,$\pi_1$
5763,$p<0.01$
5764,$f(s)$
5765,$\lambda X_1$
5766,$\mathbf {X_{2}/X}$
5767,$h(X)$
5768,$\mathsf{E}[X\wedge a] = \dfrac{k}{\beta-1}F(a)-\dfrac{a}{\beta-1}S(a)$
5769,"$\int |X_n(\omega) - X(\omega)|^p\, \mathsf{P}(d\omega)\to 0$"
5770,$\rho_2(X_i)=0.5$
5771,$W<S_X(y)$
5772,$nu$
5773,$\rho(X_n(t))$
5774,$\mathsf{P}(\{\omega_i \}\cap B)=0$
5775,$\int xf(x)dx$
5776,$\tau=0.156$
5777,$\bar M_i(a) = \bar P_i(a) - \mathsf{E}[X_i(a)]$
5778,"$t=2,3,\dots$"
5779,"$f:[0,1]\to\Omega$"
5780,"$x=x(A,L)=A/L$"
5781,$F(x)=p$
5782,$X_2=c$
5783,$\sum_{i} X_i(a) = X\wedge a$
5784,$M = 0.6054$
5785,$s^\ast = 1/2$
5786,$W_j$
5787,$a=\mathsf{TVaR}_p(X)$
5788,$g(s)=1\wedge(s/0.35)$
5789,$g'(s)=\alpha s^{\alpha-1}$
5790,$\mathsf{TVaR}_{p_0}(X)$
5791,"$A,B\subset \Omega$"
5792,$1/p$
5793,$F_0$
5794,$n/(n-1)=1/p$
5795,$\displaystyle\int_0^\infty S(x)dx$
5796,$a=\mathsf{VaR}_{1-g^{-1}(\tau)}(X)$
5797,$(X(\omega_1)-X(\omega_2))(Y(\omega_1)-Y(\omega_2))\ge 0$
5798,$ROE=-m'(1)/(1-m'(1))$
5799,$\delta>0$
5800,$\mu(\{\alpha \})=1$
5801,$\mathsf{Var}(U)>\mathsf{Var}(X)$
5802,"$Y_{t,d=0}$"
5803,$(l-X)^+$
5804,"$\rho(X)=\max(\rho_1(X), \rho_2(X))$"
5805,$9/6$
5806,$j=2$
5807,$\rho_1(X_i)=1$
5808,$D^n\rho(\cdot)$
5809,$\mathsf{FATOU}$
5810,$p_0$
5811,$\bar P=\bar P_1+\bar P_2$
5812,$\mathsf{CTE}_p(X)=(12+25)/2=18.5$
5813,$f=1$
5814,$U_X = F(X-) + V(F(X) - F(X-))$
5815,$ROL = EL + \lambda  (\mathit{EL}  (1 - \mathit{EL})/w)^{1/2}$
5816,$q$
5817,$v_{res}$
5818,"$\{1,\dots,n \}$"
5819,$\mathit{MV}_{gc}(a_{gc})=a_{gc}-P(X\wedge a_{gc})=5583.9$
5820,$q_Y(U)$
5821,$x^{\ast}$
5822,$P = \mathsf{E}[X] + \pi \max(X)$
5823,$g''(s)=-s^{-3/2}/4$
5824,$d\tilde p=g'(S(x))f(x)dx$
5825,$\mathsf{E}[(-Y)Z]\ge 0$
5826,$N\times 1$
5827,$F_X$
5828,$\mathcal{G}\subset\mathcal{F}$
5829,$\preceq_n$
5830,$s \to 0$
5831,$A\subseteq \Omega$
5832,$r =$
5833,$t=1$
5834,"$(s_i,m_i)$"
5835,$F_X(x)\ge F_Y(x)$
5836,$g'''>0$
5837,$T=1$
5838,$\mathsf{E}[X_ih(X)]=\mathsf{E}[\mathsf{E}[X_ih(X)\mid X]]=\mathsf{E}[\mathsf{E}[X_i\mid X]h(X)]=\mathsf{E}[\kappa_i(X)h(X)]$
5839,$\mathsf x\mathsf{VaR}$
5840,$\mathcal F_{\tau}$
5841,$\mathsf{E}[X]=\int_0^\infty S(x)dx$
5842,"$\mathbf X = (X_1, \dots, X_n)$"
5843,$\bar P_{act} = \bar P + F_0 > \bar P$
5844,$x=\sum_i \mathsf{E}[X_i\mid X=x]$
5845,$(f)$
5846,$y^2 - 2\sigma y=(y -\sigma)^2 -\sigma^2$
5847,"$[0,t]$"